精品解析：辽宁省七校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷

数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分（客观题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线互相垂直，则的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2. 如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，且，则线段的长为（ ） A. 9 B. C. D. 6 3. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 5. 已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成的角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 7. 已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（ ） A. 若为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或 C. 若为椭圆，则焦距为定值 D. 若为双曲线，则焦距为定值 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 11. 在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则( ) A. 当时，的最小值为 B. 当时，有且仅有一点P满足 C. 当时，有且仅有一点P满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等 D. 当时，直线AP与所成角的大小为定值 第二部分（主观题共92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为_____. 13. 点在正方形所在的平面外，平面，，则异面直线与所成的角是___________. 14. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________． 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 16. 在四棱锥中，，，平面平面，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上． 求椭圆C的方程； 若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角． 18. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求二面角的余弦值； （2）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. （1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； （2）证明：直线在曲面上； （3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分（客观题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线互相垂直，则的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线垂直在一般式满足的系数关系即可求解. 【详解】由于直线与直线互相垂直，故，解得， 故选：D 2. 如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，且，则线段的长为（ ） A. 9 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出的值，进而可得答案． 【详解】由，得到， 因为底面是矩形，，， 所以，， 因为， 所以， 所以， ，故． 故选：C． 3. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【详解】化简圆到直线的距离 ， 又 两圆相交. 选B 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解A，根据向量垂直可判断B，根据线面角的定义，结合向量夹角即可求解C，根据共面的推论即可求解D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误， 对于B，由于，故，则或，故B错误， 对于C，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，C正确， 对于D，由于，，，四点共面，故，故，D错误， 故选：C 5. 已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义及圆切线性质，结合直角三角形求内切圆半径. 【详解】 由椭圆定义及圆切线性质知：. 故选：B 6. 如图所示，在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成的角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A在下底面的投影，进一步求出在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果. 【详解】在正四面体中，设棱长为，为棱的中点， 如下图所示过做平面， 则为平面的中心，延长交于，过做， 连接，所以就是所求的与平面的夹角． 所以，求得， 所以，利用，解得， 所以，， 在中，，故选B. 【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题． 7. 已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得，，，利用余弦定理即可求得，，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案． 【详解】设椭圆的方程：，双曲线的方程：，， 焦点，， 由，，由，则，则， 由题意的定义：，， 则，， 由余弦定理可知：， 则， ，，则， 双曲线的渐近线方程，即， 故选：C． 8. 已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的性质结合已知条件得动点的轨迹为一条直线，进而求出圆的圆心到直线距离即可求解所求距离的最小值. 【详解】由题，， 因为，则，即， 化简得，即动点在直线上， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以到圆距离的最小值是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（ ） A. 若为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或 C. 若为椭圆，则焦距为定值 D. 若为双曲线，则焦距为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆以及双曲线的标准方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】方程，由，解得,,，此时曲线是椭圆，所以A不正确． 由得或，此时表示的曲线是双曲线，所以B正确， 当，解得，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆， 故焦距为，不为定值，故C错误， 当，解得时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则焦距为，不为定值，故D错误， 故选：ACD． 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 11. 在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则( ) A. 当时，的最小值为 B. 当时，有且仅有一点P满足 C. 当时，有且仅有一点P满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等 D. 当时，直线AP与所成角的大小为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，先判断P点的轨迹，再将问题平面化即可求解；对于选项BCD，建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求解． 【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则，，， 则，∴． 选项A：当时，为线段上的点， 将平面和平面沿展开为同一个平面如图， 连接，则的最小值即为，故A正确； 选项B：当时，，，， 则，即，即满足条件的P点有无数个，故B错误； 选项C：当时，， 则，，，， 则在上的投影为， 则点P到直线的距离； 平面ABCD的一个法向量为，， 则点P到平面ABCD的距离为； 当点P到直线的距离与到平面ABCD的距离相等时， ，∵，∴方程有一个解， 则，即仅存在一个点P满足条件，故C正确； D选项：当时，，， ∵，故直线AP与所成角的大小为，为定值，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】本题利用空间向量解决空间里面距离和夹角的计算，关键是熟练掌握点到直线距离、点到平面距离、直线夹角的向量求法． 第二部分（主观题共92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为_____. 【答案】2##22 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】已知双曲线，则， 设点P到右焦点的距离为， 根据双曲线上一点到两焦点距离差的绝对值等于可得，， 解得或，经验证均符合题意， 故答案为：2或22. 13. 点在正方形所在的平面外，平面，，则异面直线与所成的角是___________. 【答案】 【解析】 【分析】补全得到正方体中，连接，可确定（或其补角）是与所成的角. 【详解】因为为正方形，⊥平面，，可还原到正方体 中，连接，则平行于，如图所示. 所以（或其补角）是与所成的角， 因为为正三角形， 所以，所以与所成角为. 故答案为： 14. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解． 【详解】由题意可知，， 设，可得直线的斜率分别为，， 因为点在双曲线上，则，整理得，所以， 设点，可得直线，的斜率，， 因为点在椭圆上，则，整理得， 所以，即， 则，所以直线与关于轴对称， 又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴， 又，则， 所以， 整理得，即，解得，或（舍去）， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】（1） 由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2） 【解析】 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解； （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 16. 在四棱锥中，，，平面平面，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 过作于， 因为，所以与相交， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ， ，与相交，，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直及线线垂直，再根据线线垂直可证线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标法分别求得平面与的法向量，进而可求二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，， ，， ， ， 为等边三角形，，， ， ， ， 平面，平面， ， 即，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 因为， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上． 求椭圆C的方程； 若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】(1)先由题意得出 ,可得出与的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程，可求出与的值，从而得出椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，可求出，然后进行检验；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为,设点，先由直线与圆相切得出与之间的关系，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件得出的值，从而求出直线的倾斜角. 【详解】（1）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得， 又点在椭圆上，所以，解得， 即椭圆的方程为. （2）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意； 当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即. 将直线与椭圆的方程联立，得： ， 判别式，即， 设，则， 所以， 解得， 所以直线的倾斜角为或. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 18. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求二面角的余弦值； （2）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解； （2）设，表示出，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解. 【小问1详解】 因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，， 所以是正三角形，四边形为菱形， 可得，， 而平面平面，平面平面， 平面，， 平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， ， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， ， 所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 设，因为，，所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 19. 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. （1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； （2）证明：直线在曲面上； （3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）平面上，以原点为圆心，1为半径的圆；理由如下： 根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为， 已知曲面的方程为， 当时，平面截曲面所得交线上的点满足， 即， 也即在平面上到原点距离为定值1， 从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆. （2）证明如下： 设是直线上任意一点， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， 于是， 因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上. （3） 【解析】 【分析】（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，可得坐标平面的方程；当时，可得平面截曲面所得交线的方程，进而可得曲线类型； （2）设是直线上任意一点，由题意有，从而得点的坐标，代入曲面的方程验证即可. （3）设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由题意有，可得点的坐标，代入曲面的方程，进而可求得的关系，可得，利用向量夹角公式求解即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 直线在曲面上，且过点， 设是直线上任意一点，直线的方向向量为， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， ∵在曲面上，∴， 整理得， 由题意，对任意的，有恒成立， ∴，且， ∴，或， 不妨取，则，或， ∴，或， 又直线的方向向量为， 则异面直线与所成角的余弦值均为 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $