专题07 分式方程-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题07 分式方程 课标要求 考点 考向 1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程． 2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题． 3．会列分式方程解决实际问题. 分式方程 考向一 分式方程概念及解法 考向二分式方程应用 考点 分式方程 ►考向一 分式方程概念及解法 1．（2014•台州）将分式方程1﹣＝去分母，得到正确的整式方程是（　　） A．1﹣2x＝3 B．x﹣1﹣2x＝3 C．1+2x＝3 D．x﹣1+2x＝3 2．（2006•台州）用换元法解方程+2＝0，如果设y＝，那么原方程可化为（　　） A．y2﹣y+2＝0 B．y2+y﹣2＝0 C．y2﹣2y+1＝0 D．y2+2y﹣1＝0 3．（2024•浙江）若，则x＝　 　． 4．（2023•绍兴）方程的解是 　 　． 5．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1）⊗x＝，则x的值为 　　． 6．（2022•金华）若分式的值为2，则x的值是 　 　． 7．（2016•杭州）已知关于x的方程＝m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是　 　． 8．（2009•杭州）已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是　 　． 9．（2001•浙江）已知实数x满足＝0，那么的值为　 　． 10．（2023•浙江）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下： 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 11．（2022•嘉兴）（1）计算：（1﹣）0﹣． （2）解方程：＝1． 12．（2021•湖州）解分式方程：＝1． 13．（2017•湖州）解方程：＝+1． 14．（2015•嘉兴）小明解方程﹣＝1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 15．（2014•舟山）解方程：＝1． ►考向二 分式方程应用 1．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（　　） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 2．（2021•浙江）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　） A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝20 D．﹣＝20 3．（2012•台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2004•杭州）甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时后甲追上乙．那么甲的速度是乙的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 5．（2020•浙江）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 　　． 6．（2020•湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件． （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 1．（2024•杭州一模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 2．（2024•金华三模）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳240下，小范比小季多跳30下．已知小范每分钟比小季多跳20下，设小季每分钟跳x下，可列出方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•温州模拟）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树x棵，可列出方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•拱墅区模拟）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递员更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意课列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•浙江模拟）如图，y1，y2分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，燃油汽车花费25元和电动汽车花费10元的行车里程数相同．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的2倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•拱墅区二模）某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进 　 　本． 7．（2024•拱墅区模拟）某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用40元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤，则该水果打折前的单价为 　 　元/斤． 8．（2023•杭州二模）若分式的值为1，则x的值为 　 　． 9．（2023•西湖区校级模拟）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 　 　，m＝4时，分式方程的解为 　 　． 10．（2023•上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 　 　千克． 甲种糖果 乙种糖果 千克数 20 30 单价（元/千克） 25 15 11．（2023•宁波模拟）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝．若（x﹣1）⊗（x+1）＝，则x的值为 　 　． 12．（2024•杭州二模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 13．（2024•瑞安市校级模拟）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得（x﹣1）﹣（x﹣4）＝2﹣x 去括号，得x﹣1﹣x+4＝2﹣x 合并同类项，得3＝2﹣x 解得x＝﹣1 ∴原方程的解是x＝﹣1 小迪 解：去分母，得（x﹣1）+（x﹣4）＝﹣1 去括号得x﹣1+x﹣4＝﹣1 合并同类项得2x﹣5＝﹣1 解得x＝2 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解 老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程． 14．（2024•下城区校级模拟）已知分式方程，请在下列三个条件中任选其中一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 15．（2024•杭州三模）小汪解答“解分式方程：”的过程如下： 解：去分母得：2x+3﹣2＝﹣（x﹣1）…① 去括号得：2x+3﹣2＝﹣x+1…②， 移项得：2x+x＝1+2﹣3…③． 合并同类项得：3x＝0…④， 系数化为1得：x＝0…⑤ 经检验，x＝0是原分式方程的解． 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 16．（2024•浙江模拟）解分式方程：． 17．（2024•浙江模拟）小海解方程的过程如下．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 解：方程两边同乘（x﹣1），得3﹣（1﹣2x）＝1．…① 去括号，得3﹣1﹣2x＝1．…② 移项，得﹣2x＝1+1﹣3．…③ 合并同类项，得﹣2x＝﹣1．…④ 两边同除以﹣2，得．…⑤ ∴原方程的解为．…⑥ 18．（2023•镇海区校级一模）解方程： （1）； （2）． 19．（2023•温州一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 20．（2023•拱墅区二模）化简：． 圆圆的解答如下： ＝﹣ ＝2x﹣x+2 ＝x+2 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 分式方程 课标要求 考点 考向 1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程． 2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题． 3．会列分式方程解决实际问题. 分式方程 考向一 分式方程概念及解法 考向二分式方程应用 考点 分式方程 ►考向一 分式方程概念及解法 1．（2014•台州）将分式方程1﹣＝去分母，得到正确的整式方程是（　　） A．1﹣2x＝3 B．x﹣1﹣2x＝3 C．1+2x＝3 D．x﹣1+2x＝3 【答案】B 【分析】分式方程两边乘以最简公分母x﹣1，即可得到结果． 【解答】解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x＝3， 故选：B． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 2．（2006•台州）用换元法解方程+2＝0，如果设y＝，那么原方程可化为（　　） A．y2﹣y+2＝0 B．y2+y﹣2＝0 C．y2﹣2y+1＝0 D．y2+2y﹣1＝0 【答案】D 【分析】若设y＝，则＝，则原方程可化为y﹣+2＝0，方程两边都乘最简公分母y可化为整式方程． 【解答】解：设， 则方程+2＝0变为＝0， 整理得y2+2y﹣1＝0， 故选：D． 【点评】本题考查用换元法解分式方程，再让分式方程两边都乘最简公分母转化为整式方程． 3．（2024•浙江）若，则x＝　3　． 【答案】3． 【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：两边都乘以（x﹣1），得 2＝x﹣1， 解得x＝3， 经检验x＝3是原方程的解， 所以原方程的解为x＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键． 4．（2023•绍兴）方程的解是 　x＝3　． 【答案】x＝3． 【分析】解分式方程得结论． 【解答】解：去分母，得3x＝9， ∴x＝3． 经检验，x＝3是原方程的解． 故答案为：x＝3． 【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键． 5．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1）⊗x＝，则x的值为 　﹣　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案． 【解答】解：根据题意得：+＝， 化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1）， 解得：x＝﹣， 检验：当x＝﹣时，x（x+1）≠0， ∴原方程的解为：x＝﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键． 6．（2022•金华）若分式的值为2，则x的值是 　4　． 【答案】见试题解答内容 【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论． 【解答】解：由题意得：＝2， 去分母得：2＝2（x﹣3）， 去括号得：2x﹣6＝2， 移项，合并同类项得：2x＝8， ∴x＝4． 经检验，x＝4是原方程的根， ∴x＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤． 7．（2016•杭州）已知关于x的方程＝m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是　＜m＜　． 【答案】＜m＜． 【分析】先解方程组，求得x和y，再根据y＞1和0＜n＜3，求得x的取值范围，最后根据＝m，求得m的取值范围． 【解答】解：解方程组，得 ， ∵y＞1， ∴2n﹣1＞1，即n＞1， 又∵0＜n＜3， ∴1＜n＜3， ∵n＝x﹣2， ∴1＜x﹣2＜3，即3＜x＜5， ∴＜＜， ∴＜＜， 又∵＝m， ∴＜m＜， 故答案为：＜m＜． 【点评】本题主要考查了分式方程的解以及二元一次方程组的解，解题时需要掌握解二元一次方程和一元一次不等式的方法．根据x取值范围得到的取值范围是解题的关键． 8．（2009•杭州）已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是　m＞﹣6且m≠﹣4　． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式组求出m的取值范围． 【解答】解：解关于x的方程得x＝m+6， ∵x﹣2≠0，解得x≠2， ∵方程的解是正数， ∴m+6＞0且m+6≠2， 解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4． 故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4． 【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式组的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于m的不等式组是本题的一个难点． 9．（2001•浙江）已知实数x满足＝0，那么的值为　﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】设＝y后，代入原方程，变为整式方程后求得y的值，即可得到所求代数式的值． 【解答】解：设＝y． 则原式为y2﹣2+y＝0． 解之得y＝﹣2或1． 即或（此等式中x无实数解，舍去）， ∴． 【点评】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 10．（2023•浙江）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下： 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】×；×；正确步骤见解答过程． 【分析】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可． 【解答】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下： ﹣＝1， 两边同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2， 移项，合并同类项得：x＝1， 检验：将x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0， 则x＝1是分式方程的解， 故原分式方程的解是x＝1． 【点评】本题考查解分式方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 11．（2022•嘉兴）（1）计算：（1﹣）0﹣． （2）解方程：＝1． 【答案】（1）﹣1； （2）x＝﹣2． 【分析】（1）分别利用零指数幂、算术平方根的定义化简，然后加减求解； （2）首先去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根． 【解答】解：（1）原式＝1﹣2＝﹣1； （2）去分母得x﹣3＝2x﹣1， ∴﹣x＝3﹣1， ∴x＝﹣2， 经检验x＝﹣2是分式方程的解， ∴原方程的解为：x＝﹣2． 【点评】本题分别考查了实数的运算和解分式方程，实数的运算主要利用零指数幂及算术平方根的定义，解分式方程的基本方法时去分母． 12．（2021•湖州）解分式方程：＝1． 【答案】x＝4． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x﹣1＝x+3， 解得：x＝4， 当x＝4时，x+3≠0， ∴分式方程的解为x＝4． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．（2017•湖州）解方程：＝+1． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程两边都乘以x﹣1得出2＝1+x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：方程两边都乘以x﹣1得：2＝1+x﹣1， 解得：x＝2， 检验：∵当x＝2时，x﹣1≠0， ∴x＝2是原方程的解， 即原方程的解为x＝2． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验． 14．（2015•嘉兴）小明解方程﹣＝1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 【答案】见试题解答内容 【分析】小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写出正确的解题过程即可． 【解答】解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验； 正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）＝x， 去括号得：1﹣x+2＝x， 移项得：﹣x﹣x＝﹣1﹣2， 合并同类项得：﹣2x＝﹣3， 解得：x＝， 经检验x＝是分式方程的解， 则方程的解为x＝． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 15．（2014•舟山）解方程：＝1． 【答案】见试题解答内容 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x（x﹣1）﹣4＝x2﹣1， 去括号得：x2﹣x﹣4＝x2﹣1， 解得：x＝﹣3， 经检验x＝﹣3是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． ►考向二 分式方程应用 1．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（　　） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 【答案】D 【分析】设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个，列出分式方程解答即可． 【解答】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个． 根据题意可得：＝﹣30， 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键． 2．（2021•浙江）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　） A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝20 D．﹣＝20 【答案】B 【分析】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程即可． 【解答】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元， 根据题意可得：﹣＝20． 故选：B． 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 3．（2012•台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公共汽车的平均速度为x千米/时，得出出租车的平均速度为（x+20）千米/时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了，得出分式方程即可． 【解答】解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时， 根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：×， 根据题意得出： ＝×， 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用回来时路上所花时间比去时节省了，得出方程是解题关键． 4．（2004•杭州）甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时后甲追上乙．那么甲的速度是乙的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设甲的速度是乙的速度的x倍，由于甲乙两人的速度都是未知的，所以可设较小的量的乙的速度为1，则甲的速度是x．相向而行时，甲a小时路程+乙a小时路程＝甲乙距离，同向而行时，甲b小时路程﹣乙b小时路程＝甲乙距离．∴ax+a×1＝bx﹣b×1，求解即可． 【解答】解：设乙的速度为1，则甲的速度是x， 根据题意得ax+a×1＝bx﹣b×1 ax﹣bx＝﹣b﹣a （a﹣b）x＝﹣b﹣a x＝ x＝． 故选：C． 【点评】当题中有两个未知量，可设较小的为1．本题还考查了相向和同向时的路程之间的关系． 5．（2020•浙江）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 　＝　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论． 【解答】解：根据题意得，＝， 故答案为：＝． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键． 6．（2020•湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件． （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 【答案】（1）甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产．（2）①乙车间需临时招聘5名工人．②选择方案一能更节省开支 【分析】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意得关于x和y的方程组，求解即可． （2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意，以企业完成生产任务的时间为等量关系，列出关于m的分式方程，求解并检验即可；②用生产任务数量27000除以方案一中甲和乙完成的生产任务之和可得企业完成生产任务的时间，然后分别按方案一和方案二计算费用并比较大小即可． 【解答】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意得： ， 解得． ∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产． （2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得： ＝， 解得m＝5． 经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意． ∴乙车间需临时招聘5名工人． ②企业完成生产任务所需的时间为： ＝18（天）． ∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）． 选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）． ∵17700＜18000， ∴选择方案一能更节省开支． 【点评】本题考查了二元一次方程组和分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 1．（2024•杭州一模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 【答案】C 【分析】绫布有x尺，则罗布有（30﹣x）尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；根据方程得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可． 【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺， 设绫布有x尺，则可得方程为， ∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 故选：C． 【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 2．（2024•金华三模）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳240下，小范比小季多跳30下．已知小范每分钟比小季多跳20下，设小季每分钟跳x下，可列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由小范每分钟比小季多跳20下及小季每分钟跳x下，可得出小范每分钟跳（x+20）下，根据“相同时间内小季跳240下，小范比小季多跳30下”，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵小范每分钟比小季多跳20下，小季每分钟跳x下， ∴小范每分钟跳（x+20）下． 根据题意得：＝． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（2024•温州模拟）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树x棵，可列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成，进而得出等式求出答案． 【解答】解：设乙组每小时植树x棵，可列出方程为＝+2， 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键． 4．（2024•拱墅区模拟）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递员更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意课列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件，根据该快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件， 依题意得：＝． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 5．（2024•浙江模拟）如图，y1，y2分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，燃油汽车花费25元和电动汽车花费10元的行车里程数相同．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的2倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设电动汽车每千米所需的费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（2x+0.1）元，根据行驶路程＝所需费用÷每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设电动汽车每千米所需的费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（2x+0.1）元， 依题意得：＝． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6．（2024•拱墅区二模）某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进 　40　本． 【答案】40． 【分析】设该书店第一次购进x本，则第二次购进（x+10）本．根据某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，且两次进价相同，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设该书店第一次购进x本，则第二次购进（x+10）本． 依题意得：＝， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， 即该书店第一次购进40本， 故答案为：40． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 7．（2024•拱墅区模拟）某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用40元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤，则该水果打折前的单价为 　5　元/斤． 【答案】5． 【分析】设该水果打折前的单价为x元/斤，则打折后的单价为0.8x元/斤，利用数量＝总价÷单价，结合“若用40元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设该水果打折前的单价为x元/斤，则打折后的单价为0.8x元/斤， 根据题意得：﹣＝2， 解得：x＝5， 经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意， ∴该水果打折前的单价为5元/斤． 故答案为：5． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8．（2023•杭州二模）若分式的值为1，则x的值为 　﹣1　． 【答案】﹣1． 【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论． 【解答】解：由题意得：＝1， 去分母得：2＝x+3， 移项，得：x＝﹣1， ∴x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1是原方程的根， ∴x＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程要验根是关键． 9．（2023•西湖区校级模拟）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 　m≥2且m≠3　，m＝4时，分式方程的解为 　x＝2　． 【答案】m≥2且m≠3；x＝2． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，根据题意列得关于m的一元一次不等式，解不等式并结合方程的增根即可求得m的取值范围；将m＝4代入整式方程中解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：m﹣3＝x﹣1， 解得：x＝m﹣2， ∵原方程的解是非负数， ∴m﹣2≥0且m﹣2≠1， 解得：m≥2且m≠3； 当m＝4时，x＝4﹣2＝2， 检验：当x＝2时，x﹣1≠0， 故此时原方程的解为x＝2， 故答案为：m≥2且m≠3；x＝2． 【点评】本题考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程及不等式的方法是解题的关键． 10．（2023•上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 　10　千克． 甲种糖果 乙种糖果 千克数 20 30 单价（元/千克） 25 15 【答案】10． 【分析】设需加入甲种糖x千克，利用单价＝总价÷数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高1元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设需加入甲种糖x千克， 根据题意得：﹣＝1， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴需加入甲种糖10千克． 故答案为：10． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 11．（2023•宁波模拟）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝．若（x﹣1）⊗（x+1）＝，则x的值为 　x＝2　． 【答案】x＝2． 【分析】根据题干的新定义，得到．再解这分式方程，进而求得x． 【解答】解：由题意得，． 去分母，得x+1+x﹣1＝3x﹣2． 移项，得x+x﹣3x＝﹣2+1﹣1． 合并同类项，得﹣x＝﹣2． x的系数化为1，得x＝2． 检验：当x＝2，（x+1）（x﹣1）≠0． ∴该分式方程的解为x＝2． 故答案为：x＝2． 【点评】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键． 12．（2024•杭州二模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可． 【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1 解得x＝0 经检验，x＝0是原分式方程的解． （2）设？为m， 方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1 由于x＝2是原分式方程的增根， 所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1 所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 13．（2024•瑞安市校级模拟）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得（x﹣1）﹣（x﹣4）＝2﹣x 去括号，得x﹣1﹣x+4＝2﹣x 合并同类项，得3＝2﹣x 解得x＝﹣1 ∴原方程的解是x＝﹣1 小迪 解：去分母，得（x﹣1）+（x﹣4）＝﹣1 去括号得x﹣1+x﹣4＝﹣1 合并同类项得2x﹣5＝﹣1 解得x＝2 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解 老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程． 【答案】小丁和小迪的解法都是第一步错误（划线略）； 正确解法见解析． 【分析】根据解分式方程的步骤进行计算并判断和解答即可． 【解答】解：小丁和小迪的解法都是第一步错误（划线略）； 正确解法如下： 去分母得：x﹣1+x﹣4＝2﹣x， 移项，合并同类项得：3x＝7， 解得x＝， 检验：将x＝代入（x﹣2）中可得：﹣2＝≠0， 故原分式方程的解是x＝． 【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 14．（2024•下城区校级模拟）已知分式方程，请在下列三个条件中任选其中一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 【答案】①m＝﹣3； ②m＝﹣3或2； ③12． 【分析】①分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x+2＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可； ②解分式方程可得3＝mx﹣3﹣2x﹣4，由于方程无解，所以﹣2＝或m﹣2＝0，求出m即可； ③将x＝1代入原方程，可求出m的值即可． 【解答】解：①去分母得：3＝mx﹣3﹣2x﹣4， 由分式方程有增根，得到x+2＝0，即x＝﹣2， 把x＝﹣2代入整式方程得：3＝﹣2m﹣3+4﹣4， 解得：m＝﹣3； ②方程两边同时乘以x+2，得3＝mx﹣3﹣2x﹣4， ∴x＝， ∵方程无解， ∴x＝﹣2或m﹣2＝0， ∴﹣2＝或m﹣2＝0， ∴m＝﹣3或2； ③将x＝1代入原方程得＝﹣2， 解得：m＝12， ∴m的值为12． 【点评】此题考查了分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键． 15．（2024•杭州三模）小汪解答“解分式方程：”的过程如下： 解：去分母得：2x+3﹣2＝﹣（x﹣1）…① 去括号得：2x+3﹣2＝﹣x+1…②， 移项得：2x+x＝1+2﹣3…③． 合并同类项得：3x＝0…④， 系数化为1得：x＝0…⑤ 经检验，x＝0是原分式方程的解． 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 【答案】不正确，从第①步开始错，正确步骤见解答过程． 【分析】根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可． 【解答】解：不正确，从第①步开始错，正确步骤如下： 原方程去分母得：2x+3﹣2（x﹣2）＝﹣（x﹣1）， 去括号得：2x+3﹣2x+4＝﹣x+1， 移项得：2x﹣2x+x＝1﹣4﹣3， 合并同类项得：x＝﹣6， 检验：当x＝﹣6时，x﹣1≠0， 故原方程的解为x＝﹣6． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 16．（2024•浙江模拟）解分式方程：． 【答案】x＝． 【分析】方程两边都乘x（x+3）得出x+3+2x2＝2x（x+3），求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边都乘x（x+3），得x+3+2x2＝2x（x+3）， x+3+2x2＝2x2+6x， x+2x2﹣2x2﹣6x＝﹣3， ﹣5x＝﹣3， x＝， 检验：当x＝时，x（x+3）≠0， 所以分式方程的解是x＝． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 17．（2024•浙江模拟）小海解方程的过程如下．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 解：方程两边同乘（x﹣1），得3﹣（1﹣2x）＝1．…① 去括号，得3﹣1﹣2x＝1．…② 移项，得﹣2x＝1+1﹣3．…③ 合并同类项，得﹣2x＝﹣1．…④ 两边同除以﹣2，得．…⑤ ∴原方程的解为．…⑥ 【答案】x＝﹣3． 【分析】根据分式方程的解法步骤逐步进行判断即可． 【解答】解：第①步中，方程的右边漏乘（x﹣1），第②步中，去括号时，由于括号前是负号，去括号未变号，第⑥步前，未进行检验就直接写出了答案； 正确的解法如下： 方程两边同乘（x﹣1），得3﹣（1﹣2x）＝x﹣1， 去括号，得3﹣1+2x＝x﹣1， 移项，得2x﹣x＝﹣1+1﹣3， 合并同类项，得x＝﹣3， 经检验x＝﹣3是原方程的解， 所以原方程的解为x＝﹣3． 【点评】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键． 18．（2023•镇海区校级一模）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解； （2）﹣． 【分析】（1）方程两边都乘x﹣2得出1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可； （2）把方程转化成＝，再方程两边都乘（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）得出（x+3）（x+4）＝（x+1）（x+2），求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：（1）， 方程两边都乘x﹣2，得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， 所以x＝2是增根， 即分式方程无解； （2）， +＝+， 1++1+＝1++1+， +＝+， ﹣＝﹣， ＝， ＝， 方程两边都乘（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），得（x+3）（x+4）＝（x+1）（x+2）， 解得：x＝﹣， 经检验x＝﹣是分式方程的解， 即分式方程的解是x＝﹣． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 19．（2023•温州一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 【答案】（1）笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元； （2）可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本． （3）文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一） 【分析】任务1：设笔记本的单价为x元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可； 任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据总的花费为400元，列出方程，根据a≥20，b≥20，且b是10的倍数，求出a、b的值即可； 任务3：可以就钢笔和笔记本数量的一种情况进行解答，答案合理即可． 【解答】解：任务1：设笔记本的单价为x元，根据题意，得， 解得x＝5， 经检验，x＝5是原方程的根， 这时2x＝10． ∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元； 任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得10a+5b＝400，化简得， 由题意，a≥20，b≥20，且b是10的倍数， ∴或或， ∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本． 任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得30+10y＝20+20（m﹣y），整理得， ∵1＜m＜10，且m，y均为正整数， ∴经尝试检验得， ∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一） 【点评】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程． 20．（2023•拱墅区二模）化简：． 圆圆的解答如下： ＝﹣ ＝2x﹣x+2 ＝x+2 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【答案】见详解． 【分析】先通分再根据分式的加减运算法则运算即可． 【解答】解：圆圆的解答不正确，正确解答过程如下： 原式＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了分式的化简，通分是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$