专题05 一次方程（组）-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题05 一次方程（组） 课标要求 考点 考向 1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题. 一元一次方程 考向一 一元一次方程概念及解法 考向二 一元一次方程综合应用 二元一次方程（组） 考向一 二元一次方程（组）概念及解法 考向二 二元一次方程（组）综合应用 考点一 一元一次方程 ►考向一 一元一次方程概念及解法 1．（2017•杭州）设x，y，c是实数，正确的是（　　） A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y 2．（2023•衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：2×7x＝（4x﹣1）+1， … （1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． （2）写出你的解答过程． 3．（2005•宁波）已知关于x的方程＝的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，求代数式﹣的值． ►考向二 一元一次方程综合应用 1．（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 　　斤． 考点二 二元一次方程 ►考向一 二元一次方程（组）概念及解法 1．（2023•衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（　　） A． B． C． D． 2．（2014•杭州）设实数x、y满足方程组，则x+y＝　　． 3．（2007•舟山）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是　　． 4．（2021•金华）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 　　． 5．（2024•浙江）解方程组：． 6．（2023•台州）解方程组：． 7．（2013•台州）已知关于x，y的方程组的解为，求m，n的值． ►考向二 二元一次方程（组）综合应用 1．（2023•绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•宁波）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（2023•温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（　　） A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30 4．（2022•宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 5．（2012•杭州）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论： ①是方程组的解； ②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数； ③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解； ④若x≤1，则1≤y≤4． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 6．（2023•浙江）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 　　． 7．（2021•绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有 　　两． 1．（2024•浙江模拟）从某个月的月历表中取一个2×2方块．已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44，求这4个方格中的日期．若设左上角的日期为x，则下列方程正确的是（　　） A．x+（x+1）+（x+7）+（x+14）＝44 B．x+（x+1）+（x+6）+（x+12）＝44 C．x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝44 D．x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝44 2．（2023•钱塘区三模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　） A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2（x+9） C． D．3（x﹣2）＝2x+9 3．（2024•定海区三模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•绍兴一模）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•西湖区校级二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•杭州二模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 7．（2024•钱塘区三模）已知二元一次方程组，则2m﹣n的值为 　 　． 8．（2024•下城区校级模拟）明代数学家程大位（1533﹣1606年）所著的《算法统宗》是一都应用数学书，列有595个应用题的数字计算，珠算被誉为“世界上古老的计算机”的算盘演算．其中记载一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，问共有多少间客房？多少人？若设共有x间客房，y人，可列方程组为 　 　． 9．（2024•嘉兴一模）已知，且b≠a﹣1，则a2+b2的最小值是 　 　． 10．（2024•下城区校级三模）已知方程组（m≠1），则x+y的值为 　 　． 11．（2024•拱墅区二模）小凡家今年1～4月份的用电量情况如图所示，则2月到3月之间月用电量的增长率为 　 　． 12．（2024•镇海区校级一模）《算学启蒙》中记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则列出方程为 　 　． 三．解答题（共8小题） 13．（2024•嘉兴二模）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． （1）求小曹第一局的得分． （2）第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 14．（2024•西湖区校级模拟）某同学解方程．的过程如下框： 解：． 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得x＝60……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 15．（2024•西湖区校级三模）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1， 去括号，得6x﹣1＝1﹣4x﹣1， 移项，得6x﹣4x＝1﹣1+1， 合并同类项，得2x＝1， 两边同除以，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 16．（2024•嘉兴模拟）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分 a b 100 无 积分可以兑换部分商品，具体如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 800 1500 2000 1000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． （1）求a，b的值； （2）小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？ 17．（2024•绍兴一模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组 … 解 … （1）通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． （2）已知关于x，y的二元一次方程组（a≠b，a+b≠0）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 18．（2024•宁波模拟）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案？ 素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元． 素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决 任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：y＝　 　（用含x的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价． 任务3 【拟定设计方案】 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 19．（2024•镇海区校级模拟）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 20．（2023•温州一模） 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天． 素材2 经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？ 任务2 探究抽走人数 甲、乙每个车间被抽走了多少人？ 任务3 拟定设计方案 甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次方程（组） 课标要求 考点 考向 1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题. 一元一次方程 考向一 一元一次方程概念及解法 考向二 一元一次方程综合应用 二元一次方程（组） 考向一 二元一次方程（组）概念及解法 考向二 二元一次方程（组）综合应用 考点一 一元一次方程 ►考向一 一元一次方程概念及解法 1．（2017•杭州）设x，y，c是实数，正确的是（　　） A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y 【答案】B 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意； B、两边都乘以c，故B符合题意； C、c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D、两边乘6c，得到，3x＝2y，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键． 2．（2023•衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：2×7x＝（4x﹣1）+1， … （1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． （2）写出你的解答过程． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【解答】解：（1）如图： （2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6， 去括号：14x＝4x﹣1+6， 移项：14x﹣4x＝﹣1+6， 合并同类项：10x＝5， 系数化1：x＝． 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 3．（2005•宁波）已知关于x的方程＝的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，求代数式﹣的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】将x＝2代入方程得到关系式，用b表示出a，原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，把表示出的a代入计算即可得到结果． 【解答】解：将x＝2代入方程得：＝， 去分母得：3a﹣6＝4b﹣6，即a＝b， 则原式＝＝＝． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． ►考向二 一元一次方程综合应用 1．（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 　　斤． 【答案】． 【分析】可设原有生丝为x斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解． 【解答】解：设原有生丝为x斤， x：12＝30：（30﹣3）， 解得x＝． 故原有生丝为斤． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键． 考点二 二元一次方程 ►考向一 二元一次方程（组）概念及解法 1．（2023•衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入x，y的值，找出方程左边＝方程右边的选项，即可得出结论． 【解答】解：A．当x＝1，y＝2时，方程左边＝2×1+3×2＝8，方程右边＝8， ∴方程左边＝方程右边，选项A符合题意； B．当x＝2，y＝1时，方程左边＝2×2+3×1＝7，方程右边＝8，7≠8， ∴方程左边≠方程右边，选项B不符合题意； C．当x＝﹣1，y＝2时，方程左边＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右边＝8，4≠8， ∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意； D．当x＝2，y＝4时，方程左边＝2×2+3×4＝16，方程右边＝8，16≠8， ∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键． 2．（2014•杭州）设实数x、y满足方程组，则x+y＝　8　． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值，即可确定出x+y的值． 【解答】解：， ①+②得：x＝6，即x＝9； ①﹣②得：﹣2y＝2，即y＝﹣1， ∴方程组的解为， 则x+y＝9﹣1＝8． 故答案为：8． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．（2007•舟山）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决． 【解答】解： 两边同时除以5得，， 和方程组的形式一样，所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题是一道材料分析题，考查了同学们的逻辑推理能力，需要通过类比来解决有一定的难度． 4．（2021•金华）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 　2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10， ∴m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程是解题的关键． 5．（2024•浙江）解方程组：． 【答案】． 【分析】先有①×3+②得出10x＝5，求出x＝，再把x＝代入①求出y即可． 【解答】解：， ①×3+②得：10x＝5， 解得：x＝， 把x＝代入①得：2×﹣y＝5， 解得：y＝﹣4， 所以方程组的解是． 【点评】本题考查了二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 6．（2023•台州）解方程组：． 【答案】． 【分析】利用加减消元法求解即可． 【解答】解：， ①+②得3x＝9， 解得x＝3， 把x＝3代入①，得3+y＝7， 解得y＝4， ∴方程组的解是． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 7．（2013•台州）已知关于x，y的方程组的解为，求m，n的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】将x＝1，y＝2代入方程中得到关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可． 【解答】解：将代入方程组中 得：， 解得：． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． ►考向二 二元一次方程（组）综合应用 1．（2023•绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【解答】解：由题意得：， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023•宁波）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为54公顷”列方程组求解． 【解答】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷， 由题意得：， 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 3．（2023•温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（　　） A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30 【答案】A 【分析】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5x g，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为x g， ∴碳水化合物含量是1.5x g． 根据题意得：1.5x+x+y＝30， ∴x+y＝30． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 4．（2022•宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7即可得出答案． 【解答】解：根据题意得：， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7是解题的关键． 5．（2012•杭州）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论： ①是方程组的解； ②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数； ③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解； ④若x≤1，则1≤y≤4． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断． 【解答】解：解方程组，得， ∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4， ①不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误； ②当a＝﹣2时，x＝1+2a＝﹣3，y＝1﹣a＝3，x，y的值互为相反数，结论正确； ③当a＝1时，x+y＝2+a＝3，4﹣a＝3，方程x+y＝4﹣a两边相等，结论正确； ④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，且﹣3≤a≤1， ∴﹣3≤a≤0∴1≤1﹣a≤4∴1≤y≤4结论正确， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组．关键是根据条件，求出x、y的表达式及x、y的取值范围． 6．（2023•浙江）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】设母鸡有x只，小鸡有y只，根据“一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡”，列出方程组，即可求解． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，是正确列出二元一次方程组的关键． 7．（2021•绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有 　46　两． 【答案】46． 【分析】通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决． 【解答】解：设有x人，银子y两， 由题意得：，解得， 故答案为46． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 1．（2024•浙江模拟）从某个月的月历表中取一个2×2方块．已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44，求这4个方格中的日期．若设左上角的日期为x，则下列方程正确的是（　　） A．x+（x+1）+（x+7）+（x+14）＝44 B．x+（x+1）+（x+6）+（x+12）＝44 C．x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝44 D．x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝44 【答案】C 【分析】根据题意和图形，可以列出关于x的方程． 【解答】解：由图可得， x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝44， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 2．（2023•钱塘区三模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　） A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2（x+9） C． D．3（x﹣2）＝2x+9 【答案】D 【分析】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设车x辆，根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2024•定海区三模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：y﹣x＝4.5；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；组成方程组即可 【解答】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺 ∴y﹣x＝4.5； ∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺， ∴ 即． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一． 4．（2024•绍兴一模）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程组，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 5．（2024•西湖区校级二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，竿子长为x尺，索长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺， 根据题意得：． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．（2024•杭州二模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案． 【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为： ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键． 7．（2024•钱塘区三模）已知二元一次方程组，则2m﹣n的值为 　7　． 【答案】7． 【分析】把两个方程相加，从而可求解． 【解答】解：， ①+②得：2m﹣n＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 8．（2024•下城区校级模拟）明代数学家程大位（1533﹣1606年）所著的《算法统宗》是一都应用数学书，列有595个应用题的数字计算，珠算被誉为“世界上古老的计算机”的算盘演算．其中记载一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，问共有多少间客房？多少人？若设共有x间客房，y人，可列方程组为 　　． 【答案】． 【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意，得出等量关系，列出方程组是解决问题的关键． 9．（2024•嘉兴一模）已知，且b≠a﹣1，则a2+b2的最小值是 　2　． 【答案】2． 【分析】由可知a﹣1，b是方程x2﹣x﹣m＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到a﹣1+b＝1，（a﹣1）•b＝﹣m，从而得到a+b＝2，ab＝b﹣m，a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，代入即可得到a2+b2＝2（b﹣1）2+2，根据二次函数的性质求得最小值是2． 【解答】解：由已知得（a﹣1）2﹣（a﹣1）﹣m＝0，b2﹣b﹣m＝0， ∵b≠a﹣1， ∴a﹣1，b是方程x2﹣x﹣m＝0的两个不相等的实数根， ∴a﹣1+b＝1，（a﹣1）•b＝﹣m， ∴a+b＝2，ab＝b﹣m， ∵b2＝b+m， ∴m＝b2﹣b， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝4﹣2（b﹣m） ＝4﹣2（b﹣b2+b） ＝2b2﹣4b+4 ＝2（b﹣1）2+2， ∵2＞0， ∴当b＝1时，a2+b2有最小值是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出a﹣1，b是方程x2﹣x﹣m＝0的两个不相等的实数根是解题的关键． 10．（2024•下城区校级三模）已知方程组（m≠1），则x+y的值为 　2　． 【答案】2． 【分析】①﹣②即可得出x+y的值． 【解答】解：， ①﹣②，得x+y＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，观察方程组中未知数的系数的特点直接相减得出x+y的值是解题的关键． 11．（2024•拱墅区二模）小凡家今年1～4月份的用电量情况如图所示，则2月到3月之间月用电量的增长率为 　25%　． 【答案】25%． 【分析】设2月到3月之间月用电量的增长率为x，利用小凡家3月份的用电量＝小凡家2月份的用电量×（1+2月到3月之间月用电量的增长率），可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设2月到3月之间月用电量的增长率为x， 根据题意得：80（1+x）＝100， 解得：x＝0.25＝25%， ∴2月到3月之间月用电量的增长率为25%． 故答案为：25%． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 12．（2024•镇海区校级一模）《算学启蒙》中记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则列出方程为 　240x＝150x+10×150　． 【答案】240x＝150x+10×150． 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可． 【解答】解：据题题意：240x＝150x+10×150， 故答案为：240x＝150x+10×150． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13．（2024•嘉兴二模）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． （1）求小曹第一局的得分． （2）第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 【答案】（1）小曹第一局得14分； （2）k的值为3． 【分析】（1）根据题意可列算式5×2+3×4﹣2×4，求出算式的得数即可； （2）第二局小曹脱靶（10﹣k﹣5）次，得[5k+3×5﹣2（10﹣k﹣5）]分，于是列方程得5k+3×5﹣2（10﹣k﹣5）＝14+12，解方程求出k的值即可． 【解答】解：（1）5×2+3×4﹣2×4＝14（分）， 答：小曹第一局得14分． （2）根据题意得5k+3×5﹣2（10﹣k﹣5）＝14+12， 解得k＝3， 答：k的值为3． 【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示小曹每一局的得分数是解题的关键． 14．（2024•西湖区校级模拟）某同学解方程．的过程如下框： 解：． 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得x＝60……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【答案】①；x＝6． 【分析】第①步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项得，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解． 【解答】解：出现错误的步骤是①， 正确的解法如下：对于方程，将系数化为整数，得：， 合并同类项，得：， 未知数的系数化为1，得：x＝6． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键． 15．（2024•西湖区校级三模）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1， 去括号，得6x﹣1＝1﹣4x﹣1， 移项，得6x﹣4x＝1﹣1+1， 合并同类项，得2x＝1， 两边同除以，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】错误，正确的解答过程见解答． 【分析】根据解一元一次方程的基本步骤可得答案． 【解答】解：圆圆的解答过程错误， 正确的解答过程如下： ， 去分母，得2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣1）， 去括号，得6x﹣2＝6﹣4x+1， 移项，得6x+4x＝6+1+2， 合并同类项，得10x＝9， 两边同除以10，得x＝． 【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 16．（2024•嘉兴模拟）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分 a b 100 无 积分可以兑换部分商品，具体如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 800 1500 2000 1000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． （1）求a，b的值； （2）小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？ 【答案】（1）a的值为50，b的值为20； （2）共有2种兑换方案， 方案1：兑换垃圾袋3卷，水果店打折券1张； 方案2：兑换垃圾袋3卷，小区临时停车券2张． 【分析】（1）根据“2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由小明家一季度产出的垃圾数量，可求出小明家一季度获得的积分，设兑换垃圾袋x卷，5元话费券y张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，根据这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可列出关于x，y，m，n的四元一次方程，由15，20，10均为5的倍数，可得出x＝3，再结合y，m，n均为自然数，即可得出各兑换方案． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． 答：a的值为50，b的值为20； （2）小明家一季度获得的积分为46×50+100×20+1×100＝4400， 设兑换垃圾袋x卷，5元话费券y张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张， 根据题意得：800x+1500y+2000m+1000n＝4400， 化简得：8x+15y+20m+10n＝44， ∵15，20，10均为5的倍数， ∴x＝3， ∴原式为3y+4m+2n＝4， 又∵y，m，n均为自然数， ∴或， ∴共有2种兑换方案， 方案1：兑换垃圾袋3卷，水果店打折券1张； 方案2：兑换垃圾袋3卷，小区临时停车券2张． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及四元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出四元一次方程． 17．（2024•绍兴一模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组 … 解 … （1）通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． （2）已知关于x，y的二元一次方程组（a≠b，a+b≠0）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 【答案】（1）； （2）①； ②检验步骤见解答过程． 【分析】（1）根据表中数据总结规律即可求得答案； （2）①根据所得规律即可求得答案； ②将①中所得的解分别代入方程中计算即可． 【解答】解：（1）由表格数据可得方程中两个未知数的解是相同的，它们的分子是等号右边的常数，分母是各方程中两个未知数系数的和， 则x＝y＝＝2024， 即原方程组的解为； （2）①由（1）中规律可得该方程组的解为； ②将代入ax+by＝m， 左边＝a×+b×＝＝m＝右边； 将代入bx+ay＝m， 左边＝b×+a×＝＝m＝右边； 则是原方程组的解． 【点评】本题考查规律探索问题及二元一次方程组的解，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 18．（2024•宁波模拟）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案？ 素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元． 素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决 任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：y＝　x+20　（用含x的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价． 任务3 【拟定设计方案】 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 【答案】见试题解答内容 【分析】任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得y＝x+20； 任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得x+4（x+20）＝130，可解得答案； 任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得：30×0.8m+10n＝600，由m，n是正整数，可求出m，n的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案． 【解答】解：任务1： ∵一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元， ∴y＝x+20； 故答案为：x+20； 任务2： ∵小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元， ∴x+4（x+20）＝130， 解得x＝10， ∴x+20＝10+20＝30， 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元； 任务3： 设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张， 根据题意得：30×0.8m+10n＝600， ∴n＝， ∵m，n是正整数， ∴或或或， ∵吉祥物钥匙扣每件利润为30×0.8﹣18＝6（元），明信片每张利润为10﹣5＝5（元）， ∴购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，商家获利270元； 购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张，商家获利240元； 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张，商家获利210元； 购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张，商家获利180元； 答：可行的购买方案有：购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，或购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张或购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张或购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张；其中购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张商家获利最高． 【点评】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 19．（2024•镇海区校级模拟）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 【答案】（1）长方体的高度为10cm； （2）共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖； ②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖； ③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖； ④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖； （3）76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元． 【分析】任务1：根据“底面长与宽之比为3：1”列方程求解； 任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解； 任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【解答】解：任务1：设长方体的高度为a cm， 则：80﹣2a＝3（40﹣2a）， 解得：a＝10， 答：长方体的高度为10cm； 任务2：设x张木板制作无盖的收纳盒， 则：， 解得：75＜x＜80， ∴x的整数解有：76，77，78，79， ∴共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖； ②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖； ③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖； ④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖； 任务3：设：m张木板制作无盖的收纳盒，则（100﹣m）张制作盒盖，利润为y元， 由题意得：y＝28×2（100﹣m）+5（100﹣m）+20×[m﹣2（100﹣m）]﹣1500 即：y＝﹣m+600， ∵x的整数解有：76，77，78，79， ∴当m＝76时，y有最大值，为：﹣1×76+600＝524， 答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为524元． 【点评】本题考查了方程组及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 20．（2023•温州一模） 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天． 素材2 经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？ 任务2 探究抽走人数 甲、乙每个车间被抽走了多少人？ 任务3 拟定设计方案 甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设乙车间每天能生成x个旅行包，由甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天得：，解方程并检验可得答案； （2）甲车间共有1200÷60＝20（人），乙车间共有600÷40＝15（人），设甲乙车间各被抽走a人，根据抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变列方程可解得答案； （3）设甲车间工作m天，乙车间工作n天，可得：60×（1+20%）×（20﹣3）m+40×（1+20%）×（15﹣3）n＝21600，即m＝﹣n+，设总费用为W元，则W＝3400m+1560n＝﹣40n+60000，由一次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设乙车间每天能生成x个旅行包，则甲车间每天能生成2x个旅行包， 由题意得：， 解得x＝600， 经检验，x＝600是原方程的解，也符合题意， ∴2x＝1200， ∴甲车间每天能生成1200个，乙车间每天能生成600个； （2）由题意知：甲车间共有1200÷60＝20（人），乙车间共有600÷40＝15（人）， 设甲乙车间各被抽走a人， 根据题意得：（20﹣a）×60×（1+20%）+（15﹣a）×40×（1+20%）＝1200+600， 解得a＝3， ∴甲、乙每个车间各被抽走了3人； （3）设甲车间工作m天，乙车间工作n天， 根据题意得：60×（1+20%）×（20﹣3）m+40×（1+20%）×（15﹣3）n＝21600， 整理得：17m+8n＝300， ∴m＝﹣n+， 设总费用为W元，则W＝3400m+1560n＝3400×（﹣n+）+1560n＝﹣40n+60000， ∵﹣40＜0， ∴W随n的增大而减少， ∵17m+8n＝300， ∴m为4的倍数，即m最小为4， ∴n最大值为29， ∴当n＝29时，总费用W最小值为﹣40×29+60000＝58840（元）， ∴甲车间安排4天，乙车间安排29天，公司在完成该任务时支付的总工资最少，最少需要58840元． 【点评】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，涉及一次函数，二元一次方程等知识，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$