专题10 一次函数-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题10 一次函数 课标要求 考点 考向 1．理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式． 2．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质． 3．体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题. 一次函数 考向一 一次函数图像性质 考向二 一次函数与不等式、方程 考向三 一次函数应用 考向四 一次函数与几何 考点 一次函数 ►考向一 一次函数图像性质 1．（2020•嘉兴）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2019•杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式 　 　． 4．（2022•绍兴）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 5．（2013•舟山）对于点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B＝（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B＝（﹣5+2）+（4﹣3）＝﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D＝D⊕E＝E⊕F＝F⊕D，则C，D，E，F四点（　　） A．在同一条直线上 B．在同一条抛物线上 C．在同一反比例函数图象上 D．是同一个正方形的四个顶点 6．（2021•绍兴）如图，一次函数y＝x+5的图象经过点P（a，b）和Q（c，d），则a（c﹣d）﹣b（c﹣d）的值为　 　． 7．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式； （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值． ►考向二 一次函数与不等式、方程 1．（2022•杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 　　． 2．（2008•绍兴）如图，已知函数y＝x+b和y＝ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＞ax+3的解集为　　． ►考向三 一次函数应用 1．（2021•衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（　　） A．15km B．16km C．44km D．45km 2．（2018•杭州）某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是　 　． 3．（2018•衢州）星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是　1.5　千米． 4．（2024•浙江）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16：00～16：50 不分段 A档 4000米 小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； （3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 5．（2023•金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系． （1）求哥哥步行的速度． （2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中a的值； ②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由． 6．（2023•台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值； （2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小； 【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案． ►考向四 一次函数与几何 1．（2006•杭州）已知，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90度．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点． （1）求三角形ABC的面积S△ABC； （2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值． 1．（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y＝x﹣1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2 C． D．﹣1 2．（2024•普陀区二模）一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，3），则下列关系式不可能成立的是（　　） A．kb＝2 B．kb＝1 C．kb＝﹣1 D．kb＝﹣2 3．（2024•鹿城区校级三模）若直线y＝（2﹣5m）x+b经过（1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•西湖区校级二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限，则一次函数y＝ax﹣a一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024•下城区校级模拟）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数y＝2|x|﹣4的四条性质，其中错误的是（　　） A．当x＝0时，y具有最小值为﹣4 B．如果y＝2|x|﹣4的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣4 C．当﹣4＜x＜0时，y＜0 D．y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积是8 6．（2024•黄岩区校级模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝﹣|kx+1|+b（k，b为常数，k≠0）上，下列说法正确的是（　　） A．若y1＜y2＜b，则 B．若x1＜﹣＜x2，则|b﹣y1|＞|b﹣y2| C．若y1＜y2＜b，则 D．若x1＜﹣＜x2，则|b﹣y1|＜|b﹣y2| 7．（2024•萧山区二模）函数y＝ax+b图象经过（1，2），（0，5）两点，则a﹣b＝　 　． 8．（2024•海曙区一模）如图，直线y＝kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，矩形ABCD位于第一象限，若矩形ABCD的面积为20，则直线CD必经过一点，这个点的坐标为 　 　． 9．（2024•余姚市一模）已知一次函数y＝2x﹣3与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，1），则方程组的解是 　 　． 10．（2024•临安区一模）在平面直角坐标系中，O是原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则sin∠BAO的值为 　 　． 11．（2024•宁波模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝2x﹣3图象上两个不同的点，则＝　 　． 12．（2023•西湖区校级模拟）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　． 13．（2023•滨江区校级模拟）已知一次函数y＝2x﹣2与y＝ax+b（a为常数，a≠0）的图象的交点的横坐标是2，则方程组的解为 　 　． 14．（2024•浙江一模）假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，游轮从甲地到达丙地共用了23小时． 若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． （Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长 　 　；游轮在乙地停留的时长 　 　； （Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式； （Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？ 15．（2024•温州模拟）为了了解某款饮水机的工作原理与用电情况，家电学习小组展开了以下研究． 材料1 材料2 材料3 如图1某饮水机内有两个不同大小的方形水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱至最低水位10cm时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱 甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，水箱注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）．甲乙水箱水位h（cm）关于t的函数关系如图2所示． 为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过20cm时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.03度，另外每根水管工作1分钟耗电0.01度 问题解决 任务1 确定容器信息：求出图2中a的值与甲乙两容器底面积之比． 任务2 探究函数表达式：求出8分钟以后乙容器高度h（cm）关于时间t（分钟）的函数表达式 任务3 计算用电量：求出整个过程中所消耗的电量． 16．（2024•浙江模拟）我们定义：若点M绕点A逆时针方向旋转90°得到的对应点设为N，则称点N为点M的“Ai点”． （1）概念理解： 在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），设点P的“Ai点”为Q．若点Q（2，1），则点P的坐标为 　 　． （2）问题探究： 如图1，已知点C（1，0），点D在直线y＝x+1上，若点D的“Ci点”在坐标轴上，求点D的坐标． （3）应用拓展： 如图2，已知线段EF的端点为E（0，﹣2）和F（1，0），边长为6的正方形ABCD以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．点M在线段EF上，点N在正方形ABCD上，若存在点T（0，t），使得点M的“Ti点”为点N，请直接写出t的取值范围． 17．（2024•镇海区校级一模）根据以下素材，探索完成任务． 机场监控问题的思考 素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行． 素材2 2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿45°角爬升，到高4km的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处． 问题解决 任务1 求解析式和速度 求出OA段h关于s的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度； 任务2 求解析式和坐标 求出BC段h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标． 任务3 计算时长 通过计算说明两机距离PQ不超过2.5m的时长是多少． 18．（2024•杭州模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与y轴交于点B（0，5）． （1）求该函数表达式． （2）若一次函数y＝cx﹣1（c≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）图象交于点C（a，1），求a，c的值． （3）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝m（x﹣2）+1（m≠0）的值都大于y＝kx+b（k≠0）的值，求m的取值范围． 19．（2024•浙江模拟）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣3上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式． （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t+1，y2）在直线y＝2x﹣3上，判断2y1+y2的值是否随t的变化而变化，若不变，求出这个值；若变化，求出它的取值范围． 20．（2024•浙江模拟）已知点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上． （1）用含有m1，n1，m2，n2的代数式表示k的值． （2）若m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，b＞2．试比较n1和n2的大小，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 一次函数 课标要求 考点 考向 1．理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式． 2．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质． 3．体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题. 一次函数 考向一 一次函数图像性质 考向二 一次函数与不等式、方程 考向三 一次函数应用 考向四 一次函数与几何 考点 一次函数 ►考向一 一次函数图像性质 1．（2020•嘉兴）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，判断出k和b的符号即可解答． 【解答】解：由题意知，k＝2＞0，b＝﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b图象所过象限与k，b的关系，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限． 2．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得解析式即可判断． 【解答】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2）， ∴2＝a+a，解得a＝1， ∴y＝x+1， ∴直线交y轴的正半轴于点（0，1），且过点（1，2）， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式． 3．（2019•杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式 　y＝﹣x+1（答案不唯一）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意写出一个一次函数即可． 【解答】解：设该函数的解析式为y＝kx+b， ∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1， ∴ 解得：， 所以函数的解析式为y＝﹣x+1， 故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了各种函数的性质，因为x＝0时，y＝1，所以也不可能是正比例函数． 4．（2022•绍兴）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵直线y＝﹣2x+3， ∴y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5， ∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3， ∴若x1x2＞0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意； 若x1x3＜0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意； 若x2x3＞0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意； 若x2x3＜0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2＞0，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 5．（2013•舟山）对于点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B＝（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B＝（﹣5+2）+（4﹣3）＝﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D＝D⊕E＝E⊕F＝F⊕D，则C，D，E，F四点（　　） A．在同一条直线上 B．在同一条抛物线上 C．在同一反比例函数图象上 D．是同一个正方形的四个顶点 【答案】A 【分析】如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）＝（x4+x5）+（y4+y5）＝（x5+x6）+（y5+y6）＝（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3＝x4+y4＝x5+y5＝x6+y6，若令x3+y3＝x4+y4＝x5+y5＝x6+y6＝k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y＝﹣x+k上． 【解答】解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B＝（x1+x2）+（y1+y2）， 如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）， 那么C⊕D＝（x3+x4）+（y3+y4）， D⊕E＝（x4+x5）+（y4+y5）， E⊕F＝（x5+x6）+（y5+y6）， F⊕D＝（x4+x6）+（y4+y6）， 又∵C⊕D＝D⊕E＝E⊕F＝F⊕D， ∴（x3+x4）+（y3+y4）＝（x4+x5）+（y4+y5）＝（x5+x6）+（y5+y6）＝（x4+x6）+（y4+y6）， ∴x3+y3＝x4+y4＝x5+y5＝x6+y6， 令x3+y3＝x4+y4＝x5+y5＝x6+y6＝k， 则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y＝﹣x+k上， ∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度． 6．（2021•绍兴）如图，一次函数y＝x+5的图象经过点P（a，b）和Q（c，d），则a（c﹣d）﹣b（c﹣d）的值为　25　． 【答案】见试题解答内容 【分析】将P（a，b）和Q（c，d）代入一次函数y＝x+5中整理可得． 【解答】解：由P（a，b），Q（c，d）两点在一次函数y＝x+5的图象上， 则b＝a+5，d＝c+5，即：a﹣b＝﹣5，c﹣d＝﹣5． 所以a（c﹣d）﹣b（c﹣d）＝（c﹣d）（a﹣b）＝（﹣5）×（﹣5）＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查的知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式． 7．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式； （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将A点代入直线解析式，求出m．利用待定系数法解出AB直线函数解析式； （2）分别用t表示出y1和y2，列出y1﹣y2，的函数解析式，找出y随t的变化，利用t的最值求出答案． 【解答】解：（1）把点A（2，m）代入y＝2x﹣中，得m＝； 设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，把A（2，），B（0，3）代入得： ，解得， ∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3． （2）∵点P（t，y1）在线段AB上， ∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2）， ∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上， ∴y2＝2（t﹣1）﹣＝2t﹣， ∴y1﹣y2＝﹣t+3﹣（2t﹣）＝﹣t+， ∵﹣＜0， ∴y1﹣y2随t的增大而减小， ∴当t＝0，y1﹣y2的最大值为． 【点评】本题以一次函数为背景考查了一次函数图象的性质，考查学生对待定系数法的运用能力，题目难度不大，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案． ►考向二 一次函数与不等式、方程 1．（2022•杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 　　． 【答案】． 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2）， ∴联立y＝3x﹣1与y＝kx的方程组的解为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 2．（2008•绍兴）如图，已知函数y＝x+b和y＝ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＞ax+3的解集为　x＞1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可根据两直线的图象以及两直线的交点坐标来进行判断． 【解答】解：由图知：当直线y＝x+b的图象在直线y＝ax+3的上方时，不等式x+b＞ax+3成立； 由于两直线的交点横坐标为：x＝1， 观察图象可知，当x＞1时，x+b＞ax+3； 故答案为：x＞1． 【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键． ►考向三 一次函数应用 1．（2021•衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（　　） A．15km B．16km C．44km D．45km 【答案】A 【分析】根据图象信息先求出甲、乙速度，然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间，再求距离B地的距离即可． 【解答】解：由图象可知：甲的速度为：60÷3＝20（km/h）， 乙追上甲时，甲走了30km，此时甲所用时间为：30÷20＝1.5（h）， 乙所用时间为：1.5﹣1＝0.5（h）， ∴乙的速度为：30÷0.5＝60（km/h）， 设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为t， 则：20t＝60（t﹣1﹣0.5）， 解得：t＝2.25， 此时甲距离B地为：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km）， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是读取图象中信息求出甲、乙的速度． 2．（2018•杭州）某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是　60≤v≤80　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据函数图象求出甲车的速度，再根据甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，乙车9点出发，要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车列出不等式组，求解即可． 【解答】解：根据图象可得，甲车的速度为120÷3＝40（千米/时）． 由题意，得， 解得60≤v≤80． 故答案为60≤v≤80． 【点评】本题考查了一次函数的应用，路程、速度与时间关系的应用，列一元一次不等式组解实际问题的应用，能够根据题意列出不等式组是解题的关键． 3．（2018•衢州）星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是　1.5　千米． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y＝kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k|B的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t＝45代入即可． 【解答】解：设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y＝kt+b， ∵图象经过（40，2）（60，0）， ∴， 解得：， ∴y与t的函数关系式为y＝﹣t+6， 当t＝45时，y＝﹣×45+6＝1.5， 故答案为：1.5． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式． 4．（2024•浙江）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16：00～16：50 不分段 A档 4000米 小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； （3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【答案】（1）A，B，C各档速度80米/分、120米/分、160米/分；（2）小丽两次休息时间的总和为5分钟；（3）a＝42.5． 【分析】（1）由小明的跑步里程及时间可得A档速度，再根据B档比A档快40米/分、C档比B档快40米/分，即可得出答案； （2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分），可得方程80a＝3000+160（a﹣40），求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知，A档速度为4000÷50＝80（米/分）， 则B档速度为80+40＝120（米/分）， C档速度为120+40＝160（米/分）， 答：A，B，C各档速度80米/分、120米/分、160米/分． （2）小丽第一段跑步时间为1800÷120＝15（分）， 小丽第二段跑步时间为（3000﹣1800）÷120＝10（分）， 小丽第三段跑步时间为（4600﹣3000）÷160＝10（分）， 则小丽两次休息时间的总和为50﹣10﹣15﹣10﹣10＝5（分）， 答：小丽两次休息时间的总和为5分钟． （3）∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等， ∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分）， ∴80a＝3000+160（a﹣40）， ∴a＝42.5． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键． 5．（2023•金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系． （1）求哥哥步行的速度． （2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中a的值； ②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由A（8，800）可知哥哥的速度． （2）①根据时间＝路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可． ②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论． 【解答】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为：800÷8＝100（m/min）． （2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：800÷200＝4（min）． ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴a＝8+2﹣4＝6． ②由（1）可知：哥哥的速度为100m/min， ∴设BC所在直线为s1＝100t+b， 将B（17，800）代入得：800＝100×17+b， 解得b＝﹣900． ∴BC所在直线为：s1＝100t﹣900． 当s1＝1900时，t哥哥＝28． ∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， ∴妹妹的速度是160米/分． ∴设妹妹返回时的解析式为s2＝160t+b， 将F（20，800）代入得800＝160×20+b， 解得b＝﹣2400， ∴s2＝160t﹣2400． 令s1＝s2，则有100t﹣900＝160t﹣2400， 解得t＝25＜28， ∴妹妹能追上哥哥， 此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）． 兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米）， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远． 【点评】本题考查了一次函数的应用，观察图象以及利用待定系数法求解析式是解决该类问题的关键． 6．（2023•台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值； （2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小； 【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2； 任务2：h＝﹣0.1t+30； 任务3：（1）0.05，（2）0.038． 任务4：见解析． 【分析】任务1：依表计算即可； 任务2：根据待定系法确定关系式即可； 任务3：（1）根据题意计算即可；（2）设h＝kt+30，代入w计算化简，利用二次函数性质求w的最小值即可； 任务4：按照上一问题中的结论设计即可． 【解答】解：任务1： 变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm）， ∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2． 任务2： 设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b， ∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29； ∴， 解得：， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30； 任务3： （1）w＝（30﹣30）2+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2 ＝0.05． （2）设：h＝kt+30， ∴w＝（0•k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（20k+30﹣28.1）2+（30k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）2 ＝3000（k+0.102）2+0.038， ∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038． 任务4： 将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟． 【点评】本题考查了一次函数的应用，充分理解题意是解题关键． ►考向四 一次函数与几何 1．（2006•杭州）已知，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90度．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点． （1）求三角形ABC的面积S△ABC； （2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据直线的解析式容易求出A，B的坐标，也可以求出OA，OB，AB的长，由于三角形ABC是等腰直角三角形，知道AB就可以求出S△ABC； （2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO＝1为底，点P到y轴的距离1为高，所以三角形BOP的面积是一个常数； （3）△ABC的面积已知，把△ABP的面积用a表示，就可以得到关于a的方程，解方程可以求出a． 【解答】解：（1）令y＝﹣x+1中x＝0，得点B坐标为（0，1）； 令y＝0，得点A坐标为（，0）， 由勾股定理得|AB|＝2， ∴S△ABC＝2； （2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO＝1为底，点P到y轴的距离1为高， ∴S△BOP＝为常数； （3）当点P在第四象限时，a＜0， ∵S△ABO＝，S△APO＝﹣a， ∴S△ABP＝S△ABO+S△APO﹣S△BOP＝S△ABC＝2， 即﹣a﹣＝2， 解得a＝， 当点P在第一象限时，同理可得a＝1+， 综上所述，a的值为或1+． 【点评】此题主要考查一次函数图象的性质来探讨变化三角形的面积，也结合了方程的知识，解方程就可以求出a． 1．（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y＝x﹣1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2 C． D．﹣1 【答案】A 【分析】根据函数解析式得到函数y＝x﹣1的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当a≤x≤a+3时，则当x＝a时取得最小值2a+4，列方程并解方程即可． 【解答】解：∵k＝1＞0 ∴函数y＝x﹣1的函数值随着x的增大而增大， 当a≤x≤a+3时，则当x＝a时取得最小值2a+4， 即a﹣1＝2a+4， 解得a＝﹣5， 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握函数的增减性是解答本题的关键． 2．（2024•普陀区二模）一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，3），则下列关系式不可能成立的是（　　） A．kb＝2 B．kb＝1 C．kb＝﹣1 D．kb＝﹣2 【答案】D 【分析】将点（﹣2，3）的坐标代入函数解析式，用k表示b即可解决问题． 【解答】解：因为一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，3）， 所以﹣2k+b＝3， 则b＝2k+3， 所以kb＝k（2k+3）＝2k2+3k＝2（k+）2﹣， 所以kb≥， 故kb不可能等于﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，用含k的代数式表示kb，并正确的进行配方是解题的关键． 3．（2024•鹿城区校级三模）若直线y＝（2﹣5m）x+b经过（1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由x1＜x2时，y1＞y2，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数2﹣5m＜0，解不等式即可． 【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2， ∴2﹣5m＜0， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解题的关键． 4．（2024•西湖区校级二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限，则一次函数y＝ax﹣a一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限，可以得到a﹣1＞0，从而可以得到a的取值范围，然后即可得到一次函数y＝ax﹣a经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【解答】解：∵一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限， ∴a﹣1＞0， 解得a＞1， ∴﹣a＜﹣1， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 5．（2024•下城区校级模拟）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数y＝2|x|﹣4的四条性质，其中错误的是（　　） A．当x＝0时，y具有最小值为﹣4 B．如果y＝2|x|﹣4的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣4 C．当﹣4＜x＜0时，y＜0 D．y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积是8 【答案】C 【分析】A．分x≥0及x≤0两种情况，利用一次函数的性质，可得出当x＝0时，y取得最小值，最小值为﹣4； B．代入y＝0，求出x的值，画出函数图象，观察图形，可得出k＞﹣4； C．观察函数图象，可得出当﹣2＜x＜2时，y＜0； D．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出y＝2|x|﹣4的图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积． 【解答】解：A．当x≥0时，原函数为y＝2x﹣4， ∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝0时，y取得最小值，最小值为﹣4； 当x≤0时，原函数为y＝﹣2x﹣4， ∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝0时，y取得最小值，最小值为﹣4，选项A不符合题意； B．当y＝0时，2|x|﹣4＝0， 解得：x＝﹣2或x＝2， 描点、连线，画出函数图象，如图所示． ∵y＝2|x|﹣4的图象与直线y＝k有两个交点， ∴k＞﹣4，选项B不符合题意； C．观察函数图象，可知：当﹣2＜x＜2时，y＜0，选项C符合题意； D．当y＝0时，2|x|﹣4＝0， 解得：x＝﹣2或x＝2， ∴y＝2|x|﹣4的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（2，0）， ∴y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积＝×|2﹣（﹣2）|×|﹣4|＝8，选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形的面积以及一次函数的图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 6．（2024•绍兴模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝﹣|kx+1|+b（k，b为常数，k≠0）上，下列说法正确的是（　　） A．若y1＜y2＜b，则 B．若x1＜﹣＜x2，则|b﹣y1|＞|b﹣y2| C．若y1＜y2＜b，则 D．若x1＜﹣＜x2，则|b﹣y1|＜|b﹣y2| 【答案】A 【分析】根据题意，画出示意图，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由题知， 函数y＝|kx+1|的图象是将函数y＝kx+1图象在x轴下方的部分关于x轴对称到x轴的上方， 函数y＝﹣|kx+1|的图象与函数y＝|kx+1|的图象关于x轴对称， 函数y＝﹣|kx+1|+b的图象可由函数y＝﹣|kx+1|的图象向上（或向下）平移|b|个单位长度得到， 所以函数y＝﹣|kx+1|+b的大致图象如图所示， 由函数的图象可知， 函数图象上的点，纵坐标越大，这个点离直线y＝越近． 当y1＜y2＜b时， ||＞||， 即||＞||， 所以A选项符合题意． 当x1＜﹣＜x2时， 点A在直线x＝的左侧，点B在直线x＝的右侧， 但这两个点离直线y＝b的远近无法判断， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 7．（2024•萧山区二模）函数y＝ax+b图象经过（1，2），（0，5）两点，则a﹣b＝　﹣8　． 【答案】﹣8． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于a，b的方程组，解之可得出a，b的值，再将其代入a﹣b中，即可求出结论． 【解答】解：∵函数y＝ax+b图象经过（1，2），（0，5）两点， ∴， 解得：， ∴a﹣b＝﹣3﹣5＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键． 8．（2024•海曙区一模）如图，直线y＝kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，矩形ABCD位于第一象限，若矩形ABCD的面积为20，则直线CD必经过一点，这个点的坐标为 　（5，4）　． 【答案】（5，4）． 【分析】过A作AM∥x轴交CD于点M，连结BM，作BH⊥AM于点H，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标，进而可得出BH的长度，由矩形ABCD的面积，可求出三角形ABM的面积，利用三角形的面积公式，可求出AM的长度，再结合BH的长，即可得出点M的坐标． 【解答】解：过A作AM∥x轴交CD于点M，连结BM，作BH⊥AM于点H，如图所示. 当x＝0时，y＝k×0+4＝4， ∴点A的坐标为（0，4）， ∴BH＝4． ∵矩形ABCD的面积为20， ∴S△ABM＝S矩形ABCD＝×20＝10＝AM•BH， ∴AM＝5， ∴点M的坐标为（5，4）， ∴直线CD必经过一点（5，4）． 故答案为：（5，4）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及矩形的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出点M的坐标是解题的关键． 9．（2024•余姚市一模）已知一次函数y＝2x﹣3与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，1），则方程组的解是 　　． 【答案】． 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，1）， ∴方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 10．（2024•临安区一模）在平面直角坐标系中，O是原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则sin∠BAO的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据题意，画出示意图，在Rt△BAO中，求出∠BAO的正弦即可解决问题． 【解答】解：将x＝0代入直线函数解析式得， y＝﹣3， 所以点B坐标为（0，﹣3）． 将y＝0代入直线函数解析式得， ， 解得x＝﹣4， 所以点A坐标为（﹣4，0）． 函数图象如图所示， 在Rt△AOB中， AB＝， 所以sin∠BAO＝． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 11．（2024•宁波模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝2x﹣3图象上两个不同的点，则＝　2　． 【答案】2． 【分析】将点A、B的坐标代入函数中，再将y1和y2的值相减；最后把y1和y2化简后的值将代入所求的式子中，即可求出结果． 【解答】解：把A（x1，y1），B（x2，y2）代入一次函数中， 得到：y1＝2x1﹣3；y2＝2x2﹣3， ∴y2﹣y1＝2x2﹣3﹣（2x1﹣3）＝2（x2﹣x1）， ∴＝＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点的坐标代入函数中，再进行化简求值． 12．（2023•西湖区校级模拟）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【解答】解：∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 故答案为． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 13．（2023•滨江区校级模拟）已知一次函数y＝2x﹣2与y＝ax+b（a为常数，a≠0）的图象的交点的横坐标是2，则方程组的解为 　　． 【答案】． 【分析】依据题意，两个函数图象的交点横坐标为2，则可得纵坐标为2，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 【解答】解：由题意，∵一次函数y＝2x﹣2与y＝ax+b（a为常数，a≠0）的图象的交点的横坐标是2， ∴交点的纵坐标为2×2﹣2＝2． ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 14．（2024•浙江一模）假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，游轮从甲地到达丙地共用了23小时． 若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． （Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长 　14　；游轮在乙地停留的时长 　2　； （Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式； （Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？ 【答案】（1）14，2； （2）OA段的解析式为：s＝20t（0≤t≤14）；AB段的解析式为：s＝280（14≤t≤16）；BC段的解析式为s＝20t﹣40（16＜t≤23）； （3）8小时． 【分析】（1）根据图象可得游轮从甲地到乙地所用的时间为14小时，从乙地到丙地所用的时间为7小时，从而可求停留的时间； （2）结合（1），由图象得A（14，280），B（16，280），C（23，420），从而可求解； （3）由题意可得货轮行驶的时间为8.4小时，从而可列出一元一次方程，则可求解． 【解答】解：（1）游轮从甲地到乙地所用的时间为：280÷20＝14（小时）， 游轮从乙地到丙地所用的时间为：140÷20＝7（小时）， ∵游轮从甲地到丙地共用了23小时， ∴游轮在乙地停留的时间为：23﹣14﹣7＝2（小时）， 故答案为：14，2； （2）由（1）得：A点坐标为：（14，280）， ∵游轮到乙地后停留2小时， ∴B的坐标为：（16，280），C的坐标为：（23，420）， 设OA段的解析式为：s＝kt（k≠0）， ∴280＝14k， 解得：k＝20， ∴s＝20t（0≤t≤14）， AB段的解析式为：s＝280（14≤t≤16）， 设BC段的解析式为s＝k1t+b（k1≠0）， ∴， 解得：， ∴BC段的解析式为s＝20t﹣40（16＜t≤23）； （3）由题意得，游轮出发14小时后，货轮再出发，且比游轮早36分钟到达丙地， 36分钟＝0.6小时， ∴货轮行驶的时间为：23﹣14﹣0.6＝8.4（小时）， ∴货轮的速度为：420÷8.4＝50（km/h）， 设货轮出发后x小时追上游轮，则游轮行驶的时间为：14+x﹣2＝（12+x）小时， ∴20（12+x）＝50x， 解得：x＝8， 答：货轮出发8小时追上游轮． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是由函数图象获取准确的信息． 15．（2024•温州模拟）为了了解某款饮水机的工作原理与用电情况，家电学习小组展开了以下研究． 材料1 材料2 材料3 如图1某饮水机内有两个不同大小的方形水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱至最低水位10cm时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱 甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，水箱注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）．甲乙水箱水位h（cm）关于t的函数关系如图2所示． 为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过20cm时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.03度，另外每根水管工作1分钟耗电0.01度 问题解决 任务1 确定容器信息：求出图2中a的值与甲乙两容器底面积之比． 任务2 探究函数表达式：求出8分钟以后乙容器高度h（cm）关于时间t（分钟）的函数表达式 任务3 计算用电量：求出整个过程中所消耗的电量． 【答案】任务1：a＝30，甲乙两容器底面积之比为3：1； 任务2：h＝30t﹣210（8＜t≤10）； 任务3：0.255． 【分析】任务1：先根据函数图象求出甲水箱的注水时水面上升的速度为10cm/min，由此即可求出2分钟时甲水箱水面的高度，即a的值；设甲容器的底面积为S1，乙容器的底面积为S2，根据乙水箱向甲水箱注水的过程中两个水箱中的水的总体积不发生，可得90S2+10S1＝30（S1+S2），则S1＝3S2，据此可得答案； 任务2：先求出乙水箱向甲水箱注水时水面下降的速度为30cm/min，则当甲水箱水满后，外部继续向乙水箱注水时，乙水箱水面上升的速度为30cm/min，据此可得答案； 任务3：0≤t≤2时是1号管单独工作，2＜t≤8时是1号管和2号管同时工作，8＜t≤10时是2号管单独工作，据此求出两根水管工作的总时间；再分别求出当0≤t≤2时，当2＜t≤8时，当8＜t≤10时，三个时间段内加热的时间，进而求出加热的总时间，再根据加热每分钟耗电 0.03度，每根水管工作1分钟耗电0.01分钟求出总耗电量即可． 【解答】解：任务1：由函数图象可知，甲水箱的注水时水面上升的速度为＝10（cm）， ∴甲水箱注水2分钟后甲水箱的水位高度为10+2×10＝30（cm）， ∴a＝30； 设甲容器的底面积为S1，乙容器的底面积为S2， 由于乙水箱向甲水箱注水的过程中两个水箱中的水的总体积不发生， ∴90S2+10S1＝30（S1+S2）， ∴S1＝3S2， ∴甲乙两容器底面积之比为3：1； 任务2：由任务1可知，乙水箱向甲水箱注水时水面下降的速度为， ∵两管的注水速度相同， ∴当甲水箱水满后，外部继续向乙水箱注水时，乙水箱水面上升的速度为30（cm/min）， ∴8分钟以后乙容器高度h（cm）关于时间t（分钟）的函数表达式h＝30+30（t﹣8）＝30t﹣210（8＜t≤10）； 任务3：由函数图象可知，0≤t≤2时是1号管单独工作，2＜t≤8时是1号管和2号管同时工作，8＜t≤10时是2号管单独工作， ∴两根水管在整个过程中一共工作2+2×（8﹣2）+2＝16（分钟）； 当0≤t≤2时，当两水箱的水位差刚好是20cm时，则10+10t+20＝90﹣30t， 解得t＝1.5， 当0≤t≤2时，加热时间为2﹣1.5＝0.5（分钟）； 当2＜t≤8时，当两水箱的水位差刚好是20cm时，则10+10t＝30+20， 解得t＝4， 当2＜t≤8时，加热时间为4﹣2＝2（分钟）； 当8＜t≤10时，当两水箱的水位差刚好是20cm时，则30t﹣210＝90﹣20， 解得， 当8＜t≤10时，加热时间为10﹣（分钟）； ∴加热的总时间为（分钟）， ∴整个过程中所消耗的电量为0.255（度）． 【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，列函数关系式，关键是根据题意找到等量关系式． 16．（2024•浙江模拟）我们定义：若点M绕点A逆时针方向旋转90°得到的对应点设为N，则称点N为点M的“Ai点”． （1）概念理解： 在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），设点P的“Ai点”为Q．若点Q（2，1），则点P的坐标为 　（1，﹣2）　． （2）问题探究： 如图1，已知点C（1，0），点D在直线y＝x+1上，若点D的“Ci点”在坐标轴上，求点D的坐标． （3）应用拓展： 如图2，已知线段EF的端点为E（0，﹣2）和F（1，0），边长为6的正方形ABCD以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．点M在线段EF上，点N在正方形ABCD上，若存在点T（0，t），使得点M的“Ti点”为点N，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）（1，﹣2）； （2）D（1，）或（0，1）； （3）1≤t≤或≤t≤﹣3． 【分析】（1）连接AP，AQ，过Q作QM⊥x轴于M，过P作PN⊥y轴于N，根据全等三角形的判定与性质求解； （2）根据坐标轴的不同分类讨论，根据（1）的方法求解即可； （3）根据T与x轴的位置关系分类讨论，求出N点的坐标，然后根据N在不同边上时，N点坐标的取值来分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）连接AP，AQ，过Q作QM⊥x轴于M，过P作PN⊥y轴于N，如图： 由旋转的性质可知，AP＝AQ，∠PAQ＝90°， ∴∠QAM+∠PAM＝90°， 又∵∠PAN+∠PAM＝90°， ∴∠PAN＝∠QAM， ∴△APN≌△AQM（AAS）， ∴PN＝QM＝1，AN＝AM＝2， ∴P（1，﹣2）； 故答案为：（1，﹣2）； （2）①若点D的“Ai点”在x轴上，如图： 则CD⊥OC， ∴xD＝1， 代入直线方程得，yD＝， ∴D（1，）； ②若点D的“Ai点”在y轴上，如图： 由（1）知，yD＝OC＝1， ∴xD＝0， ∴D（0，1）； 综上所述，D（1，）或（0，1）； （3）设直线EF的表达式为：y＝kx+b， ∴， ∴k＝2，b＝﹣2， ∴y＝2x﹣2， ∵正方形ABCD以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．边长为6， ∴A（﹣3，3），B（﹣3，﹣3），C（3，﹣3），D（3，3）， 设M（m，2m﹣2），其中0≤m≤1， ①当T在x轴上方时，如图： 过M作MH⊥y轴于H，过N作NG⊥y轴于G， 由旋转的性质可知，TM＝TN，∠NTM＝90°， ∴∠NTG+∠HTM＝90°， ∵∠HTM+∠TMH＝90°， ∴∠GTN＝∠TMH， ∴△TMH≌△NTG（AAS）， ∴TH＝GN，TG＝HM， ∴N（t﹣2m+2，t+m）， （i）当N在CD上时， t﹣2m+2＝3且t+m≤3， ∴m＝， ∵0≤m≤1， ∴1≤t≤； （ii）当N在AD上时， t+m＝3且t﹣2m+2≤3， ∴t＝3﹣m， 又∵0≤m≤1， ∴2≤t≤， ∴1≤t≤； ②当T在x轴下方时，如图： 同理可得，N（t﹣2m+2，t+m）， （i）若点N在AB上， 则t﹣2m+2＝﹣3且t+m≥﹣3， ∵0≤m≤1， ∴﹣≤t≤﹣3； （ii）若N再BC上， 则t﹣2m+2≥﹣3且t+m＝﹣3， ∵0≤m≤1， ∴﹣≤t≤﹣3； 综上所述，t的取值范围是1≤t≤或≤t≤﹣3． 【点评】本题主要考查了一次函数综合题，合理运用旋转的性质，旋转的坐标变换以及全等三角形的判定与性质是本题解题的关键． 17．（2024•镇海区校级一模）根据以下素材，探索完成任务． 机场监控问题的思考 素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行． 素材2 2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿45°角爬升，到高4km的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处． 问题解决 任务1 求解析式和速度 求出OA段h关于s的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度； 任务2 求解析式和坐标 求出BC段h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标． 任务3 计算时长 通过计算说明两机距离PQ不超过2.5m的时长是多少． 【答案】任务1：OA段h关于s的函数解析式为h＝s（0≤s≤4）；2号机的爬升速度为3km/min； 任务2：BC段h关于s的函数解析式为h＝﹣s+；预计2号机着陆点的坐标为（19，0）； 任务3：两机距离PQ不超过2.5km的时长3min． 【分析】（1）设OA段h关于s的函数解析式为正比例函数的一般形式，根据OA与水平方向的夹角求出k值，从而求出对应函数解析式；根据勾股定理，求出点O与A的距离，1号机与2号机在水平方向的速度相同，由速度＝路程÷时间求出2号机的爬升速度即可； （2）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求出BC段h关于s的函数解析式；当h＝0时对应s的值，从而求得2号机着陆点的坐标； （3）分别求出2号机在OA段和BC段PQ＝2.5时对应的s的值，根据图象，当s处于这两者之间时PQ不超过2.5km，根据时间＝路程÷速度求解即可． 【解答】解：任务1：设OA段h关于s的函数解析式为h＝ks， ∴k＝＝tan45°＝1， ∴h＝s， ∴当h＝4时，s＝4， ∴OA段h关于s的函数解析式为h＝s（0≤s≤4）； 2号机从O点到达A点飞行的路程为OA＝＝4（km），所用时间为min， ∴2号机的爬升速度为4÷＝3（km/min）； 任务2：B点的横坐标为4+1×3＝7， ∴B点的坐标为（7，4）． 设BC段h关于s的函数解析式为h＝k1s+b（k1、b为常数，且k1≠0）． 将坐标B（7，4）和C（10，3）分别代入h＝k1s+b， 得，解得， ∴BC段h关于s的函数解析式为h＝﹣s+； 当h＝0时，0＝﹣s+， 解得s＝19， ∴预计2号机着陆点的坐标为（19，0）； 任务3：当2号机在OA段，且PQ＝2.5时，5﹣s＝2.5， 解得s＝2.5； 当2号机在BC段，且PQ＝2.5时，5﹣（﹣s+）＝2.5， 解得s＝11.5， 根据图象可知，当2.5≤s≤11.5时，两机距离PQ不超过2.5km， ∴两机距离PQ不超过2.5km的时长是（11.5﹣2.5）÷3＝3（min）． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． 18．（2024•杭州模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与y轴交于点B（0，5）． （1）求该函数表达式． （2）若一次函数y＝cx﹣1（c≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）图象交于点C（a，1），求a，c的值． （3）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝m（x﹣2）+1（m≠0）的值都大于y＝kx+b（k≠0）的值，求m的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣2x+5； （2）a＝2；c＝1； （3）m＞﹣2． 【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）将点C（a，1）坐标代入y＝﹣2x+5解出a，再将C（2，1）代入y＝cx﹣1解出c值即可； （3）函数y＝m（x﹣2）+1（m≠0）恒过定点（2，1），且（2，1）在一次函数y＝﹣2x+5 图象上，依据题意得m（3﹣2）+1＞﹣2×3+5，解答即可得解． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与y轴交于点B（0，5）， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+5； （2）∵若一次函数y＝cx﹣1（c≠0）的图象与一次函数y＝﹣2x+5（k≠0）图象交于点C（a，1）， ∴﹣2a+5＝1， ∴a＝2， 将C（2，1）坐标代入y＝cx﹣1得： 2c﹣1＝1， ∴c＝1． （3）∵函数y＝m（x﹣2）+1（m≠0）恒过定点（2，1），且（2，1）在一次函数y＝﹣2x+5 图象上， 又∵当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝m（x﹣2）+1（m≠0）的值都大于y＝﹣2x+5的值， ∴m（3﹣2）+1＞﹣2×3+5， 解得m＞﹣2， ∴m的取值范围为m＞﹣2． 【点评】本题考查了两条直线相交和平行问题，熟练掌握一次函数与不等式间的关系式解答本题的关键． 19．（2024•浙江模拟）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣3上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式． （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t+1，y2）在直线y＝2x﹣3上，判断2y1+y2的值是否随t的变化而变化，若不变，求出这个值；若变化，求出它的取值范围． 【答案】（1）m的值为1，直线AB解析式为y＝﹣x+3； （2）2y1+y2的值不随t的变化而变化，2y1+y2的值为5． 【分析】（1）把A（2，m）代入y＝2x﹣3得：m＝2×2﹣3＝1，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（2，1），B（0，3）代入得，解出k，b的值可得直线AB解析式为y＝﹣x+3； （2）求出y1＝﹣t+3，y2＝2（t+1）﹣3，可得2y1+y2＝2（﹣t+3）+2（t+1）﹣3＝5，故2y1+y2的值不随t的变化而变化，2y1+y2的值为5． 【解答】解：（1）把A（2，m）代入y＝2x﹣3得：m＝2×2﹣3＝1， ∴m的值为1，A（2，1）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（2，1），B（0，3）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+3； （2）2y1+y2的值不随t的变化而变化，理由如下： ∵点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t+1，y2）在直线y＝2x﹣3上， ∴y1＝﹣t+3，y2＝2（t+1）﹣3， ∴2y1+y2＝2（﹣t+3）+2（t+1）﹣3＝5， ∴2y1+y2的值不随t的变化而变化，2y1+y2的值为5． 【点评】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法和一次函数图象上点坐标的特征． 20．（2024•浙江模拟）已知点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上． （1）用含有m1，n1，m2，n2的代数式表示k的值． （2）若m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，b＞2．试比较n1和n2的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2）n1＞n2，理由见解析． 【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征即可得出n1＝km1+b、n2＝km2+b，二者做差即可得出n1﹣n2＝k（m1﹣m2），再结合m1＜m2即可求出k值； （2）由m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，即可得出3kb+2b＝kb+4，用函数b的代数式表示出k值，根据b的取值范围即可得出k＜0，结合一次函数的增减性及m1＜m2即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴n1＝km1+b，n2＝km2+b， ∴n1﹣n2＝（km1+b）﹣（km2+b）＝k（m1﹣m2）， ∵m1＜m2， ∴m1﹣m2≠0， ∴； （2）n1＞n2，理由如下： ∵n1+n2＝（km1+b）+（km2+b）＝k（m1+m2）+2b 又∵n1+n2＝kb+4， ∴k（m1+m2）+2b＝kb+4， ∵m1+m2＝3b， ∴3kb+2b＝kb+4， 解得：， ∵b＞2， ∴， ∴一次函数y＝kx+b中y随x的增大而减小． 又∵m1＜m2， ∴n1＞n2． 【点评】本题考查一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）找出n1﹣n2＝k（m1﹣m2）；（2）根据b的取值范围找出k＜0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$