4.2.2等差数列的前n项和（第1课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

4.2.2等差数列的前n项和（第1课时） 基础巩固 1．若等差数列的前两项，，则该数列的前10项的和（    ） A．81 B．90 C．100 D．121 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【解析】根据，，求得公差d，再代入前n项和公式求解. 【详解】因为等差数列的前两项，， 所以， 所以数列的前10项的和 故选：C 2．等差数列的前项和为，若是方程的两实根.则（    ） A．10 B．5 C．-5 D．-10 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【解析】首先由一元二次方程根与系数的关系得到，再根据等差数列的性质，最后代入等差数列前项和公式求解. 【详解】由题意可知，并且 . 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和公式，属于基础计算题型. 3．已知数列中，，，则数列的前9项和等于（    ） A．27 B． C．45 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】根据题意可知是等差数列，首项和公差知道，进而可以求前项和. 【详解】由题可得（常数）, 所以数列是以为首项，公差的等差数列, 所以 所以 故选：A. 4．凸n边形的内角成等差数列，公差d=10°，最小角为100°，则n=（    ） A．9或8 B．9 C．8 D．11 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列的简单应用 【分析】设内角的度数构成的数列为，则可知首项和公差，进而可得数列的通项公式，最后根据最大的角小于，求得答案． 【详解】设内角的度数构成的数列为，则，， 则， ∴， ∵凸边形的内角和为， ∴，即，解得或， ∵， ∴ 故选：C． 5．记为等差数列的前项和．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出． 【详解】解：设等差数列的公差为．，， ，， 解得：，， ． ． 故选：． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．已知等差数列满足，，则的前项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差和首项，由等差数列求和公式可求得结果. 【详解】设等差数列公差为， ，，， 解得：，，解得：， 的前项的和为. 故选：C. 7．等差数列 的前n项和为 ，公差不为 0，若 ，则（    ） A．   B．   C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据推得，即，可得，由此利用等差数列的前n项和公式，逐项计算各选项，可得答案. 【详解】设等差数列的首项为 ，公差为 , 由已知得,即， 则 ； 故，A错误； ，B错误； 故，C正确； ，D错误， 故选：C． 8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（    ） A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐 C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列的简单应用 【分析】由题意可知，两马日行里数都成等差数列，根据题目条件，分别写出两个等差数列的通项公式，对选项逐一分析即可得出结论. 【详解】由题意可知，两马日行里数都成等差数列; 记数列为良马的日行里数，其中首项公差 所以数列的通项公式为 记数列为驽马的日行里数，其中首项公差 所以数列的通项公式为 因此，对于A，驽马第七日行里数为，即驽马第七日行九十四里；故A正确； 第七日良马行走总里程为，而齐去长安一千一百二十五里，因为，所以第七日良马未至齐；所以B错误； 设第日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍， 即， 解得或（舍），即第九日二马相逢；故C错误； 由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了，所以，二马相逢时良马行一千三百九十五里，所以D正确； 故选：AD. 9．数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列、等差数列通项公式的基本量计算 【解析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，， 所以，即 所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确. 对选项B，由A知： 数列的前n项和，故B正确. 对选项C，因为，所以，故C错误. 对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 10．已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求． 【答案】(1)7； (2)2700. 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】（1）根据给定条件，求出公差，再求出. （2）利用等差数列前n项和公式求解即得. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差， 所以. （2）在等差数列中，，， 所以． 11．已知在递增的等差数列中，； (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）求出，则得到其公差，则得到其通项公式； （2）利用等差数列求和公式即可. 【详解】（1）设该等差数列的公差为， 因为，且递增， ∴，则，则， 所以. （2）， 则. 12．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合条件求出，，从而得到其通项公式； （2）根据等差数列前和公式，即可求解； 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，， 即，化简得． 所以数列的通项公式． （2）由（1）可知， 所以； 能力提升 13．已知等差数列的前项和为，若，，，则（    ） A．1004 B．1005 C．1006 D．1007 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由题意解出公差后求解 【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴， ∵代入解得， ∵，∴，即， ∴ 故选：C 14．等差数列的前n项和为，，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的通项的性质和前项和公式求解. 【详解】因为， 又， 所以， 所以， 故选：B． 15．已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．3 B．14 C．28 D．42 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质得，则可由已知等式求的值，从而利用求和公式和等差数列性质求得值. 【详解】解：正项等差数列，则 若，则，解得或（舍） 则. 故选：D. 16．已知数列是各项及公差都不为0的等差数列，若为数列的前项和，则“成等比数列”是“为常数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、判断命题的必要不充分条件、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用等差数列的前项和公式和充分性、必要性的概念求解即可． 【详解】因为数列是公差不为0的等差数列，设其公差为，所以， 若成等比数列，则，解得，此时，为常数，充分性成立； 反之，若为常数列，则，则，得 ，则， 易知，故必要性成立，故“成等比数列”是“为常数列”的充要条件. 故选:C． 17．若数列满足d为常数，则称数列为调和数列，已知数列为调和数列，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】先由题设可得是等差数列，进而利用等差数列的前项和公式及性质求得的值，再利用基本不等式求得的最大值即可． 【详解】解：由题设知：，为常数）， 是等差数列， ， ， （当且仅当时取等号， ， （当且仅当时取等号， 的最大值为． 故选：． 18．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数.那么正五边形数的第2021项小石子数是（ ） A．5×1010×2021 B．5×1010×1011 C．5×1011×2021 D．5×1011×2020 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、累加法求数列通项 【分析】设正五边形数构成数列，根据题中条件，得到递推关系，再由累加法，即可得出通项公式，从而可求出结果. 【详解】设正五边形数构成数列，则，，且当时，， 于是， 故. 故选：A. 19．已知等差数列的前n项和为，若，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则等于（    ） A．100 B．101 C．200 D．201 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、平面向量共线定理的推论 【分析】由向量三点共线可得，根据等差数列求和公式计算即可 【详解】，且A，B，C三点共线 ， ∴. 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量中三点共线，等差数列的求和公式，属于中档题. 20．设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、判断等差数列 【分析】设等差数列的公差为，利用基本量代换求出首项和公差，得到，再利用公式法求和. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，即，解得：． ∴， ∴， ∴． 故答案为： 21．若数列满足，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】分奇偶项,分别按照等差数列前和公式求和，计算求解即可. 【详解】因为, 所以 故答案为: 22．设等差数列的前n项和为，若，则的最大值是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意求得及，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是. 故答案为：. 23．设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数列不等式恒成立问题、求等差数列前n项和、由递推关系式求通项公式 【分析】根据题意得到，求得，得到，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，化简得到，结合的值，求得的最小值是，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以数列是常数列，则，可得，故， 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，设，则，从而， 当时，，当时，， 因为，所以的最小值是，即， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 24．在数列中，，，则 ，的最小值为 . 【答案】 22 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、累加法求数列通项、确定数列中的最大（小）项 【分析】由可解出数列通项公式，再考查的单调性，即可得到的最小值. 【详解】解：由可得， ；；；；， 累和得，，； ，则在，2，3，4，5时单调递减， ，7，8，9，时单调递增； 所以当时，取最小， 故答案为：22；. 25．用以下方法求解已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10， (1)先求出与d，再求； (2)利用的函数特性求； 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.94 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可. （2）设等差数列的前n项和，得到，再解方程组即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，首项为，根据题意，可得 ，解得：，， ． （2）设等差数列的前n项和（A，B为常数）． 由题设条件可知，解得 故． 26．为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如. (1)求； (2)求数列的前1000项和. 【答案】(1) (2)1893. 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列前n项和的基本量计算、数列新定义 【分析】（1）先求公差、可得通项，再根据已知条件求； （2）用分段函数表示，再求数列的前1 000项和． 【详解】（1）设的公差为，根据等差数列的前n项和公式得：， 则解得 所以的通项公式为 即 （2）根据可得： 所以数列的前项和为 拓展延伸 27．已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）首先通过累加法求解，然后解得； （2）首先通过分析判断出数列是周期数列，然后通过平方差公式分解求得，最后代入求解即可； 【详解】（1）因为， 所以，， 累加得， 所以. （2）因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 所以数列是以3为周期的数列. 故. 28．已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得. （1） ；（写出所有可能的取值） （2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则 . 【答案】 1047 【难度】0.4 【知识点】数列新定义、求等差数列前n项和、根据规律填写数列中的某项 【分析】①根据题意代入即可求解；②先根据题意分析出具有性质的 项，易知从开始是以为首项为公差的等差数列 ，再根据等差数列求和即可求解. 【详解】当时，， 当时，，或 ， 当时，，或，或时有或， 当时，，或，或时有或，或时有或或， 综上所述：的所有可能取值为：. 中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，故， ，即具有性质， 则易知从开始是以为首项为公差的等差数列 ， . 故答案为：；1047. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义问题的求解，涉及到根据新定义求解数列中的项、数列求和等知识；关键是能够准确理解所给的新定义，得到所给数列性质与等差数列之间的关系. 试卷第20页，共20页 试卷第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.2.2等差数列的前n项和（第1课时） 基础巩固 1．若等差数列的前两项，，则该数列的前10项的和（    ） A．81 B．90 C．100 D．121 2．等差数列的前项和为，若是方程的两实根.则（    ） A．10 B．5 C．-5 D．-10 3．已知数列中，，，则数列的前9项和等于（    ） A．27 B． C．45 D． 4．凸n边形的内角成等差数列，公差d=10°，最小角为100°，则n=（    ） A．9或8 B．9 C．8 D．11 5．记为等差数列的前项和．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列满足，，则的前项的和为（    ） A． B． C． D． 7．等差数列 的前n项和为 ，公差不为 0，若 ，则（    ） A．   B．   C． D． 8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（    ） A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐 C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里 9．数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列 10．已知数列是等差数列． (1)若，，求；(2)若，，求． 11．已知在递增的等差数列中，； (1)求的通项公式；(2)求数列的前项和． 12．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和． 能力提升 13．已知等差数列的前项和为，若，，，则（    ） A．1004 B．1005 C．1006 D．1007 14．等差数列的前n项和为，，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 15．已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．3 B．14 C．28 D．42 16．已知数列是各项及公差都不为0的等差数列，若为数列的前项和，则“成等比数列”是“为常数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．若数列满足d为常数，则称数列为调和数列，已知数列为调和数列，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 18．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数.那么正五边形数的第2021项小石子数是（ ） A．5×1010×2021 B．5×1010×1011 C．5×1011×2021 D．5×1011×2020 19．已知等差数列的前n项和为，若，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则等于（    ） A．100 B．101 C．200 D．201 20．设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，则 ． 21．若数列满足，则 ． 22．设等差数列的前n项和为，若，则的最大值是 23．设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 . 24．在数列中，，，则 ，的最小值为 . 25．用以下方法求解已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10， (1)先求出与d，再求；(2)利用的函数特性求； 26．为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如. (1)求；(2)求数列的前1000项和. 拓展延伸 27．已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 28．已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得. （1） ；（写出所有可能的取值） （2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则 . 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$