第3练 不等关系与不等式-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

参考答案 12.BC 对于选项A,由→1得到0<r<1,故“r<l”是 第3练 不等关系与不等式 “11”的必要不充分条件,故选项A正确;对于选项B. 小题·分层分练 1.D 对于A,因为ab,所以a十cb十c,故A结论正确; 命题“Vx>l,r1”的否定是“rl,r<1”,故选项B 对于B,当ab0时,因为暴函数y=x在(0,十c)上单 错误;对选项C,由王=一1得到x十y-0且y-0,故x+y % 调递增,所以ab^{},故B结论正确; 对于C,因为a→b,所以a十c>b十c. -0的充分不必要条件是王一一I,故选项C错误;对于选 而画数y-()为减画数,所以()*{()”),故C 项D,假设t、y全都不大于1,即x1且y1,则x+y 2.与条件矛盾,假设不成立,故D正确,故选BC. 结论正确; 13.解析:由x-2n |<1,得2m-1<x<2m+1; 对于D.,b(a+c)-a(b+e)(b-a) a(a十c) a a十 因为“1r2”是“|1-2m <1”的充分不必要条件, a(a十c). 所以集合{x 1<x<2 是集合(xl2m-1<x 2n+1)的 因为a>b>0,c0,所以c(-a)<o,a(a+c)o, 真子集, #所以_(6)<,所以#,故D结论错 所以{2一1#(不同时取等号),解得<<1, aa十ca(a十c) 十 2m+1>2 误,故选D. 所以实数n的取值范围为<n<1. 故答案为:<1. 答案: 3.解析 --1_1-(e-1) 答案:< e+1e+1(e”+1)(e+1) _<0. 所以n<n. 14.B 对于命题a:当a。=2021时,(S.-2022)(S.-2022) <0的解集为M-{1), 答案:< (S.-2023)(S.-2023)0的解集为M-(1),此时集 4.C,a>0,b>0,且a+b-1;1-a+b>2a 合M中元素的个数是1. 故命题a为假命题; 对于命题8:又公差d0,则S.单调递增, 由nM,得(S-2022)(S -2022)<0且(S- 2023)(S.-2023)<0. ·+②,即+有最大值②,B项错误。 解得/ S2022 (S<2022 S.>2023 所以a1,故命题3为真命题,故选B. +6-(a+b)“-2ab-1-2ab1-2x1-1. 15.解析:命题的否定为:任意n[一1,1],使得函数f(x) -r一2mx在区间[a,+)内不单调, {}的小值是。,不是^.。错误。 由画数f(x)=x一2mx在(-xo,m)上单调递减,在 (m.十)上单调递增. 5. A 由b-log:4-log V256c-5=log. V243 则am,而m[-1,1, 得。-1. 故答案为:(一。o,一1) 答案:(-,一1) 即log4<log3,故b<a. 16.解析:若命题y:3xR,ar+2a.r十b0为假命题, 综上,cba.故选A. 则命题p:VxER,ar+2ax+b0为真命题, 6.D 不妨设m-2,n-2,则n0,n>0,$ 当a-0时,0. 所以1-m+n2m,当且仅当m=”= -时取等号 当a<0时,△-4a}-4ab<0,则a>b. 所以p为假命题的一组a,b的值为a=-1,b=-2, 即#<n寸,当且仅当m--时取等号, 故答案为:一1,一2(不唯一). 答案:一1(不唯一)-2(不唯一) 所以(4“+1)(4*+1)=(m}+1)(n+1)=(mn)十 小题·真题真练 n+n+1-(mn)十(m十n)-2mn+1 1.B 通解 因为VxER,|x十1|→0,所以命题P为假命题, -(m)-2nn+2-(-1)+1.(0 mn 所以一力为真命题,因为x一x,所以x一x一0,所以x(x 一1)-0,即x(x+1)(x-1)-0,解得x=-1或x=0或 所以当.n一-时,(m) 2mn叶取得最小25) 25 一1.所以习x>0,使得r一x,所以命题q为真命题,所 以一q为假命题,所以一p和o都是真命题,故选B. 故选D. 优解(特殊值法)在命题)中,当x三一1时,x十1|-0. 7.解析:由a>0,b>0,ab=2→a= 所以命题为假命题,一力为真命题,在命题?中,因为立方 根等于本身的实数有-1,0,1,所以习x0,使得r一x,所 以命题o为真命题,一q为假命题,所以一p和q都是真命 2+46+26 士1 十1 题,故选B. (十1) 2.C 由函数y一工^}单调递增可知,若a一^,则a一b;由函数 #61#_+1 (b^{+1) y-3 单调递增可知,若3^{-3{,则a-b.故“a}-b”是“3= 3””的充要条件,故选C. 3.C albx}+x+2x-0-x=0或x--3,所以x=-3是 a lb的充分条件,x一0是ab的充分条件,故A错误,C正 立,故最小值为4, 确,a/b-→2+2-rx-2x-2-0x=1+ 3,故B.D 故答案为:4 错误. 答案:4 117 培优限时练小题突破·数学 8.B 因为a>0,b>0. '15.A因为32^,所以log3{log2. #△_0△,22 /2.2 -4(当且仅当a-b 因为5{}3^,所以log 5^{}<log 3^,即2log 5{3,所以log$$ #<3,即:,因为8{}<50,所以log 8{}<lg:5”,即 时取“-”).所以5+2-2→9.,所以m<9.故选B. 9. B$=.31*<0.31^{}=1,所以0<a<1 1 -log12-1+log 42,c-log 6-1+log3 2, log,3 (14) 且 2/log 3·log 8<log 3+log 8-log 24<log 25-2 log。4 ln4·ln2 又因为log 3 1n3.n3ln3·ìn 3 (ln2v2)} □<1. 所以log3·log8 1,所以b-c>0,所以b>c;综上所述, (n3) abc.故选A. 所以b<c,即d<a<b<c.故选B. 200 2mn 10.B 由题意得a= 40 nn 2mt_ 9+_6a当且仅当9-r-. 2mnmn,即a:<a,故选B. 2 r 2mn 即x一时,等号成立。 11.B 设A(x.,y.).B(x。,y),不妨设x x. 函数y-2*为单调增函数,若点A,B到直线y= 1的距离 相等,则-y-y-,即y+y。=1,即21+2-1. 答案:_ 由基本不等式得1-2+2*}22·2, 当且仅当xi-x。=-1时取等号,则2<1 17.解析:若,则ab<1此时 解得x十x。<一2(因为&子x。,所以等号取不到). #n{0 _n{+30) 对于A,xy=2x+y→22xy,则xy→8,当且仅当 y-2r 一个小于等于2, 1二) + -(-+()-+-+2+ +3-2. (2y2r ,即x-y-3时取等 ## 号,故B正确;对于C,由选项A知,当x一2,y-4时,2十 _ y-xy成立,此时文十y-6,故C错误;对于D.由士2 ry 1.得2-11,则1 一个小于2, y文 r 所以min{a,#。 1.1+362. 章。 -2时,取等号,故D正确,故选BD 13.解析:因为a=7.a。=19,所以-“-19-7-2. 故答案为:2. 9-3 6 答案:2 所以-a +(n-3)d-7+2(n-3)-2n+1. 所以$。“(3+2n+1)_n(n叶2). 18.解析:任意的正实数a,b,c,满足b十c=1, 所以8ah+18 2 18 #此$+10 f)10-[(n+1)+1 bc a十1 a十1 br =. 8+(+c)18 a.十1 2n叶2 b= rar -.902018 a+1' 由于b.c为正实数, 答案:3 14.解析:设圆柱形容器的底面半径为/,高为. 所以圆柱形容器的体积为V一-r^{}·h=π,所以r^·h-1; 所以圆柱形容器的表面积为;S=xr十2xrh=n(r*十rh十 rh)3x·vPh-3π. +C a十1 当且仅当^*-rh,又^·h-l,即r-h-1时等号成立, =8a+18 故至少需要3π平方米铁皮。 +-8(a+1)+18 7-8 故答案为:3π. 答案:3π =28(a+1).18 -8-16. 118 参考答案 当且仅当8(a+1-18 18,即-时,等号成立, 综上,8ah}+18 由 bc +的最小值为16. 故答案为:16. 故不等式cr^-2r+a<0,即2r-2r-12<0$ 答案:16 即r---6<0,解得-2<x<3. 小题·真题真练 所以所求不等式的解集是[一2,3]. 4.C 不等式x-(a十1)r+a<0,可化为(x-a)(x-1) 0.当a-l时,不等式x②-(a十l)x十a<0的解集为空集, 可变形为,(x+y)}-1-3ry<3(){},解得-2<x十 不合题意;当a1时,不等式x{-(a十1)x十a<0的解集 为(l,a),要使不等式r一(a十1)x十a<0恰有四个整数 <2,当且仅当x=y--1时,r十y=-2,当且仅当x-y 解,则5<a<6,当a 1时,不等式x^-(a+1)x+a<0的 一1时,r十y-2,所以A错误,B正确; 由r+--y1可变形为(r”+y)-1-xy<,解 解集为(a,l),要使不等式x^②}一(a十1)x十a<0恰有四个 整数解,则一4<a 一3,综上可得,实数a的取值范围是 得工^}+y<2,当且仅当x=y=士1时取等号,所以C正确; [-4.-3)U(5,6].故选C. 5.解析:令lx-a-0,x-2|-0,得r=a,-2 因为r”十-xy=1变形可得(--)}+3y-1,设x- 由绝对值的几何意义知, |x-a 十 x一2|表示数轴上的数2对应的点到原点的距 离与数a对应的点到原点的距离之和, ③ 则l$r-al+|-2|>l(r-a)-r-2)|-la-2. 即 r-a +x-2 的最小值为la-2,又不等式 ③ ③ r-a+x-2|a的解集为R, #cos 20-+gin(20-)[2#,#所以当 所以不等式( |x-a|+ x-2)a在R上恒成立 有la-2la. 当a二0时,显然成立, 当a0时,有(a-2){}→a{,解得0 a<1, D错误.故选BC. 即实数a的取值范围为(一oo,1]. 2.C )<sin acosinco},当且仅当sing-cos 时取“-”, 故答案为:(-o0,1] 答案:(-x0,1] 同理sincosv,sinyeosa有类似性质, 6.C.:x[1,9],使得r-ax+36<0为真命题,即 3xE[1,9],使得*-ar+36<0成立,即a→x+36能成 所以,不可能三个式子都大于,另一方面,取a=30{,- 立.设()-时(c)--32312.8 ##3,所以,可以有两个式子大于,故大 12.故实数a的取值范国是[12,十o).故选C. 7.A 由题意知画数f(x)-ar-2x十a,对xe[,2]都有 的个数最大值是2.故选C. 3.ABD对于选项 A,,'a^}+^{}→2ab, '2(a+6^})a^}+十 f(x)>0成立, $ab-(a+b){}-1,'a{}+b→寸,正确;对于选项 B,易知0 即ar*-2x+a>0对xe[,2恒成立, 即22 设g(x)-+-,由于g(c)-+-在[1]上单调 减,在[1,2]上单调递增, [②(a+b)]-+)=a+b-2ab=(-) 则g_(1)-2,则2 0..+ ②.正确.故选A.B.D 第4练 一元二次不等式及其解法 故a1,即实数a的取值范围为[1,十co),故选A. 8.B 因为不等式的解集为(一4,1), 小题·分层分练 则不等式对应方程的实数根为一4和1,且a~0; 1.A 由r”-4r+3<0,解得1<x<3,所以A-{xl1<x< -4十1--五 3 .因为0<-1 1,所以B=xl1 x <2 ,故A0B “,所以b-3 由根与系数的关系知, r1<r2.故选A. 1c=-4a' 2. BCD 由x-3x0可得x0或x3,即N-xlx0或 x3.对于A项,MON={xx3O(xx0或x3= 所以不等式化为3a(r*+1)-a(x+3)-4a>0. x x0:,故A项错误;对于B项,MUN=xlx<3 化为3(r+1)-(r+3)-4~ 0,即3r-r-4<0. U{rx0或r3)一R,故B项正确;对于C项,因C.M- 解得一1<r,所以该不等式的解集为(-1.). xx3Cxlx0或x3),故MCN,故C项正确;对 于D项.C(MON)=(CM)U(CN)=x|x3) 9.C 由条件知x,r。为方程^{}-2ax-3a^{}-0的两根,所以 rl0 x3=(rx0,故D项正确,故选BCD. x.+x。-2a,xx。--3a,故(r。-x.)-(x.+x)- 3.C 不等式的解集是(--)U(,+). 119第一部分专题一 集合与简易逻辑 第3练 不等关系与不等式 [小题·精讲精练] [思路引导]利用基本不等式解决实际问题的 思路 [例题讲坛] 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模 【例1】已知x为正实数，y为非负实数，且x十2y 型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关 =2,则2+1+22 y十的最小值为 的关系建立关系式·在解题过程中尽量向模型 ( A是 B号 ax十b>≥2Vab(a>0,b>0,x>0)上靠扰. [解析]如图所示， n号 连接OC,设OB=x(0<x<4) [思路引导] 变形式子2+1+2y2 则BC=√C-OB-√/16-， 英 y千，再利用基 AB=20B=2x, 本不等式“1”的妙用求出最小值。 所以由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为 作 [解析]由x为正实数，y为非负实数，得x>0, S=AB·BC=2.x·V16-x2=2W(16-x2)x2≤ y+1≥1，由x+2y=2,得x+2(y+1)=4, 业 (16-x2)+x2=16,当且仅当16-x2=x2时，即 +,爷=x++2+Dy1D+2 于是2+1+2y2 x=2V2时，等号成立 x 时 y+1 =x+2y-2+1+2 [答案]16 0 'x'y+1 【规律归纳】通过拼凑法利用基本不等式求最值 =1+21 沿 +2+11+异 的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、 凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下 此 =5+2D+2 y+1 几个方面的问题： 线 ≥4[5+2 帝=且收当 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的 变化以及等式中常数的调整，做到等价变形， 即x=y叶1=青时取等号， 2(y十1)2x (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为 号时.+142 4 1 取得最小 目标. 所以当x= (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的 值是故选R 前提. [答案]B [小题·分层分练] 【规律归纳】求最值的解题思路 [一层·打基础] (1)拼凑法：拼凑成积或和为定值，利用基本不等 知识点一比较大小与不等式的性质 式求相应的最值。 1.已知a,b.c∈R,则下列命题为假命题的是() (2)构造法：通过对已知条件的变形，构造定值， A.若a>b,则a十c>b+c 代入后利用基本不等式求值， B.若a>b>0,则a0.f>b0.1 (3)消元法：当要求最值的式子中含有多个字母 时，应考虑利用已知条件减少字母的个数，以达 C若>6则(<（侵 到利用基本不等式求最值的目的. 【例2】如图，在半径为4（单 D.若a>b>0,c>0,则b>+c aa十c D 位：cm)的半圆形(O为圆心) 2.若a=20202023×20232020,b=20202020× 铁皮上截取一块矩形材料 20232023,则a (用“>，<”填空). ABCD,其顶点A,B在直径 上，顶点C,D在圆周上，则矩形ABCD面积的最 3.设m= +7n=c2+1 e43+1 e8+行，则m n(用“>， 大值为 (单位：cm2). <”填空). 5 培优限时练小题突破·数学 知识点二对基本不等式的理解 12.(多选)已知正实数x,y满足2.x十y=xy,则 4.若正实数a,b满足a十b=1,则下列说法正确 ( 的是 ( ) A.xy≥16 B.x+2y≥9 A.ab有最小值 B.√a+√b有最小值v2 C.x+y>6 C+方有最小值4 D.。2+有最小值号 13.已知等差数列{am}中，a3=7,ag=19,Sm为数 5a=10g3,6=log4c=号的大小关系为( 列(a,)的前n项和，则”的最小值为 A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 14.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该 知识点三利用基本不等式求最值 容器的容积为π立方米，则至少需要 6.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算 平方米铁皮 术中项，儿何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学 [三层·早拔尖] 派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类 15.设a=1og23,b=1og35,c=1ogs8,则 中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大 致相同.若2十2=1，则(4“+1)(4+1)的最 A.a>b>c B.b>a>c 小值为 ( C.b>c>a D.c>a>b A翠 c n碧 16,.若不等式9z+4≥a十1（常数u>0)对一切正 x 7.若a>0,b>0,ab=2,则4+46+20 实数x成立，则a的取值范围 的最小值为 b2+1 17.记min{x,y,x}表示x,y,z中最小的数.设 [二层·提考能] a>0.6>0,则mina,方日+30的最大值为 品.已知>0，b>0,若不等式号+方>2开6位成 立，则m的最大值等于 ( 18.已知正实数a,bc满足b十c=1,则8ab+a+ bc A.10 B.9 C.8 D.7 a十的最小值为 18 9.若a=0.31l.5,b=log312,c=log26,d= 2 3 [小题·真题真练 则有 A.a>b>c B.ba>d 1.(2022·新高考Ⅱ卷)（多选）若x,y满足x2+ C.c>a>b D.b>c>a y2-xy=1,则 10.已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和 A.x+y≤1 B.x+y≥-2 第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m C.x2+y2≤2 D.x2+y2>1 ≠n),甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每 2.(2021·浙江卷)已知a,3,Y是互不相同的锐角， 周购买100元的该商品，乙每周购买20件该 则在sin acos3,sin3cosY,sin ycos a三个值中， 商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1, 42,则 ( 大于2的个数的最大值是 A.a=a2 B.a<a2 A.0 B.1 C.a>a2 D.a1ag的大小无法确定 C.2 D.3 11.已知A,B是函数y=2的图象上不同的两点， 3.(2020·新高考全国I)(多选)已知a>0,b>0, 若点A,B到直线y=的距离相等，则点A,B 且a十b=1,则 的横坐标之和的取值范围是 ( Ac2+≥号 R20>号 A.(-∞，-1) B.(-o∞，-2) C.(-0,-3) C.log2a+log2b≥-2D.√a+√b≤√2 D.(-o∞，-4)】 6