压轴专题06 空间向量与立体几何中动态问题（3类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题06 空间向量与立体几何中动态问题 目录 1 2 一．动点与位置关系 2 二．动点与距离问题 4 三．动点与角度问题 5 6 1.线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2.线面平行的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则 l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3.面面平行的向量表示 设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 4.线线垂直的向量表示 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 5.线面垂直的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 6，空间角与距离 一．动点与位置关系 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 【例2】（2024·安徽池州·期中）如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平面 C．当时，平面 D．当时， 【解题技法】解决空间位置关系的动点问题的方法 （1）应用“位置关系定理”转化； （2）建立“坐标系”计算. 对点训练 1.（多选）如图，在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，下列结论正确的是（    ）    A．若平面，则 B．若平面，则 C．若平面，则 D．若平面，则 2.（23-24高二下·湖北武汉·期中）棱长为1的正方体中，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．存在直线 B．存在平面平面 C．直线与平面所成角正弦值为定值 D．三棱锥的体积为定值 二．动点与距离问题 【例3】（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4】（2024·吉林长春·期中）如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题技法】函数思想：通过建系或引入变量，把这类问题转化为函数，从而利用代数方法求解. 几何思想：转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹． 对点训练 1.（2024·四川绵阳期中）已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在正方体中，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 三．动点与角度问题 【例5】（24-25高二上·江苏无锡·期中）在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例6】（2024·广东东莞期末）如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【点拨】直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面． 对点训练 1.（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·浙江绍兴·期中）如图，四面体的每条棱长都等于，分别是上的动点，则的最小值是 ，此时 ． 1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（    ） A．不存在点N满足 B．满足的点N的轨迹长度是 C．满足平面的点N的轨迹长度是 D．满足的点M的轨迹长度是 4．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上，下列结论中不正确的是（    ） A．三棱锥的体积的最大值为 B．点到平面的距离为 C．点到直线的距离的最小值为 D．的最小值为 5．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（包括边界），则以下命题中，不正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．存在点P，使平面AEF； C．若平面AEF，则线段长度的取值范围是； D．若点P在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 6．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M，N分别是线段，的中点，Q是线段上的一个动点（含端点D，C），则下列说法都正确的是（   ） ①存在点Q，使得 ②存在点Q，使得异面直线与所成的角为60° ③三棱锥体积的最大值是 ④当点Q自D向C处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③ 7．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·山东枣庄·期中）如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 10．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．存在点使得直线∥平面 B．存在点使得直线平面 C．存在点使得的周长为 D．存在点使得三棱锥的体积大于 11．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点是线段上的动点，则下列命题中正确的是（    ） A．若建立以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴的空间直角坐标系，则点关于平面对称的点坐标为 B．点到的距离是 C．不存在点，使得直线平面 D．直线与所成角余弦值的取值范围是 12．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期中）如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（   ） A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为1 13．（24-25高二上·山东青岛·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为的中点，为棱上的动点，则（   ） A． B．存在点，使面 C．最小值为 D．存在两个点，使与所成的角为60° 14．（24-25高二上·湖北·阶段练习）正方体中，点E是的中点，点F为正方形内一动点，且平面，若异面直线CF与所成角为，则的最小值为 . 15．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为3的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，写出一个满足条件的点的坐标为 ．    16．（23-24高一下·云南丽江·阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题06 空间向量与立体几何中动态问题 目录 1 2 一．动点与位置关系 2 二．动点与距离问题 7 三．动点与角度问题 11 16 1.线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2.线面平行的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则 l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3.面面平行的向量表示 设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 4.线线垂直的向量表示 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 5.线面垂直的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 6，空间角与距离 一．动点与位置关系 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 故， 所以， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，满足平面， 点的轨迹长度为. 故选：B 【例2】（2024·安徽池州·期中）如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平面 C．当时，平面 D．当时， 【答案】D 【解析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 设，可得， 对于A中，当时，即为对角线的中点， 连接，在矩形中，可得也是的中点， 所以三点共线，所以A正确； 对于B中，当时，可得，所以，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 所以，所以平面，所以B正确； 对于C中，当时，可得，所以， 设平面的法向量为，且， 则，取，可得，所以， 则，所以平面，所以C正确； 对于D中，当时，，由， 解得，则, 所以与不垂直，所以D错误. 故选：D. 【解题技法】解决空间位置关系的动点问题的方法 （1）应用“位置关系定理”转化； （2）建立“坐标系”计算. 对点训练 1.（多选）如图，在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，下列结论正确的是（    ）    A．若平面，则 B．若平面，则 C．若平面，则 D．若平面，则 【答案】BD 【解析】如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则，取， 又平面的法向量可以为， 设，，则， 若平面，则，即，解得， 即，故A错误，B正确； 若平面，则，则，即， 所以，解得，即，故C错误，D正确. 故选：BD    2.（23-24高二下·湖北武汉·期中）棱长为1的正方体中，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．存在直线 B．存在平面平面 C．直线与平面所成角正弦值为定值 D．三棱锥的体积为定值 【答案】C 【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设，， 则，， 对于A，若，则，解得， 即当点为线段中点时，点在线段任意位置，都有，故A正确； 对于B，当点分别为线段，上的中点时，有， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C，由得， 设平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 则，不为定值，故C错误； 对于D，因为为正方体， 所以，则四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，又线段，所以点到平面的距离为定值， 设平面的法向量， 由得，，取，则， 由，得， 所以， 又的面积， 所以为定值，故D正确； 故选：C． 二．动点与距离问题 【例3】（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 【例4】（2024·吉林长春·期中）如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由直三棱柱可得平面，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系，， 设，其中，故， 而，， 故到直线的距离为， 因为，故，故， 故选：B. 【解题技法】函数思想：通过建系或引入变量，把这类问题转化为函数，从而利用代数方法求解. 几何思想：转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹． 对点训练 1.（2024·四川绵阳期中）已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 故， 设， 则； 设为与都垂直的向量， 则，令，则， 因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度， 故点P到直线的距离的最小值为， 故选：A 2.（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在正方体中，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则,2,，,,，,2,， 因为是的中点，所以，，， 所以,,， 而,0, ，所以，即， 所以点到的距离就是， 因为， 所以，即， 所以，即， 所以的中点到的距离为． 故选：B． 三．动点与角度问题 【例5】（24-25高二上·江苏无锡·期中）在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设， 则， 设， 则， 因为， 所以，解得， 所以，则， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B. 【例6】（2024·广东东莞期末）如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设， ，即， 平面的一个法向量为， 则， ，当时，最大为，，此时最大为. 故选：B 【点拨】直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面． 对点训练 1.（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为， 则， 由在线段上，设， 则. 设平面的法向量， 则，即， 令，得， 则平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以当时，取最小值， 即取最大值，由，则的最大值为. 所以直线与平面所成角的最大值为. 故选：C. 2.（2024·浙江绍兴·期中）如图，四面体的每条棱长都等于，分别是上的动点，则的最小值是 ，此时 ． 【答案】 【解析】由题意可知，三个向量两两间的夹角为， 当分别是的中点，取得最小值，理由如下， 因为分别是的中点，， 则 ， 所以，同理可证， 由异面直线公垂线的性质可知，此时取得最小值， 此时，， 所以， 又，，，， ， 所以. 1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 【答案】D 【解析】以正方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 设正方体棱长为1， 则， 所以， 若，则， 即，方程有无数组解， 故选：D 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合题意：以分别为建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，可得. 设， 则， 因为平面，所以, 即，解得， 所以，所以， 所以， 因为，结合复合函数单调性可得在单调递增. 故. 故选：D. 3．（23-24高二上·北京·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（    ） A．不存在点N满足 B．满足的点N的轨迹长度是 C．满足平面的点N的轨迹长度是 D．满足的点M的轨迹长度是 【答案】D 【解析】 如图建立空间直角坐标系，则有，，，，， , 对于A选项，若，则，且，， 故轨迹方程为，当时，，点既在轨迹上， 也在底面内，故存在这样的点存在，A错误； 对于B选项，，，在底面内轨迹的长度是以A为圆心， 1为半径的圆周长的，故长度为，B错误； 对于C选项，，，设面的法向量 故有，解得，故， 平面， ，的轨迹方程为， ，在底面内轨迹的长度为，C错误； 对于D选项，， ，，的轨迹方程为，即， ，在底面内轨迹的长度为，D正确 故选：D. 4．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上，下列结论中不正确的是（    ） A．三棱锥的体积的最大值为 B．点到平面的距离为 C．点到直线的距离的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】在直三棱柱中，平面， 对于A：因为点在棱上，，所以， 又，，点在棱上， 所以，， 所以， 当且仅当在点、在点时取等号，故①正确； 对于B：在直三棱柱中，， 则，又点在棱上， 所以点到平面的距离，即为,故B正确； 对于C：如图建立空间直角坐标系，设，，， ，所以，， 所以点到直线的距离为 ， 当时，， 当时，，即， 则，即， 所以当取最大值，且时，， 即当在点，在点时，点到直线的距离的最小值为，故C正确； 对于D：如图将翻折到与矩形共面时连接交于点， 此时取得最小值， 因为，，所以， 所以， 即的最小值为，故D错误. 故选：D. 5．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（包括边界），则以下命题中，不正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．存在点P，使平面AEF； C．若平面AEF，则线段长度的取值范围是； D．若点P在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【答案】B 【解析】对于选项A：取中点，连接，    因为分别为的中点，则， 又因为，可知为平行四边形， 可得，，则，， 可知平面截正方体所得截面为，为梯形， 且，所以截面为等腰梯形，故A正确； 对于选项C：如图，取中点G，中点H，连接GH，，    则∥AE，且平面AEF，平面AEF，可得∥平面AEF， 同理GH∥EF，平面AEF，平面AEF，所以GH∥平面AEF， 因为，平面,所以平面∥平面AEF， 因为P是侧面内一点，当P点在线段GH上时，能够满足平面AEF， 因为正方体棱长为2，由勾股定理得：，， 故点P落在GH中点时，长度最小，此时， 当点P与G或H重合时，长度最大，此时， 综上：线段长度的取值范围是，故C正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，    对于选项B：设，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若平面AEF，则，可得，解得， 此时点不在侧面内， 所以不存在点P，使平面AEF，故B错误； 对于选项D：若点P在线段上，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确； 故选：B. 6．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M，N分别是线段，的中点，Q是线段上的一个动点（含端点D，C），则下列说法都正确的是（   ） ①存在点Q，使得 ②存在点Q，使得异面直线与所成的角为60° ③三棱锥体积的最大值是 ④当点Q自D向C处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【解析】以A为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，，，； 对于①，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得， 即点与重合时，，①正确； 对于②，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以，方程无解； 所以不存在点满足题意，②错误； 对于③，连接，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值； 又点到平面的距离， 所以，③正确； 对于④，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 当点Q自D向C处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故④正确. 故选：C 7．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 可得， 则，可知， 且，平面，可知：平面， 且平面，可得， 设，即，则， 因为，解得，即； 同理可得：平面，， 则，， 又因为， 则三棱锥为正三棱锥，点为等边的中心， 在中，结合等边三角形可知：， 因为平面，平面，则，可知， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 综上所述：线段的取值范围为. 故选：C. 8．（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 球心，取的中点，的中点，连接， 则，， ， 故，， 又，平面， 故⊥平面， 故当位于平面与内切球的交线上时，满足， 此时到平面的距离为 ， ，其中为平面截正方体内切球所得截面圆的半径， 故点的轨迹为以为半径的圆， 故点的轨迹长度为. 故选：B 9．（24-25高二上·山东枣庄·期中）如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】由题意，可将几何体补全为一个正方体， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体棱长为2，则,0,，,0,，,0,，,0,， ,1,，,2,，,2,，， 设,,， 对于A选项，假设存在点，使得平面， 因为,,，，， 则，可得， 因为，则，即当点与点重合时，平面，故A正确； 对于B选项，由A选项可知，平面的一个法向量为， 假设存在点，使得平面平面，则，， ， 则，可得， 又因为，解得，即当点为的中点时，面平面，故B正确； 对于C选项，若存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为， 则直线与平面的所成角的正弦值为，且， 所以， 整理可得， 因为函数在时的图象是连续的，且，，所以存在，使得， 所以，存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为，故C正确； 对于D选项，设平面的法向量为，，， 则，取，可得,1,， 假设存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 则， 可得，即，可得或， 因为，则，则， 所以，故当时，方程和均无解， 综上所述，不存在点，平面与平面的夹角的余弦值为，故D错误． 故选：ABC． 10．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．存在点使得直线∥平面 B．存在点使得直线平面 C．存在点使得的周长为 D．存在点使得三棱锥的体积大于 【答案】AC 【解析】对于A选项，当为中点时，易知，平面，平面， 由线面平行的判断定理可证平面，故A正确； 对于B选项，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 可得 所以 因为， 所以直线与直线不垂直，故不存在点使得直线平面，故B错误； 对于C选项，将正方形、正方形展开成平面图形如下图所示， 连接，交于，此时取得最小值为，又， 此时的周长为，故存在点使得的周长为，故C正确． 对于D选项，对于三棱锥的体积，即三棱锥的体积， 而为线段上的动点，平面， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即等于三棱锥的体积， ， 故三棱锥的体积为定值，D错误； 故选：AC． 11．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点是线段上的动点，则下列命题中正确的是（    ） A．若建立以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴的空间直角坐标系，则点关于平面对称的点坐标为 B．点到的距离是 C．不存在点，使得直线平面 D．直线与所成角余弦值的取值范围是 【答案】BD 【解析】因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直， 平面平面，平面， 所以平面，故可以以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系， 则， ，所以， 所以点关于平面对称的点坐标为，故A错误； 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 若直线平面，则， 显然存在点，使得直线平面，故C错误； 设直线与所成角为，则， 若，则， 若，则， 易知单调递增，即，故D正确； 易知平面，平面，则，， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 则点到的距离为，故B正确. 故选：BD 12．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期中）如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（   ） A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为1 【答案】AC 【解析】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设， 对于A，，，，， ，即， 而平面，因此平面，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积为，是定值，C正确； 对于D，，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 13．（24-25高二上·山东青岛·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为的中点，为棱上的动点，则（   ） A． B．存在点，使面 C．最小值为 D．存在两个点，使与所成的角为60° 【答案】ABC 【解析】如图，以为原点，建立空间直角坐标系. 则,，，， 为棱上的动点，可设，. 所以，. 对A：，所以，故A正确； 对B：因为平面的法向量可取，由，所以点为线段中点时，面，故B正确； 对C：因为，当时取等号，故C正确； 对D：由或， 因为，所以不合题意，所以使与所成的角为60°的点只有1个，故D错误. 故选：ABC 14．（24-25高二上·湖北·阶段练习）正方体中，点E是的中点，点F为正方形内一动点，且平面，若异面直线CF与所成角为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，， 故，，，， 设平面的一个法向量为，则， 解得，令，则， 因为平面，所以， 即，所以， 设异面直线CF与所成角为， 则， 由于， 所以当或时，上式有最大值，此时最小为 15．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为3的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，写出一个满足条件的点的坐标为 ．    【答案】（答案不唯一） 【解析】由题，得，， 设，平面的法向量为， 则即令，则，， ，即． 取，则，故点． 16．（23-24高一下·云南丽江·阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为 . 【答案】 【解析】由正方体棱长为2，以为坐标原点，分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系； 设且， 易知，可得， 由可知，即， 即. 当时，，即图中的中点； 当时，，即图中点； 即可得点在底面上运动形成的轨迹为线段，易知. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$