第4练 一元二次不等式及其解法-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分 专题一 集合与简易逻辑 -------- 第4练 一元二次不等式及其解法 [解析]法1:特殊值法:当x三一1时,由x+ [小题·精讲精练] px4x+p-3,得 4,故x=-1不符合条 [例题讲坛] 件,排除A,B; 当=3时,由^{}+px>4x+p-3,得 >0,故$ r一3不符合条件,排除C: 一(x -1x5),则下列说法正确的是( ) 法2:转换变元法:不等式变为(x-1)十r2-4 A.MON- x-1x2 +3>0,当04时恒成立, B. CnM-x|x<-3或x2 [x2-4x+3>0. C.MUN= x-3 x 5 所以 4(-1)+2-4.x+3 0 D.MO(CN)-x|-3<-1 [r2-4x+3>0, 交 即 [思路引导] 解不等式得到 M 12-10 解得x<-1或x>3. (x 一3x2,根据交集,并集和补集的概念 [答案] D 计算出答案: 【规律归纳】 恒成立问题的解题思路 [解析](2)依题意,M=x (x-2)(x+3) (1)利用等价条件直接求范围 时 0-{r-3<x<2 . (2)分离参数后转化为最值问题 故MON=x-1<<2,CM=xx<-3 可 (3)转化为相应的函数,利用函数的图象解题 或x2, (4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题 - MUN--35 ,MOCN)--3 <x<-1. [小题·分层分练] 此 AC正确,BD错误. [一层·打基础] 线 故选AC. 知识点一 解不含参数的一元二次不等式 [答案](2)AC 1. 设集合A=(xlx2-4x+3<0),B 【规律归纳】解分式不等式先通过移项,通分转化 (x g(x-1)<0 ,则AOB= ( ) 为整式不等式,注意转化为整式不等式时,注意 A.x1<x2 B.(2|2x3) 分母不为零的情况, C.(x1<x<3 D.(x0x<2 也就是转化为以下类型再进行求解: 2.(多选)已知集合M={x|x<3),N-x|x2- f(x) →/(x)·g(x)>0 3x0,则 ( g(x) g(x) ) A.MON- (2)/(x) <o型(x) ((→/(x)·g(x)<。 g(x) B.MUN-R C. CMCN g()→g(x)0 D. C(MON)-(0.+o) <0型,f(x)[f(x)·g(x)<0 知识点二 含参数的一元二次不等式的解法 (4)/(c) g()${ g(x) g(x)-0 3.若不等式ax2+2x十c<0的解集是(-oo,-)U 【例2】若不等式x^{②}+px>4x+-3,当0<<4 (,+o),则不等式cx2-2x十a<o的解集是 时恒成立,则x的取值范围是 ( ) A.[-1,3] B.(-.-1] -~_ C.[3,十) D.(-.-1)U(3,+o) A.[-1] B.[] [思路引导 将参数分离出来后,转化为求另一 C.[-2,3] 侧函数的最值,是求参数范围的常用方法. D.[-3,2] 1 培优限时练小题突破·数学 4.已知关于x的不等式x2-(a士1)x士a<0恰有 11.已知关于x的不等式x2-x+a-1>0在B上 四个整数解,则实数a的取值范围是 ) 恒成立,则实数a的取值范围是 A.(5,6] B.[-4,-3) 12.已知:lx-1<1,q:r2-(a+1)x+a<0,若 C.[-4,-3)U(5,6] D.(-4,-3]U[5,6) 力是v的必要不充分条件,则实数a的取值范 5.关于x的不等式|x-a|+x-2la的解集为 围是 R,则实数a的取值范围是 13.一般地,把一a称为区间(a,b)的“长度”.已知 知识点三 不等式的恒成立问题 关于x的不等式x②2-bx十2k<0有实数解,且 6.已知命题 :x[1,9],x2-ax+36<0.若$ 解集区间长度不超过3个单位,则实数友的取 是真命题,则实数a的取值范围是 ) 值范围为 A.[37,十o) B.[13,+o) [三层·早拔尖] C.[12,+o) D.(-.13] 14.若关于x的不等式x2-(m十4)x+4m<0的 7.已知函数f(x)-a2-2x+十a,对xe[,2]都有 解集中恰有3个整数,则实数的取值范 围为 ( f(x)二0成立,则实数a的取值范围是 _ ) A.(7,8] B.[~) B.(0,1] A.[1,十) C.(0.1]U[7,8) D.[0,1)U(7,8] C.[#] D.(-~ 15.(多选)下列命题正确的是 f A.要使关于x的方程x②十(a②-1)x十a-2- [二层·提考能] 0的一根比1大且另一根比1小,则a的取 8.不等式ar2十bx十c>0的解集为(-4,1),则不等 值范围是-2<a<1 式b(r2+1)-a(x+3)+c>0的解集为 , ) B.2}-hx十-1<0在(1,2)上恒成立,则实数 A.(-1) 的取值范围是[3,十o) B.(-1,) C.关于x的不等式ax一b0的解集是 C.(-,-)(1,+) :-2 解集是(-oo,-1)U(2,十oo) D.(-o,-1)U(+) D.若不等式ax②+bx十c>0的解集为x x< -2或x>4),则对于函数f(x)=ax^*+ 9.关于x的不等式2-2ax-3a2<0(a>0)的解集 bx十c有f(2)<f(一1)<f(5) 为xxπ xx,且x-x=15,则a=( 过 ) r2+ax十2 的定义域为R,则实数。 的取值范围为 $7.已知a>0,关于x的不等式(ax二a^{}-6)$$ 10.(多选)下列说法正确的是 ( (x-2)<0的解集为M,设N-MOZ,当a变 A. 不等式4x^*}-5x+1>0的解集是 化时,集合N中的元素个数最少时的集合N为 {或<1{ [小题·真题真练] B. 不等式2x^2}-x-6<0 的解集是 {##或>2<# 1.(2024·上海卷)x?-2x-3<0的解集为 C.若不等式ax+8ax十21<0恒成立,则a的 2.(2023·新高考I卷)已知集合M--2,一1,0. 取值范围是 1.2 ,N- xlx*-x-60),则MN-( D.若关于x的不等式2x2十x-3<0的解集 A.(-2,-1,0,1 B.(0.1,2) 是(q,1),则十q的值为一 C.-2 2 D.(2) 8参考答案 当且权当8u中1D-片即a=时，章号底主. 3 2、2 + 由 游上，+月的表小值为16 .解得：a=-12.c=2. bc 故答案为：16. 故不等式cx2-2x+a≤0，即2x”-2.r-12≤0， 答案：16 即x2-x一6≤0，解得一2≤x≤3， 小题·真题真练 所以所求不等式的解集是[一2,3]： 1.e因为≤()<aeR.由r+y-=1 :4,C不等式x2-(a十1)x十a<0,可化为(x-a)(x-1)< 2 0,当a=1时，不等式x一(a十1)x十a<0的解集为空集， 可支形为，+y-1=3w<3(安)，解得-2≤x+ 不合题意：当a>1时，不等式x°一(a十1)x十a<0的解集 为(1，a),要使不等式x一(a十1)x十a<0恰有四个整数 3y≤2，当且仅当x=y=一1时，x十y=一2，当且仅当x=y 解，则5a≤6，当a<1时，不等式x2一(a十1)x十a<0的 =1时，x十y=2,所以A错误，B正确： 由2+y-=1可交形为+)-1=对<告，解 解集为(a,1),要使不等式x2-(a+1)x+a<0恰有四个 整数解，则一4≤a<一3，综上可得，实数a的取值范图是 -4,-3)U(5,6].故选C. 得x十y≤2，当且仅当x=y=士1时取等号，所以C正确： 5.解析：令x一a=0,x一2=0，得x=a,x=2, 因为+y-=1支形可得(-老)广+y=1,设r 由绝对值的几何意义知， x一a十|x一2|表示数轴上的数2对应的点到原点的距 =0s0,y=n0.所以x=6os0叶n0y 2 sin 0. 离与数对应的点到原点的距离之和， 则x-4+x-2≥1(x-a)-(x-2)=a-2, 周光2+y=6os0+号sn0+号n0cos0=1+方n20 即x-a+|x-2|的最小值为|a-2|·又不等式 3 /3 x-a|+|x-2|≥a的解集为R, 吉os0+号=青+号sm(20-吾)[号，2]，所以当 1 所以不等式(|x-a|+|x-2|)m>a在R上恒成立， 有a-2≥a. 气=-号时满足等式，但是+少≥1不成立，所以 当a≤0时，显然成立， 当a>0时，有(a一2)≥a,解得0<a≤1， D错误，故选BC 即实数a的取值范围为（一∞，1]， 2.C0 sin acs长ima寸o卫，当且仅当ina=s月时取“=”， 故答案为：（一o∞，1] 2 答案：（一0∞，1] 同理sin Bcos y,sin ycos a有类似性质， 6.C,p:3x∈[1,9]，使得x一ax十36≤0为真命题，即 三式相加释0<sin ec0s计加ms7十sin7omsa≤号 3rE[1,9],使得产-ar+36<0成立，即a>r+5能成 所以，不可能三个式子都大于号，另一方面，取。=30，月 立.设)=+2则)=x+>≥V一西-12，当 607-5.则mBc@7-号×号-5>号n7msa 且仅当r=36,即x=6时，取等号，即f(x)=12,.a≥ 号×号->号所以，可以有两个式子大于就大于号 12,故实数a的取值花国是[12，十∞).故逃C, 的个数最大值是2.故选C. 7A由题意知画数fx)=ar-2x十a,对r[受，2]事有 3.ABD对于选项A,:a+b≥2ab..2(a2+b)≥a++ f(x)≥0成主， 2ab=(a十b)2=1,a2十>7，正确：对于选项B,易知0 即a-2r+e≥0对6[台2]恒成立 <a<1.0<1-1<a-6K1.2t>21=正确： 即a 2x =2 x+1 对于选项C.令a=b=是，则1og+1og:是=-2+ 设R)=+,由于g(x)=+上在[受]上单谓递 10g子<-2.错误：时于选项D,“V2=V2a+, 减，在[1,2]上单调递增， ∴.[√2(a+b)]-(wa+vb)=u+b-2√ab=(Wa-vb)2≥ 0,∴va十石≤2，正确.故选A、B、D 圆02利1具仅当时等号成宁 第4练一元二次不等式及其解法 故a≥1，即实数a的取值范国为[1，十oo),故选A. 8.B因为不等式的解集为（一4,1）， 小题·分层分练 则不等式对应方程的实数根为一4和1，且a<0: 1.A由x2一4x十3<0，解得1<x<3,所以A={x1<x 3},因为0<x一1<1，所以B={x|1<x<2},故A∩B= -4+1=-6 由根与系数的关系知， 。a,所以-3a {x1<x<2}.故选A. -4X1= c=-4a1 2.BCD由x一3x≥0可得x≤0或x≥3，即N={x|x≤0或 x≥3}.对于A项，M∩V={xx<3}∩{xx≤0或x≥3}= 所以不等式化为3a(x2十1)一a(x十3)一4a>0, {xx≤0}≠☑，故A项错误：对于B项，MUN={xx<3】 化为3(x+1)-(x+3)-4<0,即3x2-x-4<0, U{r|x≤0或x≥3}=R,故B项正确；对于C项，因CM= {xx≥3}二{xx≤0或r≥3}，故CwM二N,故C项正确：对 解得-1<<亭，所以该不等式的解集为(-1，号)： 于D项，C(M∩N)=(CM)U(CxN)={x|x≥3}U 9.C由条件知五1，为方程r2-2ar一3a=0的两根，所以 {x0<x<3}=(xx>0,故D项正确，故选BCD. x十x=2a,dx:=-3a2,故(x-x1)=(x1+x2)2 3.C不等式的解集是(-∞，-3)U(2,+∞)小 46=(2a)-4X(-3a)=1602=15,解得a=士5，又 所以-号和号是方程a+2r十c-0的两个实数振， 。>0,所以a-只故选C 119 培优限时练小题突破·数学 10.CD对于A,4.x-5x十1>0台(x-1)(4x-1)>0曰x< 2ax-8a,..b=-2a,c=-8a,f()=axi+bz+c=axi 或1>1，故A错误；对于B,2r2--6≤0台(x-2) -2ax一8a=4(x-1)-9u,函数的对称轴为r=1,开口向 上，所以f(x)在[1，十o)上单调递增，所以f(一1) (2r+3)<0m-昌<<2，故B错误：若不等式ar2+8r f(3),f(2)<f(3)<f(5),则f(2)<f(-1)<f(5),故D 正确，故选ABD. 十21<0恒成立，当a=0时，21<0是不可能成立的，所以 x-1 民能日6一8<0而孩不等式组无解，综上，放C正 16.解析：y2千ar十2的定义城为R,则r十ar+2位不为 零，即x+ax十2=0没有实数根， 确：对于D,由题意得g1是一元二次方程2x2+px一3=0 所以△=a-8<0,解得-2√2<a<2√2， 的两根，从而X1=2,解得p=1q= ，两当p= 3 所以实数a的取值范图为（一2√2,2√2）. 2+p-3=0 故答案为：(-22,22) 10=-是时，-元二次不等式2r+1-3<0台(x-D 答案：（一22,2√2） (2r十3)<0-号<<1满足题意，所以p十g的值为 17.解析：a>0,令ax-a2-6=0得x=a+6 z,故D正确.故选CD. 其中a+日>2√0·吾=2后，当且仅当a=日，即a=6 11.解析：关于r的不等式x一x十a-1≥0在R上恒成主， 时，等号成立，其中2√6>2， 所以二次函数的图象与x轴最多有一个交点， 则(axa2-6)(z-2)<0的解集为2<r<a+ a 所以判别式△=（一1）一4(a一1)≤0， 解得0≥号，所以a的取维总周为[票十o∞) 要想集合N中的元素个数養少，则a十9取藏小值2，后， 答案：[+∞) 此时解集为2<x<2√，此时N=M∩Z={3,4}. 故答案为：{3,4 12.解析：由x一1|<1，解得0<x<2,所以p:0<x<2 答案：3,4} 对于q:x-(a十1)x十a≤0， 小题·真题真练 即(x一1)(x一a)0, 、 1.解析：由x一2x一3=(x一3)(x十1)<0，得一1<x<3 若a>1,解得1≤x≤，要使p是g的必要不充分条件，则 答案：(-1,3) a<2,所以1<a<2: 2.CN=(-∞，-2]U[3,十∞)，所以M∩N={-2}:故 若a<1,解得a≤x1,要使p是q的必要不充分条件，则 选C. a>0,所以0<a<1: 专题二 函数、导数及其应用 若a=1,则g为{r|x=1),将合题意，所以实敦a的取值范 第5练函数的概念及其表示 围是(0,2). 故答案为：(0,2) 、 小题·分层分练 答案：(0,2)》 1.C 依题意log4(x-1)+1≥0，即1og4(x-1)≥-1， 13.解析：不等式x一kx十2k<0有实数解等价于x”-kx十2k =0有两个不相等的实数根，则△=（一k)一8k>0,解得： x-1≤2解得1<r≤3.故这C x-1>0, k>8或k<0 2.A由题意得，8一2≥0，解得1≤3， 设方程x”一x十2k=0的两根为1x,不妨令1<x2,则 x1十工：=k,1x1=2k 六函数（受）满足号≤3，解得r<6, 由题意得：x一x1=√(x:十x1)-4x1x,=√一8k≤3， 即函数（三）的定义城为(-©，6].故选A 解得：一1≤k≤9，结合k>8或k<0,所以实数k的取值范 国为[-1,0)U(8,9] 3.A设f(x)=kx+b(k≠0)，则由f[f(x)门=x十2，可得 故答案为：[-1,0)U(8,9] k(kx+b)+b=x+2,即kx+kb十b=x+2,∴.k=1,kb十b 答案：[一1.0)U(8.9] =2.解得k=一1时.b无解，k=1时，b=1,所以f(x)=x十1.故 14.D不等式x2-(m+4)x十4m<0化为：(x-4)(x-m)< 选A 0,显然m≠4，否则不等式解集为空集，不符合题意， 4.B令√x+1=1,1>1,则x=1一1，x=(t一1)， 当m<4时，不等式的解集为(m,4),依题意，在(m,4)中拾 所以f(1)=(1-1)十2(1-1)=1一1（≥1）， 有3个整数，即为3,2,1，则0m<1, 所以f(x)的解析式为：f(x)=x-1(x≥1).故选B. 当m>4时，不等式的解集为(4，m),显然在(4，m)中拾有3：5.C当x≤1时，由f(x6)=20=1,得x。=0(满足x。≤1)： 个整数，即为5,6,7，则7<8， 当xn>1时，由f(xo)=log(xw一1)=1，得x一1=3，则 所以实数m的取值范图为[0,1)U(7,8].故选D. x%=4(满足ro>1),故选C 15.ABD对于A:要使关于r的方程x+(a一1)x十a一2 =0的一根比1大且另一根比1小，令f(x)=x十 6.A当-2<r<0时f0=产+r=(+号)）广-截当 (a2-1)x+a-2,则有f(1)<0,即1+(a2-1)+a 20,解得一2a<1,故A正确： =一号时有最小值为-子 对于B:,x一kr+k-1<0在(1,2)上恒成立，令g(r)= 0≤x<c时，f(x)=一斤单调递减，所以一<f(x)≤0， kr+k1,则《2)2脚0 2-2k+6-1≤0，解得 由题意fx)存在最小值，则一≥-子，解得0<（≤店，即〔 k≥3，故B正确： 对于C:”关于x的不等式ax一b>0的解集是(1，十o∞)， 的最大位为而，故选A =6>0,则美于x的不等式空<0等价于 7.A对于集合A,由16-x=(4+x)(4一x)>0解得一4< x<4,所以A={x|-4<x<4}. (ax十b)(x-2)<0,即a(x+1)(x-2)<0,解得-1<x< 因为a十 2,即关于r的不等式aT+<0的解集是(-1,2)，故C x-2 -1=1, 错误 当且仅当a=0时，等号成立，所以B={xx≥1}，所以A门 对于D:若不等式ax+hx十c>0的解集为(xx<-2或 B=[1,4).故选A. x>4},则a>0,且a.x2+hx+c=a(x-4)(x+2)=ax2 8.BD 120