精品解析：山东省泰安市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

高三年级考试 数学试题 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集的定义即可求得. 【详解】因为，则，因为，则，. 故选：A 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义即可求解. 【详解】命题的否定为. 故选：B. 3. 已知，，，且，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】将对数式转化为指数式，结合指数运算，求解即可. 【详解】，故可得，又，则. 故选：D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 5. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. 220 B. 240 C. 260 D. 280 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的定义求得首项和公差，代入求和公式即可求得. 【详解】由数列为等差数列，且，，则 ，解得，. 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用两角和差公式可得，再利用倍角公式结合齐次化问题分析求解. 【详解】因为，则，可得， 所以. 故选：B. 7. “函数的图象关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断可确定选项. 【详解】当函数的图象关于点对称时，，解得，不能得到. 当时，， 由得，，函数的对称中心为， 令得对称中心为. 综上得，“函数的图象关于点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知对任意恒成立，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析条件可知的解集为，得到和的关系，不等式等价转化后可得不等式的解集. 【详解】由得，. 当得，，， 当得，，， 当得，，. ∵对任意恒成立， ∴由得，， ∴和是方程的两根，且， ∴，故. 由得，，即， 解得，故不等式的解集为. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查一元二次不等式综合问题，具体思路如下： （1）分析在不同定义域上的取值范围，可得到的解集为. （2）根据不等式的解集结合韦达定理可得，. （3）可转化为，解不等式可得结果. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的基本性质即可判定各个选项. 【详解】A选项：当，时，，但，故A错误； B选项：∵，∴当时，，故B正确； C选项：∵，∴，，由∵， ∴，故C正确； D选项：，则，当时，，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称 C. 是函数的极大值点 D. 当时，函数的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算可得选项A错误；计算平移之后的函数表达式，得到奇函数，选项B正确；分析函数在上为增函数，在上为减函数，可得选项C正确；分析函数在的单调性，计算最值，可得选项D正确. 【详解】A.由得， ， ∴，选项A错误. B.由题意得，， 函数的图象向右平移个单位长度得， ， 得为奇函数，函数图象关于原点对称，选项B正确. C.由得，， 当时，，，， 当时，，，， ∴在上为增函数，在上为减函数，是函数的极大值点，选项C正确. D. 由可知， 当时，，，， 结合选项C可得，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数. ∵，， ，， ∴，， 故函数的值域为，选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知各项均为正数的数列的前n项和，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. D. ，， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先令,得到,判断选项A；然后当时，得，消除前项和，得到相邻两项的关系，借此来判断选项BC；最后，利用前面得到的的范围建立不等式，放缩求解，判断选项D. 【详解】令,得，因为， 所以，故A错误； 当时，得 所以 所以 得 由题可知， 故与同号 因为 所以，故C正确； 因为，所以 得，所以是递减数列，故B正确； 因为,，所以 所以 得 所以当时，， 所以， 所以， 故选项D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：因为数列是一个递减数列，所以每一项都小于2，然后累加得到,然后根据题中等式得到,然后再因为,利用列项相消的方式求和即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知数列满足，设的前n项和为，若，则__________. 【答案】123 【解析】 【分析】由递推公式得到数列前6项的值，通过观察发现数列规律，从而求得前50项的和. 【详解】由题意可知：，，，， ，，…… 由此可得是一个周期为4的周期数列 ∴. 故答案为：123. 14. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】对，及进行分类讨论，分别判断条件是否满足，即可得到答案. 【详解】设，则，. 故对有，对有. 这表明在上递增，在上递减. 而，，. 所以结合的单调性知，存在，使得对有，对有，且. 这表明在和上递减，在上递增. 从而对有，对有，对有. 故对任意，都有，而对任意，都有. 下面对进行分类讨论： ①若，则对有，，从而，且. 故，满足条件； ②若，则有，满足条件； ③若，设，则. 从而对有，对有. 所以在上递增，在上递减，这就得到 . 故对任意，都有 ，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于分类讨论，以求得的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中，. （1）若，的最小正周期为，求的单调递增区间； （2）若函数的部分图象如图所示，其中，，求的解析式. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）由周期公式确定函数解析式，再由整体代换即可求解； （2）由两点可确定周期，再结合可得即可求解. 【小问1详解】 因为函数，，的最小正周期为， 所以，解得：，又， 所以， 由， 解得：， 所以的单调递增区间为：. 【小问2详解】 由，， 可得，即，得： 同时，结合， 可得：， 所以 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）讨论方程（）解的个数. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是. （2） 当时，有0个解； 当或时，有1个解； 当时，有3个解； 当时，有2个解. 【解析】 【分析】（1）根据函数的导函数与函数的单调性的关系可得函数单调区间； （2）由（1）得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值和极小值，由此讨论出在对应取值范围内方程解的个数. 【小问1详解】 的定义域为， ， 由，可得，由，可得或， ∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 由（1）可知函数在，上单调递增；函数在上单调递减， ∴在时函数取极大值：；在时函数取极小值：， 又∵，，∴， 可得函数的大致图象， ∴当时，有0个解； 当或时，有1个解； 当时，有3个解； 当时，有2个解. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，的面积为S，且. （1）求A； （2）若，求S的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过二倍角公式与余弦定理化简原式，即可求得； （2）借助余弦定理和基本不等式可以求得面积的最大值. 【小问1详解】 由得， ， 化简得，，又根据余弦定理 ，则代入上式可得即， 因为A为锐角，所以. 【小问2详解】 ，由， ，则，， 所以S的最大值为. 18. 已知函数. （1）若，是定义在上的函数，，.证明：当时，为周期函数. （2）若曲线在处的切线方程为，设（），为的导函数，且有两个极值点，（）.证明：. 【答案】（1） 时，， ，则 ， 为偶函数. ①，， ②，； ③，. ，为偶函数. ，， ，， 即为周期函数. （2） 由题意得， 由已知，，， ，， ， 设 . 由已知，为在上的两个不等实根，且， ，. ， ， 要证:， 只需证， 即证. 设，则， 在上单调递减，又. . ， 原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）首先根据偶函数的判定得为偶函数，再计算得，则证明其为周期函数； （2）直接求导，根据得到值，则得到的解析式，两次求导得到再结合韦达定理得到，作差化简得，将原不等式转化为证明，再设新函数求导即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是首先求出值，从而得到的表达式，再多次求导得到韦达定理式，最后再对要证明的不等式进行等价转化，减少变量，最后重新设函数利用导数证明即可. 19. 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1.证明当（）时命题成立；2.假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有自然数n都成立.已知有穷递增数列，，，且.定义：集合，若对，，使得，则称具有性质T. （1）若数列，1，2，m（）具有性质T，求实数m的值； （2）若具有性质T，且，， （ⅰ）猜想当时的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想； （ⅱ）求（）. 【答案】（1）4； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）讨论的不同取法，根据性质的定义，结合数列的单调性，即可求得参数值； （2）（ⅰ）猜想，再利用数学归纳法，结合性质的定义，分类讨论，即可证明； （ⅱ）利用（ⅰ）中所求通项公式，利用裂项求和法，即可求得结果. 【小问1详解】 由已知，数列具有性质， 当时，取，满足题意； 当时，取，满足题意； 当时，，此时中有且仅有一个数为， 若，则，不满足题意； 若，则或或， 又因为，故； 综上所述，. 【小问2详解】 （ⅰ）猜想. 当时，满足题意； 假设时，成立，则当时， 若，则取满足题意； 若，则中有且仅有一个数为， 当时，设，则， 故，当且仅当时，取得等号； 当时，设，则， 记，则； 因为对任意的，都有在中取到， 则，即； 故，故成立； 综上，. （ⅱ）因为时， 故 . 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键，一是，能够数量掌握数学归纳法的证明过程；二是，能够根据性质的定义，合理的分类讨论；三是，数量掌握裂项求和法求解数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级考试 数学试题 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，且，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. 220 B. 240 C. 260 D. 280 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. “函数的图象关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知对任意恒成立，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称 C. 是函数的极大值点 D. 当时，函数的值域为 11. 已知各项均为正数的数列的前n项和，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. D. ，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________． 13. 已知数列满足，设的前n项和为，若，则__________. 14. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中，. （1）若，的最小正周期为，求的单调递增区间； （2）若函数的部分图象如图所示，其中，，求的解析式. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）讨论方程（）解的个数. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，的面积为S，且. （1）求A； （2）若，求S的最大值. 18. 已知函数. （1）若，是定义在上的函数，，.证明：当时，为周期函数. （2）若曲线在处的切线方程为，设（），为的导函数，且有两个极值点，（）.证明：. 19. 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1.证明当（）时命题成立；2.假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有自然数n都成立.已知有穷递增数列，，，且.定义：集合，若对，，使得，则称具有性质T. （1）若数列，1，2，m（）具有性质T，求实数m的值； （2）若具有性质T，且，， （ⅰ）猜想当时的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想； （ⅱ）求（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $