压轴专题10 圆锥曲线中的最值范围问题（3类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题10 圆锥曲线中的最值范围问题 目录 1 2 一．利用不等关系求最值（范围） 2 二．利用基本不等式求最值（范围） 3 三．利用函数性质求最值（范围） 4 5 【知识点1 圆锥曲线中的最值问题】 1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最 值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路 (1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)； (2)构建不等关系. 【注意】若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路. 【知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题】 1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略： 结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即所求参数的范围. 一．利用不等关系求最值（范围） 【例1】（2024·三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围． 【例2】（2024·石家庄二中模拟预测）已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左右顶点为，，且动点，在双曲线上，直线与直线交于点，，，求的取值范围. 【解题技巧】寻找不等关系的突破口 (1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围; (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围; (4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围; 对点训练 1.[2023全国甲理2023]已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 2.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 二．利用基本不等式求最值（范围） 【例3】（2022·全国甲（理）T）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【例4】（2024·河南焦作·三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值． 【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题 利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。 基本不等式求最值的五种典型情况分析 对点训练 1.（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 2.（2024·江苏淮安·模拟预测）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值． 三．利用函数性质求最值（范围） 【例5】（2021·全国乙卷）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【例6】（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线，点为上一点，且到的准线的距离等于其到坐标原点的距离. (1)求的方程； (2)设为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长交于两点，求四边形面积的最小值. 【解题技巧】利用函数求最值、范围的方法 根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数或函数求导等可分析函数的单调性，从而确定的最值或范围。 对点训练 1.（2024·绍兴一中模拟预测）如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF. (1)求点P的坐标； (2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 2.（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围. 1.（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知，是抛物线：上的两点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 2．（河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求△OMN面积的取值范围. 4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值． 5.（2024·四川成都·模拟预测）设椭圆的左焦点，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围． 6.（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 7.[浙江宁波2024三模]已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程： (2)若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T． （i）证明：射线是的角平分线； （ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围． 8.[陕西安康2024模拟]已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D. (1)求点D的轨迹E的方程； (2)过C上一点作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求面积的最小值. 9.（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的周长为6，为的中点，为坐标原点，直线的斜率分别为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：为定值； (3)求面积的最大值． 10．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，且到直线的距离为． (1)求双曲线的标准方程． (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点，直线与交于点． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）当两点均在的左支上时，直线与交于点，直线与直线交于点，求的面积的最小值． 11．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为1的直线与抛物线交于点，以点为圆心的圆过点，且圆关于直线对称． (1)求抛物线与圆的方程； (2)过轴上的点作斜率为1的直线，交圆于点，且与交于不同的两点，求的取值范围． 12．（24-25高二上·四川遂宁·阶段练习）已知点在椭圆上，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 13．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过曲线上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于（异于点）两点，求证：直线恒过定点； (3)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题10 圆锥曲线中的最值范围问题 目录 1 2 一．利用不等关系求最值（范围） 2 二．利用基本不等式求最值（范围） 6 三．利用函数性质求最值（范围） 11 17 【知识点1 圆锥曲线中的最值问题】 1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最 值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路 (1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)； (2)构建不等关系. 【注意】若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路. 【知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题】 1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略： 结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即所求参数的范围. 一．利用不等关系求最值（范围） 【例1】（2024·三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围． 【解题指导】 【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 联立解得 故椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)设P(x0，y0)为弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0. 则x1＋x2＝，x1x2＝. Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，所以m2＜1＋4k2. ① 【易错】忽视直线与椭圆有两个交点，从而得到Δ＞0. 所以x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝. 所以kAP＝＝－. 又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN， 则－＝－，即3m＝4k2＋1. ② 把②代入①得m2＜3m，解得0＜m＜3. 由②得k2＝＞0，解得m＞. 综上可知，m的取值范围为. 【例2】（2024·石家庄二中模拟预测）已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左右顶点为，，且动点，在双曲线上，直线与直线交于点，，，求的取值范围. 【解题指导】（1）离心率→点在双曲线上→，，的关系→联立方程求得，→求双曲线的标准方程 （2）将直线和直线的方程分别用点斜式表示出来→并联立求得点的轨迹方程→→由点的轨迹方程→可知的范围. 【解析】(1)设双曲线的标准方程为， 联立得，，所以双曲线的标准方程为. (2)已知，，，. 当时，动点与点，重合， 【易错】忽视斜率是否存在 当时，直线，直线， 联立两直线方程得. 又因为，即，所以，即. 又， 且，所以. 【卡壳点】忽视点P满足，得不出 【解题技巧】寻找不等关系的突破口 (1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围; (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围; (4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围; 对点训练 1.[2023全国甲理2023]已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【解】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． (2)因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 2.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 【解析】因为抛物线的准线是， 所以抛物线的焦点坐标，所以； (2)因为点M是抛物线的准线上的动点，设． （ⅰ）若直线l的斜率不存在，则． 由得， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以； 因为，所以， 即，所以， 所以因为，所以①． （ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设． 由得， 所以， 且，所以（*）， 因为，所以，即， 所以， 所以，得， 因为，所以， 即，所以， 所以 则 所以，得， 所以②， 代入（*）得，，所以③， 由②得，所以④， 所以，所以，⑤ 由④，⑤知， 综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是． 二．利用基本不等式求最值（范围） 【例3】（2022·全国甲（理）T）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【解题指导】（1）由抛物线的定义→→解方程求p； （2）设点的坐标→直线→韦达定理及斜率公式可得→差角的正切公式及基本不等式得→设直线→代入抛物线方程，韦达定理可解. 【解析】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； （2）设，直线， 【技巧】方程的设法要与联立方程后根与系数的关系要呼应 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为， 所以， 若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 【易错】注意基本不等式成立的条件 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. 【例4】（2024·河南焦作·三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值． 【解题指导】AB方程→与抛物线方程联立→根与系数的关系→P点坐标→类比Q点坐标→两点间距离→基本不等式求最值 【解析】1)依题意，设． 由抛物线的定义得，解得：， 【技巧】实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． 因为在抛物线上， 所以，所以，解得：． 故抛物线的方程为． (2)由题意可知，直线的斜率存在，且不为0． 设直线的方程为，，． 【技巧】直线过x轴上定点（），可巧设为. 联立，整理得：， 则，从而． 因为是弦的中点，所以， 同理可得． 则 ， 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为8． 【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题 利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。 基本不等式求最值的五种典型情况分析 对点训练 1.（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 【解】（1）由题意，2ab=4， 又，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）如图所示 ①设直线AB的方程为，设 联立，得 (*) = ，， 整理得， 所以直线和直线的斜率之和为定值0． ②由①，不妨取，则 设原点到直线AB的距离为d，则 又，所以 当且仅当时取等号． ． 即四边形ABCD的面积的最大值为4．    2.（2024·江苏淮安·模拟预测）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值． 【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知 ∴c＝，b＝1，∴所求椭圆方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知＝，得m2＝(k2＋1)． 把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0. Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝36k2－12m2＋12>0. ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 ＝(1＋k2) ＝＝ ＝3＋＝3＋(k≠0) ≤3＋＝4. 当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立． 当k＝0时，|AB|＝，综上所述|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB的面积取得最大值 S＝×|AB|max×＝. 三．利用函数性质求最值（范围） 【例5】（2021·全国乙卷）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【解题指导】（1）利用抛物线定义→列方程求； （2）设出直线方程→联立方程组→用表示三角形面积→借助点在上消参→构造二次函数，可以配方求最值 【解析】（1）抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； 【技巧】定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值 （2）设切点A，B的坐标分别为，． 设，联立和抛物线C的方程得整理得． 判别式，即，且． 抛物线C的方程为，即，有． 则，整理得，同理可得． 【技巧】巧用类比思想求直线PB的方程 联立方程可得点P的坐标为，即． 将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得． 【提醒】这是消参的依据. 由弦长公式得． 点P到直线的距离为． 所以 ， 其中，即． 【易错】利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围 当时，． 【例6】（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线，点为上一点，且到的准线的距离等于其到坐标原点的距离. (1)求的方程； (2)设为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长交于两点，求四边形面积的最小值. 【解题指导】 【解析】（1）设抛物线焦点， 由题意， 故，解得：. 故抛物线的标准方程为. (2)由题意，直线斜率存在且不为0， 设直线的方程为：，设点，， 联立得：，由，得 ，联立得：，由，得 因为，用代替，得. 【技巧】运用类比思想，代替，求得 故四边形面积. 令. 设函数，故单调递增. 故当，即时，取到最小值16，所以四边形面积的最小值是16. 【技巧】利用换元,转化为函数问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定最值. 【解题技巧】利用函数求最值、范围的方法 根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数或函数求导等可分析函数的单调性，从而确定的最值或范围。 对点训练 1.（2024·绍兴一中模拟预测）如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF. (1)求点P的坐标； (2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 【解析】(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)， 设点P的坐标是(x，y)， 则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)， ∵PA⊥PF，∴·＝0， 则 可得2x2＋9x－18＝0，得x＝或x＝－6. 由于y>0，故x＝，于是y＝. ∴点P的坐标是. (2)由(1)可得直线AP的方程是x－y＋6＝0， 点B(6,0)． 设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是， 于是＝|m－6|， 又－6≤m≤6，解得m＝2. 由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d， 得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝＋15， 由于－6≤x≤6， 由f(x)＝＋15的图象可知， 当x＝时，d取最小值，且最小值为. 2.（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围. 【解】（1）因为，所以， 因为点在椭圆上，所以. 即，解得，所以， 所以椭圆的方程为. （2）    解法一： 由（1）得，依题意设， 由消去，得， 设，则， 设，则， ， 由得，， 即， 因为，所以，所以， 所以， 令且， 则，解得，且， 所以，所以的取值范围为. 解法二： 由（1）得，依题意设， 由消去，得， 设，则， 所以， 设，则， ， 令且， 则代入可得， 消去得：， 因为，所以， 所以，解得，且， 所以，所以的取值范围为. 1.（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知，是抛物线：上的两点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 【解】（1）∵，是抛物线C：上的两点， ∴，则，整理得，解得，    当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，故抛物线C方程为； （2）由（1）知C的焦点为，故直线l的方程为， 联立，得，必有， 设，，则， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为．    2．（河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 【解】（1）因为双曲线的离心率，可得，即. 又因为焦点到渐近线的距离为， 根据点到直线距离公式，而，所以，则. 由且，，可得，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2）将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得. 因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以. 由，解得. 对于，即，解得. 由，（结合），所以，解得. 由，解得，即或. 综合以上条件，取交集得. 则实数k的取值范围为. 3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求△OMN面积的取值范围. 【解】（1）依题意，设椭圆的标准方程为，半焦距为， 由椭圆的离心率为，得，则， 设，则，椭圆的左焦点， 则， 当且仅当时取等号，因此，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 由消去得，则， 直线，同理， 则△OMN的面积 ，令，， 当直线垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令，， 所以△OMN面积的取值范围是. 4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值． 【解】（1）因为为椭圆上一点，为圆上一点， 由的最大值为，得，所以． 又，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）在中令，得，所以， 显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为， 由，消去得， 所以，则， 设，，则，， 所以， 所以． 令，则， 则，当且仅当，即时取得等号， 所以面积的最大值为． 5.（2024·四川成都·模拟预测）设椭圆的左焦点，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围． 【解】（1）由题意得，，所以． 则椭圆的方程为． （2）①当直线PQ与直线EF中有一条直线斜率为0时，不妨设PQ的斜率为零，则 ,, 所以 所以， ② 当直线PQ与直线EF的斜率均不为0时，设， 由，可知，， ， 设，则，， 因为过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F， 所以用换，可得， 则， 令，则，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以， 即， 综上，的取值范围是． 6.（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 【解】（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 综上所述：抛物线的方程为或. （2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，    且,， ①当经过抛物线的焦点时，令，得， 在中，令，得， 又因为，则，可得直线， 由，解得或，即， 所以直线，即； ②设，，， 由，消去整理得， 所以，，， 且，即， 则， 令，得 ， 所以直线经过定点， 所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为. 7.[浙江宁波2024三模]已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程： (2)若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T． （i）证明：射线是的角平分线； （ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围． 【解】（1）因为实轴长为4  所以，即， 因为右焦点到渐近线距离为1， 所以， 故双曲线的标准方程为． （2）（i）设，切线，则， 联立 化简得． 由，解得：， 所以直线，令，得， 故，． 因为， 所以， 所以，即， 故射线PT是的角平分线． （ii）过作，设． 因为为的角平分线，所以 所以． 因为，，所以， 又因为O为中点． 则是的中位线，故Q是的中点． 所以，记， 因为，所以为锐角，所以为钝角， 所以，所以，所以， 由正弦定理得， 所以， 则． 8.[陕西安康2024模拟]已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D. (1)求点D的轨迹E的方程； (2)过C上一点作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求面积的最小值. 【解】（1）由题意可得，即，所以抛物线方程为 设，则， 因为，所以， 及，又由题意可知，所以 又，且 所以， 即， 又因为点D在直线AB上，且， 所以，即， 所以， 由①②式可得， 当时，，解得；，此时； 当时，消可得，，即， 点同样满足该方程， 显然D与O不重合，所以， 综上，点D的轨迹E的方程为； （2）因为，结合题意可得切线斜率存在且都不为0， 设切线的斜率为，的斜率分别为，则 切线方程为，即， 令，得， ， 又，消元得 因为相切，所以， 即 易知的斜率分别为是方程③的两个根， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， ，当且仅当，即时，取等号. 综上，面积的最小值为8. 9.（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的周长为6，为的中点，为坐标原点，直线的斜率分别为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：为定值； (3)求面积的最大值． 【解】（1）因为的周长为6，所以， 又，所以，， 故， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设，， 则，，， 所以，即， 得， 因为，，所以， 又，所以，为定值． （3）由（2）知，所以． 由题可得直线的方程为， 将与联立，消去并整理得， 所以， 则． 因为，所以直线的方程为，即， 又，所以直线的方程为， 与联立， 消去并整理得， 则，， 所以 ． 故的面积 ， 令，则， ，当，即时取等号， 因此面积的最大值为．    10．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，且到直线的距离为． (1)求双曲线的标准方程． (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点，直线与交于点． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）当两点均在的左支上时，直线与交于点，直线与直线交于点，求的面积的最小值． 【解】（1）因为，且点到直线的距离为，所以，则，所以， 由题意可知， 将代入上式，得，解得，则， 故双曲线的标准方程为． （2）（ⅰ）由（1）可知，． 当直线与轴不重合时，设其方程为， 联立方程，得，消去，化简整理得， 则． 易知直线的方程为， 当时，轴，与直线平行，不相交，不符合题意，故， 令，得到点的坐标为， 所以直线的方程为． 令，得到直线与轴的交点横坐标 ， 所以直线过定点． 当直线与轴重合时，直线与轴重合，所以直线过定点． 综上，直线过定点． （ⅱ）由（ⅰ）可知，直线过定点， 同理可知，直线也过定点， 因为直线与直线交于点，所以． 因为，两点均在的左支上，所以或或，所以 ． 令，则， 易知函数在上单调递增，所以当时，， 故的面积的最小值为． 11．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为1的直线与抛物线交于点，以点为圆心的圆过点，且圆关于直线对称． (1)求抛物线与圆的方程； (2)过轴上的点作斜率为1的直线，交圆于点，且与交于不同的两点，求的取值范围． 【解】（1）    ∵以点为圆心的圆过点，且圆关于直线对称， ∴线段为圆的直径，点为线段的中点． 由题意知直线的斜率为1且过点， ∴直线的方程为，即. 由得, 设，，则，， ∴，∴， 故抛物线的方程为． 此时， ∴， ∴圆的半径为，故圆的方程为． （2）    设，则直线的方程为，即, ∵直线与圆有两个交点， ∴点到直线的距离，解得． 由，得， ∵直线与抛物线有两个公共点， ∴，解得， ∴． ∵，∴点在圆外. 过点作圆的切线，设切点为，连接，， 由切割线定理得，， 由相切得，故． ∵，∴， ∴， ∴的取值范围是． 12．（24-25高二上·四川遂宁·阶段练习）已知点在椭圆上，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 【解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）联立，消元整理得， 时， 设，，则，， 由， 得， 所以， 所以， 化简得，即， 所以或， 当时过点，不合题意，舍去， 所以，即，此时过定点. 此时，所以，设到直线的距离为， 则，， ， 当且仅当时，当时， 所以. 13．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过曲线上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于（异于点）两点，求证：直线恒过定点； (3)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围. 【解】（1）当时，，，所以， 由题意可知，， 所以，所以抛物线的方程为 （2）根据题意,设直线方程为,联立，得到，所以，由于两条直线垂直，则. 即 化简整理得到所以，代入得，故直线恒过定点. （3）如图， 设， 因为为的重心， 所以； 因为， 且..； 所以； 设，与联立得：，所以， 所以，则； 所以； 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$