专题09 平面直角坐标系及函数基础-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题09 平面直角坐标系与函数基础 课标要求 考点 考向 1．会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标． 2．掌握坐标平面内点的坐标特征． 3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析． 4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 平面直角坐标系 考向一 坐标系的特点 考向二 坐标变换运算 函数基础 考向一 函数概念及图像应用 考向二 函数自变量 考点一 平面直角坐标系 ►考向一 坐标系点的特点 1．（2023•丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】依据m2+1＞0，即可得出点P（﹣1，m2+1）在第二象限． 【解答】解：∵m2+1＞0， ∴点P（﹣1，m2+1）在第二象限． 故选：B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 2．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　） A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2） 【答案】A 【分析】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 3．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定A点位置． 【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0， ∴点A（﹣1，﹣2）在第三象限， 故选：C． 【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特点是解题的关键． 4．（2023•衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 　（1，3）　． 【答案】（1，3）． 【分析】根据A、B两点的坐标确定平面直角坐标系的位置，即可得C点的坐标． 【解答】解：如图：由A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），坐标可确定原点位置和坐标系： 由图可得C（1，3），故答案为：（1，3）． 【点评】本题考查平面直角坐标系与点的位置，属于基础题． ►考向二 坐标变换运算 1．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　（，﹣3）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称，进而可以解决问题． 【解答】解：因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是（﹣，3）， 所以A点的坐标是（，﹣3）， 故答案为：（，﹣3）． 【点评】本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征． 2．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC 　＝　∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）． 【答案】＝． 【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系． 【解答】解：连接DE， 由图可知AB＝2，BC＝2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， 又∵AE＝＝＝， 同理可得DE＝＝， AD＝＝， 则在△ADE中，有AE2+DE2＝AD2， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝45°， ∴∠BAC＝∠DAE， 故答案为：＝． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理及其逆定理，对于直角三角形的判定可以根据各个点的坐标，求出各线段的长度来实现，然后再根据边来判断角的大小．其解题关键在于构造相关的直角三角形． 3．（2010•杭州）常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置． 【答案】见试题解答内容 【分析】方法1：用有序实数对（a，b）表示；方法2：用方向和距离表示． 【解答】解：方法1：用有序实数对（a，b）表示． 比如：以点A为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，则B（3，3）． 方法2：用方向和距离表示． 比如：B点位于A点的东北方向（北偏东45°等均可），距离A点3处． 【点评】本题考查了确定物体位置的两种方法．无论运用哪种方法表示一个点在平面中的位置，都要用两个数据才能表示． 考点二 函数基础 ►考向一 函数概念及图像应用 1．（2023•绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点N（﹣2，a），P（2，a）关于y轴对称，可排除选项A、C，再根据M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，从而排除选项D． 【解答】解：由N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、C不符合题意； 由M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项B符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 2．（2023•浙江）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【解答】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 【点评】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键． 3．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（　　） A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 【答案】B 【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟）， 小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟）， 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米 由图象可得：， 解得：x+y+z＝2700， ∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分）， 由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300， ∴x+y＝2100， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）． 故选：B． 【点评】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． 4．（2018•浙江）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（　　） A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱 B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多 C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱 D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱 【答案】D 【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确； B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确； C、利用待定系数法求出：当x≥25时，yA与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝35时yA的值，将其与50比较后即可得出结论C正确； D、利用待定系数法求出：当x≥50时，yB与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝70时yB的值，将其与120比较后即可得出结论D错误． 综上即可得出结论． 【解答】解：A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确； B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确； C、设当x≥25时，yA＝kx+b， 将（25，30）、（55，120）代入yA＝kx+b，得： ，解得：， ∴yA＝3x﹣45（x≥25）， 当x＝35时，yA＝3x﹣45＝60＞50， ∴每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，结论C正确； D、设当x≥50时，yB＝mx+n， 将（50，50）、（55，65）代入yB＝mx+n，得： ，解得：， ∴yB＝3x﹣100（x≥50）， 当x＝70时，yB＝3x﹣100＝110＜120， ∴结论D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 5．（2022•舟山）6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下： x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 … y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 … （数据来自某海洋研究所） （1）数学活动： ①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． ②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？ （2）数学思考： 请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． （3）数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ 【答案】（1）①见解答；②当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21；（2）①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；②当x＝14时，y有最小值为80；（3）5＜x＜10或18＜x＜23． 【分析】（1）①先描点，然后画出函数图象； ②利用数形结合思想分析求解； （2）结合函数图象增减性及最值进行分析说明； （3）结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围． 【解答】解：（1）①如图： ②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21； （2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）： ①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大； ②当x＝14时，y有最小值为80； （3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23， ∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260， 即当5＜x＜10或18＜x＜23时，货轮进出此港口． 【点评】本题考查函数的图象，理解题意，准确识图，利用数形结合思想确定关键点是解题关键． ►考向二 函数自变量 1．（2022•浙江）函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x＞﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【解答】解：根据题意得：x+2＞0， 解得x＞﹣2． 【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 2．（2021•湖州）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x＞2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【解答】解：根据二次根式的意义以及分式的意义可知：x﹣2＞0， 所以，x＞2， 故答案为：x＞2． 【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 1．（2024•瑞安市校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P为线段AB上动点，并以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间x（秒）的函数关系如图2所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　） A．（2，3） B． C． D． 【答案】B 【分析】连接CP，证明四边形PMCN为矩形，CP＝MN，当CP⊥AB时CP最短，即MN最短，当点P位于点A处时，x＝0，y＝4，即AC＝4，当点P位于点B处时，x＝8，即AB＝8，求出∠CAP＝60°，求出AP及CP长即可． 【解答】解：如图，连接CP， ∵∠C＝90°，PM⊥AC，PN⊥BC， ∴四边形PMCN为矩形， ∴CP＝MN，当CP⊥AB时CP最短，即MN最短， 当点P位于点A处时，x＝0，y＝4，即AC＝4， 当点P位于点B处时，x＝8，即AB＝8， ∴cos∠CAP＝， ∴∠CAP＝60°， ∴AP＝AC＝2， ∴CP＝＝2． ∴E（2，2）． 故选：B． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． 2．（2024•海宁市校级模拟）如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，连结AE，过点D作DF⊥AE于点F．设AE＝x，DF＝y，已知x，y满足反比例函数y＝（k＞0，x＞0），其图象如图2所示，则矩形ABCD的面积为（　　） A．4 B．9 C．10 D． 【答案】C 【分析】由图可知，当E与点B重合时，AE最小，DF与AD 重合，此时，y＝a＝AD；当E与点C重合时，AE最大，AE与AC重合，根据AB2+BC2＝AC2，矩形ABCD的面积＝AB•AD＝AC•DH，据此列方程求解即可． 【解答】详解：如图1：连接AC，作DH⊥AC于点H． 由函数图象可知：AB＝，AD＝a，AC＝b，D到AC的距离DH等于2． ∵AB2+BC2＝AC2，矩形ABCD的面积＝AB•AD＝AC•DH， ∴，， 解得：a＝2，b＝5， ∴矩形ABCD的面积为：AB•AD＝×2＝10． 故选：C． 【点评】本题主要考查了矩形的动点问题、勾股定理等知识 点，正确从函数图象上获取信息成为解题的关键． 3．（2024•嘉兴二模）已知点A（﹣1，﹣a），B（1，a），C（3，a﹣2）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点A（﹣1，﹣a），B（1，a），关于原点中心对称，可排除选项A、D，再根据B（1，a），C（3，a﹣2）可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，从而排除选项B． 【解答】解：由A（﹣1，﹣a），B（1，a）在同一个函数图象上，可知图象关于原点中心对称，故选项A、D不符合题意； 由B（1，a），C（3，a﹣2），可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，故选项C符合题意，选项B不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 4．（2024•舟山一模）如图，是1个纸杯和n个叠放在一起的纸杯示意图，n个纸杯叠放所形成的高度为h，设杯子底部到杯沿底边高H，杯沿高a（H，a均为常量），h是n的函数，h随着n的变化规律可以用表达式（　　）描述． A．h＝H+（n﹣1）a B．h＝H+na C．h＝H+（n+1）a D．h＝na 【答案】A 【分析】根据题意列出解析式，h，a是常量，n，H是变量，直接判断即可． 【解答】解：由题可知，h＝H+a（n﹣1）， 因为h，a是常量，n，H是变量， 因此此情景中变量之间的函数关系为一次函数． 故选：A． 【点评】此题考查一次函数的定义，根据题意列出解析式是解题关键． 5．（2024•杭州三模）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2024的坐标是（　　） A．（2，0） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1） 【答案】D 【分析】按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案． 【解答】解：根据反射角等于入射角画图如下， 由图中可知，P2（4，1），P3（0，3），P4（2，4），P5（4，3），最后再反射到P（0，1），由此可知，每6次循环一次， ∴2024÷6＝337…2， ∴点P2024的坐标与P2相同， ∴P2024（4，1）． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标规律探究性问题，解题的关键在于寻找循环坐标，得出规律． 6．（2024•拱墅区模拟）平面直角坐标系中，点（1，﹣2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】解：点（1，﹣2）在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 7．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知直线l：x＝2和直线m：y＝﹣1，点P（x，y）的位置如图所示，则（　　） A．x＞2，y＞﹣1 B．x＞2，y＜﹣1 C．x＜2，y＞﹣1 D．x＜2，y＜﹣1 【答案】C 【分析】根据所给平面直角坐标系，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：根据所给图象可知， 点P（x，y）在直线l的左侧，且直线l为x＝2， 所以x＜2． 点P（x，y）在直线m的上方，且直线m为y＝﹣1， 所以y＞﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形性质，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 8．（2024•镇海区一模）若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞2 【答案】A 【分析】根据第二象限内点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵点G（a，2﹣a）是第二象限的点， ∴， 解得a＜0． 故选：A． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键． 9．（2019•宁波模拟）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≠2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据函数表达式是整式时，自变量可取全体实数解答． 【解答】解：当x﹣2≠0，即x≠2时，函数y＝有意义． 故答案为：x≠2． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 10．（2010•萧山区校级模拟）函数y＝中自变量x的取值范围是 　x≥﹣3且x≠﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0． 【解答】解：根据题意得： 解得自变量x的取值范围是x≥﹣3且x≠﹣2． 【点评】考查使得分式和根号有意义的知识．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 11．（2024•浙江模拟）点M（m+1，m+3）在y轴上，则点M的坐标为　（0，2）　． 【答案】（0，2）． 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点M（m+1，m+3）在y轴上， ∴m+1＝0， 解得：m＝﹣1， 故m+3＝2， 则点M的坐标为：（0，2）． 故答案为：（0，2）． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握y轴上点的坐标特点是解题关键． 12．（2024•杭州四模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B在y轴上，分别以A，B两点为圆心，AB长为半径作弧，在AB右侧交于点C，若点C的纵坐标为3，则点B的纵坐标为 　6﹣2　． 【答案】6﹣2． 【分析】在x轴上分别取点M和N，使得∠BMO＝∠CNA＝60°，构造出全等三角形即可解决问题． 【解答】解：在x轴上分别取点M和N，使得∠BMO＝∠CNA＝60°， 由题知， △ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAM+∠CAN＝∠CAN+∠ACN＝120°， ∴∠BAM＝∠ACN． 在△BAM和△ACN中， ， ∴△BAM≌△ACN（AAS）， ∴AM＝CN． 过点C作x轴的垂线，垂足为D， 在Rt△CDN中， sin∠CNA＝， ∴CN＝， ∴AM＝CN＝． 又∵点A的坐标为（2，0）， ∴OA＝2， ∴OM＝． 在Rt△BOM中， tan∠BMO＝， ∴BO＝＝6﹣， ∴点B的纵坐标为． 故答案为：6﹣2． 【点评】本题考查坐标与性质，通过一线三等角构造出全等三角形是解题的关键． 13．（2024•上城区二模）若点（m，n）在第二象限，则点（n+1，m）在第 　四　象限． 【答案】四． 【分析】先根据题意判断出m，n的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵点（m，n）在第二象限， ∴m＜0，n＞0， ∴n+1＞0， ∴点（n+1，m）在第四象限． 故答案为：四． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 14．（2024•滨江区校级三模）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表． x 1 2 3 4 5 6 y 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象； （2）求出函数表达式； （3）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，若0＜x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）y1＞y2，理由见解析 【分析】（1）描点、连线即可画出相应函数的图象； （2）利用待定系数法即可求出函数表达式； （3）根据函数图象得出其增减性，进而解答． 【解答】解：（1）函数图象如图所示： （2） 由函数图象可知，y与x成反比例关系， 设函数表达式为， 把x＝1，y＝6代入，得k＝6， ∴， 将其余各组数据代入验证均成立， ∴函数表达式为：； （3）y1＞y2； 理由：由函数图象可得，在第一象限内，y随x的增大而减小， ∵0＜x1＜x2， ∴y1＞y2． 【点评】本题考查画函数图象、反比例函数的图象和性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题． 15．（2023•舟山三模）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． （1）y是关于x的函数吗？为什么？ （2）请说明点D的实际意义． （3）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 【答案】（1）y是关于x的函数；理由见解答； （2）点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%； （3）见解答． 【分析】（1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可解答； （2）根据点的坐标的意义即可解答； （3）提出一条合理的建议即可． 【解答】解：（1）根据图象知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应， ∴y是关于x的函数； （2）点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%； （3）由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，故建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新． 【点评】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键． 16．（2023•西湖区模拟）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如表． x 1 2 3 4 5 6 y 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式． （2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由． 【答案】（1）图形如解答；； （2）y1＞y2.由图象的增减性可知，y随x的增大而减小． 【分析】（1）在平面直角坐标系中妙处各点，用光滑曲线连接即可；利用待定系数法可求出函数表达式； （2）有函数可知，当x＞0时，y随x的增大而减小，由此可判断y1，y2的大小． 【解答】解：（1）函数图象如图所示， 设函数表达式为， 把x＝1，y＝6代入，得k＝6， ∴函数表达式为； （2）∵k＝6＞0， ∴在第一象限，y随x的增大而减小， ∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合思想等，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题基础． 17．（2023•余姚市校级模拟）已知函数0）的部分对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 y 2.5 2 2.5 （1）求常数k的值，并填表． （2）画出相应函数的图象． （3）观察图象，写出函数的2条性质． 【答案】（1）k＝2； （2）见解析； （3）①当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；②当x＝2时，y有最小值为2． 【分析】（1）根据给出的已知点，先利用待定系数法确定表达式，再代入x值求未知y值即可； （2）描点、连线即可； （3）根据图象即可得出答案． 【解答】解（1）将点（2，2）代入函数表达式得2＝+， 解得k＝2， ∴y＝+， ∴当x＝3时，y＝， 当x＝5时，y＝2.9， 当x＝6时，y＝， 已知函数0）的部分对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 y 2.5 2 2.5 2.9 （2）如图： （3）由图象可知：①当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；②当x＝2时，y有最小值为2． 【点评】本题主要考查函数的图象，待定系数法，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平面直角坐标系与函数基础 课标要求 考点 考向 1．会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标． 2．掌握坐标平面内点的坐标特征． 3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析． 4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 平面直角坐标系 考向一 坐标系的特点 考向二 坐标变换运算 函数基础 考向一 函数概念及图像应用 考向二 函数自变量 考点一 平面直角坐标系 ►考向一 坐标系点的特点 1．（2023•丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　） A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2） 3．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2023•衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 　　． ►考向二 坐标变换运算 1．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　　． 2．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC 　　∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）． 3．（2010•杭州）常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置． 考点二 函数基础 ►考向一 函数概念及图像应用 1．（2023•绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•浙江）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（　　） A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 4．（2018•浙江）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（　　） A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱 B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多 C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱 D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱 5．（2022•舟山）6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下： x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 … y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 … （数据来自某海洋研究所） （1）数学活动： ①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． ②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？ （2）数学思考： 请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． （3）数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ ►考向二 函数自变量 1．（2022•浙江）函数y＝中，自变量x的取值范围是 　　． 2．（2021•湖州）函数y＝中，自变量x的取值范围是　　． 1．（2024•瑞安市校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P为线段AB上动点，并以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间x（秒）的函数关系如图2所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　） A．（2，3） B． C． D． 2．（2024•海宁市校级模拟）如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，连结AE，过点D作DF⊥AE于点F．设AE＝x，DF＝y，已知x，y满足反比例函数y＝（k＞0，x＞0），其图象如图2所示，则矩形ABCD的面积为（　　） A．4 B．9 C．10 D． 3．（2024•嘉兴二模）已知点A（﹣1，﹣a），B（1，a），C（3，a﹣2）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•舟山一模）如图，是1个纸杯和n个叠放在一起的纸杯示意图，n个纸杯叠放所形成的高度为h，设杯子底部到杯沿底边高H，杯沿高a（H，a均为常量），h是n的函数，h随着n的变化规律可以用表达式（　　）描述． A．h＝H+（n﹣1）a B．h＝H+na C．h＝H+（n+1）a D．h＝na 5．（2024•杭州三模）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2024的坐标是（　　） A．（2，0） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1） 6．（2024•拱墅区模拟）平面直角坐标系中，点（1，﹣2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知直线l：x＝2和直线m：y＝﹣1，点P（x，y）的位置如图所示，则（　　） A．x＞2，y＞﹣1 B．x＞2，y＜﹣1 C．x＜2，y＞﹣1 D．x＜2，y＜﹣1 8．（2024•镇海区一模）若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞2 9．（2019•宁波模拟）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　． 10．（2010•萧山区校级模拟）函数y＝中自变量x的取值范围是 　 　． 11．（2024•浙江模拟）点M（m+1，m+3）在y轴上，则点M的坐标为　 　． 12．（2024•杭州四模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B在y轴上，分别以A，B两点为圆心，AB长为半径作弧，在AB右侧交于点C，若点C的纵坐标为3，则点B的纵坐标为 　 　． 13．（2024•上城区二模）若点（m，n）在第二象限，则点（n+1，m）在第 　 　象限． 14．（2024•滨江区校级三模）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表． x 1 2 3 4 5 6 y 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象； （2）求出函数表达式； （3）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，若0＜x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由． 15．（2023•舟山三模）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． （1）y是关于x的函数吗？为什么？ （2）请说明点D的实际意义． （3）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 16．（2023•西湖区模拟）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如表． x 1 2 3 4 5 6 y 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式． （2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由． 17．（2023•余姚市校级模拟）已知函数0）的部分对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 y 2.5 2 2.5 （1）求常数k的值，并填表． （2）画出相应函数的图象． （3）观察图象，写出函数的2条性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$