第2练 充分必要条件与常用逻辑用语-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分 专题一 集合与简易逻辑 --.---- 第2练 充分必要条件与常用逻辑用语 【规律归纳】 [小题·精讲精练 充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据→q,q→p进行判断,适用于定 [例题讲坛] 义,定理判断性问题。 【例1】 (1)已知a>0,b>0,则“a十b>2”是“ab> (2)集合法:根据.9成立的对象的集合之间的 1”的 包含关系进行判断,适用于命题中涉及字母的范 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 国的推断问题. C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的 (2)“a-1”是“直线ax-2y-2=0与直线x- 等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判 (a十1)y+1-0平行”的 ( 断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. A.充分非必要条件 【例2】若f(x)-x2-2x,g(x)=ax+2(a>0). B.必要非充分条件 C.充要条件 VE[-1,2],x。-1,2],使g(x)= D.既非充分又非必要条件 交 f(x。),则实数a的取值范围是 (3)已知a,b,cER且a≠o,则“ar?+bx+c>o [思路引导] 若全称命题是假命题,则其否定 - 的解集为(x x子1)”是“a十b十c-0”的 ) 一特称命题是真命题,若特称命题是假命题, A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 则其否定--全称命题是真命题. C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]·/f(x)=r2-2x=(-1)-1, [思路引导 [-1,2...-1<f(x)<3. 时 (1)通过举例的方法,以及基本不等式,结合充 又g(x)=ax+2(a>0)在[-1,2]上是增函数, 分,必要条件的定义,即可判断选项, 故2-a<g(x)<2a+2. 寸 (2)根据两直线平行的充要条件求a值即可得, 由题意可知[2-a,2a+2]-[-1,3], -- (3)根据一元二次不等式的解及充分条件、必要 [2-a二-1. 条件求解。 [解析] (1)若a-1.5,b-0.6,满足a十b>2, a>0. 但ab{1,若a>0,b>0,ab>1,则a+b>2b [答案](0] >2,即a+b2,所以“a十b>2”是“ab>1”的必 -- 要不充分条件,故选B. 【规律归纳】1.全称命题、特称命题的真假判断 (2)设l:ar-2y-2-0,l:-(a+1)y+1= 方法 0.直线l方程可化为y一 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定 集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判 斜率为,若l/l,则直线l2斜率存在,a十1≠ 断全称命题是假命题,只要能我出集合M中的 0.故直线l:x-(a十1)y十1-0方程可化为y 一个x,使得p(x)不成立即可. (2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定 {a+12 集合M中,至少能找到一个x,使(x)成立即 ,解得a-1,故/ 可,否则,这一特称命题就是假命题。 二-1 (3)不管是全称命题,还是特称命题,其真假不容 /l→a-1,当a-1时,直线l的方程为x-2y 易正面判断时,可先判断其命题的否定的真假. -2-0,直线l。的方程为x-2y+1-0,此时l 2.对全称(特称)命题进行否定的两步操作 /l,即a-1→l/l.因此,a-1是1/l2的充 (1)转换量词:找到命题所含的量词,没有量词的 要条件,故选C. 要结合命题的含义加上量词,再改变量词 (3)由题意,二次不等式ar^②}十bx十c0的解集 (2)否定结论:对原命题的结论进行否定. a0 b△! ,即a-c [小题·分层分练] 为xx子1,则等价于 -2 △-b2-4ac-0 [一层·打基础] 知识点一 >0.b--2a,即a+b+c=0,当a+b+c=0时, 充分条件、必要条件及充要条件的判断 不能推出a-c0,--2a, 1.若关于x的不等式x-1<a成立的充分条件 是0<x<4,则实数a的取值范围是 所以“ar2十bx十c>0的解集为(x x1”是“a ) A.a<1 十b十c一0”的充分不必要条件,故选A. B.a<1 [答案](1)B(2)C(3)A C.a3 D.a>3 3 培优限时练小题突破·数学 2.在下列所示电路图中,下列说法正确的是 12.(多选)下列命题不正确的是 (填序号). B.命题“Vx1,x2>1”的否定是“习x 1 21” ① ② ③ (1)如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的充分 不必要条件: D.若x十y>2,则x,y至少有一个大于1 (2)如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的必要 [三层·早拔尖] 不充分条件; 13.若“1<x2”是“x-2m<1”的充分不必要条 (3)如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的充要 件,则实数n的取值范围为 条件; 14.已知等差数列a。的前n项和为S。,且关于正 (4)如图④所示,开关A闭合是灯泡B亮的必要 整数n的不等式(S.-2022)(S+1-2022)<0 不充分条件。 与不等式(S-2023)(S.-2023)<0的解集 知识点二 充分、必要条件的综合应用 均为M. 3.已知S.是等差数列(a。)的前n项和,则“S 命题g:集合M中元素的个数一定是偶数个 na.”是“(a。)是递减数列”的 命题3:若数列(a.的公差d0,且n。EM,则 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 >1. C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 下列说法中正确的是 __ 4.已知:|x-1<1,q:x2-(a+1)x+a<o,若 A.命题。是真命题,命题3是假命题 是9的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 B.命题a是假命题,命题③是真命题 C.命题a是假命题,命题3是假命题 知识点三 全称命题与特称命题 D.命题a是真命题,命题8是真命题 5.下列命题为真命题的是 ) 15.命题j:存在m[-1,1],使得函数/(x)-r A. Vx0,ecosx B. Va>b,a?b2} 一2mx在区间[a,十c)内单调,若的否定为 C. xo,cosx>e D. 3ab.a<b 6.已知 :Vxé[-1,2],x2-2x+a<0;q: 真命题,则a的取值范围是 16.已知命题:xEB,ax^{②}+2ax+>0.能说明 王xR,x2-4.x十a=0.若,为假命题,q为真 为假命题的一组a,b的值为a= 命题,则a的取值范围为 ) A.[-3,4] b一 B.(-3,4 C.(一,-3) D.[4.十oo) [小题·真题真练] [二层·提考能] 1.(2024·新课标全国II卷)已知命题):VxER. 7.不等式x(x一2)0成立的一个必要不充分条 x+11:命题q:3x0,r=x.则 ( 件是 ) _ A.和q都是真命题 A.x(0,2) B.x[-1,+oo) B.7力和g都是真命题 C.xE(0,1) D.xE(1,3) 8.若命题y:Va0,a>lna,则命题-p为( C.)和都是真命题 7_~ D. 和都是真命题 A. a<0.a<lna B. a>0,alna 2.(2024·天津卷)设a,bR,则“a3-b*”是“3“- C. Va>0,alna D. Vao.a<lna 3{”的 ( 9.已知命题/:x[1,9],c2-ax+36<0.若 _~ 3 是真命题,则实数a的取值范围是 A.充分不必要条件 A.[37,十oo) B.[13,十o0) B.必要不充分条件 C.[12,+o) D.(-,13] C.充要条件 10.已知命题p:Vx[1,3],r②-ax+3<0,则 D.既不充分也不必要条件 的一个充分不必要条件是 3.(2024·全国甲卷)已知向量a三(x十1.x),b 7 ) (x,2),则 ( A.a<5 D.a>4 B.a>5 C.a<4 ) 11.已知数列(a.)满足an+1=3a.+2,则“a1= A.--3是ab的必要条件 一1”是“a是等比数列”的 B.x=一3是a/b的必要条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.x=0是a b的充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.x=-1十3是a/b的充分条件 *培优限时练小题突破·数学 18.解析：因为A=B≠②，所以m2一4n≥0，设x2十mx十n=0!4.解析：由x一1|<1，解得0<x<2,所以p:0<x<2, 的两个根为x1,x2(设x1≤x2), 对于q:r2-(a十1)r+a≤0，即(r-1)(x-a)≤0， x1十xe=一m,x1x±=n, 若a>1,解得1≤x≤a,要使p是q的必要不充分条件，则 A={xf(x)≤0}={xx1≤xx2}, a<2,所以1<a<2: 由f(f(r)+2)≤0得x1≤f(,x)+2≤x1,即z1一2≤f(r) 若a<1,解得a≤x≤1，要使p是g的必要不充分条件，则 ≤r:-2, a>0,所以0<a<1: 由于A=B,则-2=0，且x,-2≤4切一m(二次函数最 若d=1,则g为{rx=1},符合题意，所以实数a的取值范 4 国是(0,2). 小值)， 故答案为：(0,2) x2-2=0→x2=2.因此有x1十2=一m,2x1=n,所以n= 答案：(0,2) -2m-4, 5.A对于AC,当x>0时，Hx>0,e>1,cosx≤1， 代入m一4n≥0得m十8m十16≥0，此式恒成立， 所以x>0,e>cosx,故A正确，C错误： 代入x一2≤nm得一m一4≤二8m-16-m 解得 对于B,当a=0,b=一1时，a=0<1=b,故B错误； 4 4 对于Da2-=(a-b)(a2十ab+)=(a-b) -4≤m≤0. 故答案为：一4≤m≤0. [(a+)+s] 答案：一4≤m≤0 小题·真题真练 周为a>6,所以。-=(a-b)[(a+b)+6]>0. 1.B因为A={1,2,3,4},B={2,3,4,5),所以A∩B={2,3, 故D错误.故选A 4},故选B. 6.A由题意知p:Hx∈[-1,2]，x-2x+a<0为假命题， 2.A通解（直接法）因为A={x-5<x<5}={x|-5< 则7p:3x∈[-1,2]，x2-2x+a≥0为真命题， x<5),B={-3,-1,0,2,3},所以A∩B={-1,0},故 当x∈[一1,2]时，y=x2-2x十a的图象的对称轴为x=1, 选A. 此时其最大值为(-1)”+2十a=3十a,则3+a≥0， 优解（验证法）图为(-3)3=-27<一5，(-1)= '.a≥-3： -1∈(-5,5)，03=0∈(-5,5)，2=8>5,3=27>5，所以 又q:3x∈R.x-4x十a=0为真命题， -1∈A,0∈A,-3gA,2年A,3年A,所以A∩B=(-1,0}, 即△=16-4a≥0，即得a≤4， 故选A. 综合可得a的取值范国为[一3,4]，故选A. 3.C由集合的并运算，得MUN={x一3<x<4}. 7.B由r(x-2)<0得0<x<2.因为(0,2)年[-1，+o∞)，所 4.DB=(1,4,9,16,25,81,A∩B={1,4,9},则C(A∩B) 以“x∈[-1，十∞)”是“不等式r(x一2)<0成立”的一个必 ={2,3,5,故选D 要不充分条件， 5.答案：{1,3,5 8.B全称命题的否定是特称命题，将全称量词改为存在量 第2练充分必要条件与常用逻辑用语 词，并否定结论， 故命题一p为3a>0,a≤lna.故选B. 小题·分层分练 9.Cp:了x∈[1.9]，使得x一ax十36≤0为真命题，即 1.D依题意，a>0,解不等式x一1|<a,得1一a<x<1十a, 由不等式x一1<a成立的充分条件是0<x<4,得(0,4) 3x∈[1.9]，使得r2-ar+36≤0成立，即a>≥r+36能成 x a1+o.于+8 ,解得a≥3， 立.设)=+0，则)=+0>√=12，当 所以实数a的取值范图是a≥3.故速D. 2.解析：(1)开关A闭合，灯泡B亮：灯泡B亮时，开关A不一 且仅当r-36,脚r=6时，取等号，即fx=12,≥ 定闭合。 12,故实数a的取值范图是[12，+∞).故选C 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故(1) 10.B命题p:Hx∈[1,3]，x2一ax+3<0,等价于a>x+ 正确： (2)开关A闭合，灯泡B不一定亮：灯泡B亮时，开关A必 3 ,ax∈[1,3]恒成立 须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故(2) 又f)=x+是在[1w3)单调递减，在[V5,3]单调递增， 正确： f(1)-f(3)=4,故f(x)在[1,3]上的最大值为4： (3)开关A闭合，灯泡B亮：灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故(3)正确： 故a>r十3，x∈[1,3]恒成立，即a>4,也即命题p的充 (4)开关A闭合，灯泡B不一定亮：灯泡B亮时，开关A不 要条件为a>4: 一定闭合」 结合远项，p的一个充分不必要条件是4>5.故选B. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故1山.C当a1=-1时，周为a4=3a,十2，所以a+十1= (4)错误. 故答案为：(1)(2)(3) 3(a.+1),又a1=-1.则4十1=0，则a:+1=3(a:+1) =0,…,依次类推可知a。十1=0，故a.=一1，则{a,}是首 答案：(1)(2)(3) 3.B当等差数列{an)为常数列时，此时S.=ian,满足前者， 项为一1，公比为1的等比数列，即充分性成立； 但是此时“{4。}不是递减数列”，故充分性不成立： 当{a,}是等比数列时，因为a。+1=3a。+2,所以a,+1十1 当{an是递减数列.则对Vn∈N”,a,+1<a· 3(e,+)当a+1≠0时，2十=3，尉1a,+D是公光 S.-na,=n(a+）-a.-n(a2a） 2 2 为3的等比数列，所以a。十1=(a1+1)×3-1,即am= 当n=1时，S。一a。=0, (a,+1)×3-1-1,则ag=(a1+1)-1=a1,ag= 当n≥2时，a1>a,S。-a.>0, 3(a1+1)-1=341+2,aa=9(a1+1)-1=9a1+8,由a 所以对Vn∈N”,S≥a,则反推成立，故必要性成立， =a,a1,得(3a1十2)=a1·(9a1十8)，解得4=-1，不满 则“S,≥na,”是“{am}是递减数列”的必要而不充分条件 足题意：当a。十1=0，即a1=一1时，易知满足题意：所以 故选B. a1=一1.即必要性成立.故选C 116 参考答案 12.BC对于选项A,由1>1得到0<x<1,故“x<1"是 第3练不等关系与不等式 “1>1”的必要不充分条件，故选项A正确：对于选项B 小题·分层分练 1.D对于A,因为a>b,所以a十>b十c,故A结论正确： 命题“Hx≥1，x≥1”的否定是“了x≥1，x<1”,故选项B 对于B,当a>b>0时，因为暴函数y=x在(0，十∞)上单 错误：对选项C,由工=一1得到x十y=0且y≠0，故x十y 调递增，所以a>,故B结论正确： 对于C,因为a>b,所以a十c>b+c, =0的充分不必要条件是工=一1，故选项C错误：对于选 项D,假设r、y全都不大于I,即x≤1且y≤1，则x十y≤ 而画数y=(侵)广为减画数，所以（号）<()，故C 2,与条件矛盾，假设不成立，故D正确.故选BC 结论正确： 13.解析：由x一2m<1,得2m-1<x<2m+1, 对于D,么-b牛c_b(a+c)-a(b+c)=c(b-a) 因为“1<x<2”是“x一2m<1”的充分不必要条件， aa十c a(a十c) a(a十c) 所以集合{x1<x<2}是集合(x2m-1<x<2m+1)的 因为a>b>0,c>0,所以c(b-a)<0,(a十c)>0, 真子集， 所以(2m-1≤1 所以2-=6二<0，所以么<士5，故D特论错 2m+12不网时取等号)，解得号<m<1, aa十ca(a+c) aa十c 误.故选D. 所以实数m的取值范调为？≤m<1. 之解指：若智-（匠）广<1，片以 20201 故答案为：豆≤m≤1. 答案：< 3.解析：.m一n e"+1_e"+1 -e"(e-1)月 答案：<m<1 e"+1e+1(e+1)(e+D<0. 所以m<n. 14.B对于命题a:当4。=2021时，(S.一2022)(S,+1一2022) <0的解集为M={1}, 答案：< (S。-2023)(S.+1一2023)<0的解集为M={1},此时集 4,Ca>0,b>0,且a+b=1:1=a+b≥2ab: 合M中元素的个敏是1， 故命题a为假命题： ∴ab<ab有最大值选项A错送： 对于命题B:又公差d>0,则Sn单调递增， 由n∈M,得(S+1-2022)(S+1-2022)<0且(S。+1- a+=a+b+2v函=1+2va6≤1+2VF=2. 2023)(5.,+1-2023)<0, Va十√B≤√2，即a十b有最大值2，∴B项错误. 解得/+1<202 且/代1<2023 1S,+1>2022S.+1>2023 所以/S+1<2022 S+1>2023 所以a,>1,故命题B为真命题.故选B. 15.解析：命题p的否定为：任意m∈[-1,1门，使得函数f(x) r+=a+b》-2ab=1-2ab>1-2x=号： =x2一2m.x在区间[a,+∞)内不单调， 由西数f(x)=x2一2mx在（一∞，m)上单调递减，在 0+的最小值是号，不是号D错民 (m,十o∞)上单调递增， 则4<m,而m∈[一1,1]， 5.A由6=log4=log,26>c=号=log2, 得a<-1, 由0g4 故答案为：（一∞，一1） e2×e长(24=（他）<1 2 答案：（一o∞，一1） 即log4<log23,故b<a 16.解析：若命题p:xER,a.x十2ax十b≥0为假命题， 综上，c<b<a,故选A. 则命题p:x∈R,a.x+2ax十b<0为真命题， 6.D不妨设m=2,n=2,则m>0,n>0, 当a=0时，0， 当a<0时，△=4a2-4ah<0,则a>b: 所以1=加十n≥2Vm,当且仅当m==号时取等号， 所以p为假命题的一组a,b的值为a=一1，b=一2， 故答案为：一1，一2（不唯一）. 即0<m≤行，当且仅当m==时取等号， 答案：一1（不唯一）一2（不唯一） 所以(4“+1)(4+1)=(m2+1)(n2+1)=(mn)2十 小题·真题真练 m十n2+1=(mn)2+(m十n)2-2mn十1 1.B通解因为Hx∈R,|x十1≥0，所以命题p为假命题， =(mm)2-2mn+2=(mn-1)2+1.(0<m≤4) 1 所以一p为真合题.图为x=x,所以x一x=0,所以x(x -1)=0,即x(x十1)(x-1)=0,解得x=一1或x=0或x =1,所以3x>0,使得x=x,所以命题g为真命题，所 所以当m时，(mn)2-2n十2取得最小值 以7g为霞命题，所以了p和9都是真命题，故选B 故选D. 优解（特殊值法）在命题p中，当x=一1时，x十1=0， 7.解析：由a>0,b>0,ab=2→a= 2 所以命题巾为假命题，一p为真命题.在命题q中，因为立方 根等于本身的实数有一1.0,1，所以3x>0,使得x=x,所 以命题9为真命题，一q为假命题，所以p和q都是真命 故0十b+26 2+4b+26 2+4b+26 题，故逃B. b2+1 b+1 b(6+1) 2.C由函数y=x单调递增可知，若a=b,则a=b:由函数 =2(6+1) =2+1 y=3单调递增可知，若3=3，则a=6.故“a3=“是“3"= b(b+1) b 3”的充要条件，故选C. 1 3.Ca⊥b=x十x+2.x=0=x=0或x=-3,所以x=-3是 =2(b+6)≥2×2V6x =4,当且仅当b=1时等号成 a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正 立，故最小值为4， 确.a∥b=2r+2=r2=x2-2x-2=0=x=1±√3，故B.D 故答案为：4 错误. 答案：4 117