3.4 空间向量在立体几何中的应用（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选修第一册）

3．4空间向量在立体几何中的应用（作业） （夯实基础+能力提升） 【夯实基础】 一、填空题 1．（2022·上海市延安中学高二期中）三棱锥中，且，若点、分别为棱、中点，那么线段的长为______. 【答案】 【分析】取的中点，连接，由题意可得，再由勾股定理即可得出答案. 【详解】取的中点，连接， 在三角形中，分别为的中点，所以，， 同理，，因为， 所以，所以. 故答案为：. 2．（2022·上海市实验学校高二期中）如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，E为中点，则平面的单位法向量______．（用坐标表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，借助线面角求出DP长，并求出点A，B，P的坐标，再利用空间向量求出平面的单位法向量作答. 【详解】如图，连接BD，因平面，则是与平面所成的角，即， 在正方形中，，而，则有， 于是得，PB中点，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 与共线的单位向量为， 所以平面的单位法向量. 故答案为： 3．（2021·上海·闵行中学高二期中）在三棱锥中，设向量，，，则顶点到底面的距离为______． 【答案】 【分析】求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求解. 【详解】因为，， 设平面的一个法向量， 由，令，则，， 所以， 因为， 所以点到底面的距离为， 故答案为：. 4．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为___________. 【答案】 【解析】求出在法向量方向的投影，投影的绝对值即为距离． 【详解】由已知，则在法向量方向的投影为， 所以到平面的距离为． 故答案为：． 5．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）如图所示，正方体的棱长为是底面的中心，则到平面的距离为______． 【答案】 【解析】以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离即可. 【详解】以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得, , 设平面的法向量为, ,令,则， , 到平面的距离, 故答案为：. 【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，常用的方法有等体积法，垂线法，空间向量方法，利用空间向量方法求解是比较方便的方法. 6．（2021·上海市文来中学高二期中）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________． 【答案】 【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则， ，即异面直线A1M与DN所成角的大小是 考点：异面直线所成的角 7．（2022·上海市市西中学高二期中）PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_______________ 【答案】 【详解】设直线PC与平面PAB所成的角为，根据三余弦定理得 二、解答题 8．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点. (1)求圆柱的表面积； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由勾股定理可求得底面圆的半径，分别求得圆柱的侧面积和底面积，进而可求得表面积； （2）方法一：连接，可证得，则可得所求二面角的平面角为，根据长度关系可得结果； 方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1），，， 底面圆的半径，圆柱的侧面积为， 又圆柱的底面积为，圆柱的表面积. （2）方法一：连接， 平面，平面，； ，即，，平面， 平面，又平面，； 即为二面角的平面角， ，，，， 即二面角的大小为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 轴平面，是平面的一个法向量， ， 由图形可知：二面角为锐二面角， 二面角的大小为，即. 9．（2022·上海·曹杨二中高二阶段练习）已知长方体，，. (1)求二面角的大小； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再求法向量的夹角表示二面角的大小； （2）用直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值表示线面角的正弦值，进而表示线面角的大小. （1） 以D为原点，分别为x，y，z轴建系如图， ，，， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即 取，则， 即 显然平面的一个法向量为 则 所以二面角的大小为. （2） 则 记直线与平面所成角为 则 所以. 10．（2022·上海宝山·高三阶段练习）如图，已知三棱锥A-BCD的体积为2，棱AB，AC，AD两两垂直，AB=AC=2.点E是BC的中点. (1)求棱AD的长： (2)求直线AE与平面BCD所成角的大小，（