第14课 直角三角形全等的判定-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第14课 直角三角形全等的判定 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握两个直角三角形全等的判定定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 3.探索并证明定理:角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. ( 知识精讲 ) 知识点01 直角三角形全等的判定 1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”） 2.直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 知识点02 角平分线性质定理的逆定理 角平分线的性质定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ( 能力拓展 )考点01 直角三角形全等的判定 【典例1】如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【思路点拨】本题是开放题，应先根据三角形的判定确定图中全等三角形：△BCF≌△CBE，△ABE≌△ACF，△BOF≌△COE．再分别进行证明． 【解析】解：①△BCF≌△CBE ∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠CFB＝∠BEC＝90° ∵BE＝CF，BC＝BC ∴△BCF≌△CBE（HL）； ②△ABE≌△ACF ∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠AFC＝∠AEB＝90° ∵BE＝CF，∠A＝∠A， ∴△ABE≌△ACF（AAS）； ③△BOF≌△COE 设BE与CF相交于点O， ∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠OFB＝∠OEC， ∵由①知：△BCF≌△CBE， ∴BF＝CE， ∠BOF＝∠COE ∴△BOF≌△COE（AAS）． 故选：C． 【点睛】本题重点考查直角三角形全等判定HL定理，是一道较为简单的题目．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 【即学即练1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于D，EC⊥BC于C，且AB＝BE，CD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：Rt△ABD≌Rt△BEC． 【思路点拨】（1）通过证明△ADB≌△ADC得到AB＝AC； （2）利用“HL”证明Rt△ABD≌Rt△BEC． 【解析】证明：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（ASA）， ∴AB＝AC； （2）∵△ADB≌△ADC， ∴BD＝CD， ∵CD＝CE， ∴BD＝CE， ∵EC⊥BC， ∴∠BCE＝90°， 在Rt△ABD和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BEC（HL）． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．也考查了等腰三角形的判定与性质． 考点02 角平分线性质定理的逆定理 【典例2】如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，根据角平分线性质得出PQ＝PR，即可得出答案． 【解析】解： 过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R， ∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P， ∴PQ＝PW，PW＝PR， ∴PR＝PQ， ∵点P到AC的距离为3， ∴PQ＝PR＝3， 则点P到AB的距离为3， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【即学即练2】如图所示，∠A＝∠B＝90°，P是AB的中点，且DP平分∠ADC，连接PC．求证：CP平分∠BCD． 【思路点拨】过P作PQ⊥CD于Q，由中点得PA＝PB，结合角平分线的性质得PA＝PQ，则PA＝PQ＝PB，即可判定CP平分∠BCD． 【解析】证明：如图，作PQ⊥CD交CD于点Q， ∵P是AB的中点，则PA＝PB， ∵DP平分∠ADC，∠A＝90°，PQ⊥CD，则∠PQD＝90°， 则PA＝PQ＝PB， ∵∠B＝90°，则PB⊥BC， ∴PQ⊥CD， ∴CP平分∠BCD． 【点睛】本题本题主要考查角平分线的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB 【思路点拨】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【解析】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，需要添加的条件是AD＝CB． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL． 2．下列可使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．一条边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等 【思路点拨】判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答． 【解析】解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C； 而D构成了AAA，不能判定全等； B构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等． 故选：B． 【点睛】此题主要考查两个直角三角形全等的判定，除了一般三角形全等的4种外，还有特殊的判定：HL． 3．如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（　　） A．∠C＝∠D B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC 【思路点拨】由于斜边AB为公共边，则添加一组直角边对应相等即可． 【解析】解：∵AB＝AB， ∴当添加AC＝AD或BC＝BD时，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 4．在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，下列条件中能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的个数为（　　） ①AC＝A'C'，∠A＝∠A'；②AC＝A'C'，AB＝A'B'；③AC＝A'C'，BC＝B'C'；④AB＝A'B'，∠A＝∠A'． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理逐个判断，即可作出选择． 【解析】解：①AC＝A'C'，∠A＝∠A'，加上∠C＝∠C'＝90°，可利用ASA证明△ABC≌△A'B'C'； ②AC＝A'C'，AB＝A'B'，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'； ③AC＝A'C'，BC＝B'C'，加上∠C＝∠C'＝90°，可利用SAS证明△ABC≌△A'B'C'； ④AB＝A'B'，∠A＝∠A'，加上∠C＝∠C'＝90°，可利用AAS证明△ABC≌△A'B'C'． 所有正确的个数是4个， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．下列说法错误的是（　　） A．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．等腰三角形的中线、高、角平分线三线合一 【思路点拨】根据直角三角形全等的判定可对选项A进行判断；根据线段的垂直平分线性质可对选项B进行判断；根据角平分线性质可对选项C进行判断；根据等腰三角形性质可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解析】解：对于选项A， ∵一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，符合全等三角形的判定理“HL”， 故该选项正确，不符合题意； 对于选项B， ∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 故该选项正确，不符合题意； 对于选项C， ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， 故该选项正确，不符合题意； 对于选项D， ∵等腰三角形底边上的中线、高、顶角角平分线三线合一， 故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，熟练掌握直角三角形全等的判定，理解线段垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质是解决问题的关键． 6．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【解析】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为（　　） A．15 B．13 C．12 D．10 【思路点拨】由角平分线的性质推出DE＝CD＝3，由三角形的面积公式得到△ABD的面积＝AB•DE＝15． 【解析】解：∵∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积＝AB•DE＝×10×3＝15． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出DE＝CD． 8．如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是 　AB＝DC　． 【思路点拨】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【解析】证明：∵AC⊥BC，BD⊥BC， ∴∠ACB＝∠CBD＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴应添加的条件是AB＝DC． 故答案为：AB＝DC． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL． 9．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 【思路点拨】由∠1＝∠2得DE＝EC，进而可依据“HL”判定Rt△ADE和Rt△BEC全等． 【解析】证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△BEC均为直角三角形， ∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定，准确识图，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 10．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AD上，连接BE，CE，BE＝CE． （1）如图1，求证：AD平分∠BAC； （2）如图2，过点E作EF⊥AB，EG⊥AC，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形． 【思路点拨】（1）利用SSS证明△ABE≌△ACE得出∠BAD＝∠CAD，即可得证； （2）由角平分线的性质定理得出EF＝EG，即可证明Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），Rt△BEF≌Rt△CEG（HL），由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，即可证明Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），Rt△EBD≌Rt△ECD（HL）． 【解析】（1）证明：在△ABE和△ACE中， ， ∴△ABE≌△ACE（SSS）， ∴∠BAE＝∠CAE，即∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC； （2）解：由（1）可得：AD平分∠BAC， ∵EF⊥AB，EG⊥AC， ∴EF＝EG， 在Rt△AEF和Rt△AEG中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL）， 在Rt△BEF和Rt△CEG中， ， ∴Rt△BEF≌Rt△CEG（HL）； ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）； 在Rt△EBD和Rt△ECD中， ， ∴Rt△EBD≌Rt△ECD（HL）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 【思路点拨】求出∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，根据全等三角形的判定得出△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质得出DE＝DF，再推出答案即可． 【解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴点D在∠BAC的角平分线上， ∴AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能求出DE＝DF是解此题的关键． 12．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若AE＝2，求AB+AD的值． 【思路点拨】（1）由角平分线的性质得CE＝CF，再由HL证明Rt△BCE≌Rt△DCF即可； （2）证明Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），得AE＝AF，再由（1）知，Rt△BCE≌Rt△DCF，得BE＝DF，即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF，∠CEB＝∠CFD＝90°， ∴△BCE和△DCF，△ACE和△ACF都是直角三角形， 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）； （2）解：在Rt△AEC和Rt△AFC中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∴AE＝AF， 由（1）知，Rt△BCE≌Rt△DCF， ∴BE＝DF， ∴AB+AD＝AE+BE+AD＝AE+DF+AD＝AE+AE＝2AE＝2×2＝4， 即AB+AD的值为4． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题组B 能力提升练 13．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】全等的直角三角形共有3对，分别为△ADC≌△AEB、△BOD≌△COE、Rt△ADO≌Rt△AEO；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可． 【解析】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， 在△ADC和△AEB中， ， ∴△ADC≌△AEB（AAS）； ∴AD＝AE，∠C＝∠B， ∵AB＝AC， ∴BD＝CE， 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）； ∴OB＝OC，OD＝OE， 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）； ∴共有3对全等直角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 14．数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AD＝BC．求证：BD＝AC． 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS'证明两个三角形全等，从而得到BD＝AC．” 小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL'证明两个三角形全等，从而得到BD＝AC．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD＝AC．” 你认为他们的办法可行吗？并试着证明． 【思路点拨】对于小丽的方法，根据垂线的知识可得∠D＝∠C＝90°，再结合AAS证明△AOD≌△BOC，最后根据全等三角形的性质可得BD＝AC； 对于小贾的方法，连接AB，根据HL证明Rt△ABD≌Rt△BAC即可； 对于小雨的方法，连接AB，根据△AOD≌△BOC，可得S△AOD＝S△BOC，再结合三角形面积计算方法证明即可． 【解析】解：都可行． 证明1：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠D＝∠C＝90°． 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（AAS）， ∴AO＝BO，DO＝CO， ∴AO+CO＝BO+DO，即BD＝AC． 证明2：连接AB． ∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠D＝∠C＝90°． 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴BD＝AC． 证明3：连接AB，由证明1得知△AOD≌△BOC， ∴S△AOD＝S△BOC， ∴S△AOD+S△AOB＝S△BOC+S△AOB，即S△ABD＝S△ABC， 又∵S△ABD＝AD•BD，S△ABC＝BC•AC， ∴AD•BD＝BC•AC． ∵AD＝BC， ∴BD＝AC． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解题的关键． 15．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝5，AD＝3，CD＝6；且S△ACD＝12，求△ABE的面积． 【思路点拨】（1）由直角三角形的性质求出∠EAF＝90°﹣50°＝40°，由平角定义得到∠CAD＝40°． （2）证明：过E作EM⊥BC于M，EN⊥AD于N，由角平分线的性质推出EF＝EN，EM＝FE，得到EN＝EM，即可证明DE平分∠ADC． （3）由三角形面积公式得到（AD+CD）×EM＝12，即可求出EM的出，即可求出△ABE的面积． 【解析】（1）解∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠EAF＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°； （2）证明：过E作EM⊥BC于M，EN⊥AD于N， ∵∠EAF＝∠CAD＝40°， ∴AC平分∠DAF， ∵EN⊥AD，EF⊥AF， ∴EF＝EN， 同理：EM＝FE， ∴EN＝EM， ∵EM⊥BC，EN⊥AD， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵△ADE的面积+△CDE的面积＝△ACD的面积， ∴AD•EN+CD•EM＝12， ∴（AD+CD）×EM＝12， ∵AD＝3，CD＝6， ∴EM＝， ∴EF＝， ∴△ABE的面积＝AB•EF＝×5×＝． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质的性质推出EN＝EM；由三角形面积公式得到（AD+CD）×EM＝12． 16．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 【思路点拨】（1）过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得PC＝PD＝PE，再利用角平分线性质定理的逆定理，即可解答； （2）根据△PMN的面积是16，可求出PD＝4，从而可得PD＝PC＝PE＝4，然后再利用四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝△POM的面积+△PON的面积，进行计算即可解答． 【解析】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN， ∴PC＝PD， ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB， ∴PD＝PE， ∴PC＝PE， ∴OP平分∠AOB； （2）∵△PMN的面积是16，MN＝8， ∴MN•PD＝16， ∴×8•PD＝16， ∴PD＝4， ∴PD＝PC＝PE＝4， ∵△OMN的面积是24， ∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40， ∴△POM的面积+△PON的面积＝40， ∴OM•PC+ON•PE＝40， ∴OM•4+ON•4＝40， ∴OM+ON＝20， ∴线段OM与ON的长度之和为20． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC＝3，连接AC，AC⊥CD，垂足为C，并且∠ACB＝∠D，点E是AD边上一动点，则CE的最小值是（　　） A．1.5 B．3 C．3.5 D．4 【思路点拨】由三角形的内角和定理和角的和差求出∠BAC＝∠DAC，角平分线的性质定理得BC＝CH，垂线段定义证明CH最短，求出CE长的最小值为3． 【解析】解：过点C作CH⊥AD交AD于点H，如图所示： ∵AC⊥DC， ∴∠ACD＝90°， 又∵∠D+∠ACD+∠CAD＝180°，∠ACB+∠B+∠BAC＝180°， ∠ACB＝∠D，∠ACD＝∠B＝90°， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AC是∠BAD的角平分线， 又∵BC⊥BA，CH⊥AD， ∴BC＝CH， 又∵BC＝3， ∴CH＝3， 又∴点C是直线AD外一点， ∴当点E在AD上运动时，点E运动到与点H重合时CE最短，其长度为CH长等于3， 即CE长的最小值为3． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值． 18．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【解析】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PN＝PD， ∴PM＝PD， ∵PM⊥BE，PD⊥AC， ∴AP平分∠EAC，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵BP平分∠ABC，CP平分∠FCA， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCF，∠PCF＝∠ABC+∠BPC， ∴∠BAC＝2∠BPC，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴S△APD＝S△MAP，S△CPD＝S△NCP， ∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 21．（1）性质证明：已知：如图1，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，求证：AP平分∠BAC； 根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点P就是△ABC的一个旁心． （2）性质应用： ①如图2，已知点O是△ABC的一个旁心，求证：； ②已知点O1、O2、O3是△ABC的三个旁心，AB＝2，在△O1O2O3中，∠O1＝30°，O1O2＝O1O3，且O2O3经过点B，求△O1O2O3的面积． 【思路点拨】（1）如图1，过P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PD⊥AC于D，先根据角平分线的性质得：PE＝PF，PF＝PD，则PE＝PD，再根据角平分线的逆定理可得结论； （2）①如图2，延长BA至E，延长BC至F，根据旁心的定义可知：∠CAO＝∠CAE，∠ACO＝∠ACF，再由三角形的内角和定理和三角形外角的性质可得结论； ②先根据①的结论计算△ABC各角的度数，作三角形的高线，根据直角三角形30度角的性质和三角形的面积公式可解答． 【解析】（1）证明：如图1，过P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PD⊥AC于D． ∵BP平分∠CBE（已知），PE⊥AB，PF⊥BC（已作）， ∴PE＝PF（角平分线的性质）． 同理得：PF＝PD（角平分线的性质）． ∴PE＝PD（等量代换）． 又∵PE⊥AB，PD⊥AC（已知）， ∴AP平分∠BAC（角平分线性质的逆定理）； （2）①证明：如图2，延长BA至E，延长BC至F， ∵点O是△ABC的一个旁心， ∴AO，CO分别平分∠EAC，∠FCA． ∴∠CAO＝∠CAE，∠ACO＝∠ACF（角平分线的定义）． 在△ACO中，∵∠O＝180°﹣∠CAO﹣∠ACO， ∴∠O＝180°﹣∠CAE﹣∠ACF＝180°﹣（∠CAE+∠ACF）． 又∵∠CAE＝∠B+∠BCA，∠ACF＝∠B+∠BAC， ∴∠CAE+∠ACF＝∠B+∠BCA+∠B+∠BAC＝∠B+180°． ∴∠O＝180°﹣（∠ABC+180°）＝90°﹣∠ABC； ②解：如图3，过点C作CD⊥O1O2于D，过点O2作O2E⊥AB于E，过点B作BF⊥AC于F， ∵∠O1＝30°，O1O2＝O1O3， ∴∠AO2B＝∠O3＝75°， ∵点O1、O2、O3是△ABC的三个旁心， ∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠ACB＝30°（由①的结论得出）， ∴AB＝BC＝2，∠ABO2＝30°， ∴∠BAO2＝75°＝∠BO2A， ∴O2B＝AB＝2， ∵BF⊥AC， ∴∠AFB＝∠BFC＝90°， ∴BF＝1，AF＝CF＝， ∴AC＝2， Rt△BEO2中，O2E＝O2B＝1， ∴△ABO2的面积＝×2×1＝1， 同理可得：△BCO3的面积＝×2×1＝1， 设CD＝a，则CO1＝2CD＝2a，O1D＝a， ∴AD＝2a﹣a， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2， ∴（2）2＝（2a﹣a）2+a2， ∴a2＝6+3， ∵△O1O2O3的面积＝△ABC的面积+△ACO1的面积+2△ABO2的面积， ∴△O1O2O3的面积＝×2×1+•2a•a+2＝+6+3+2＝8+4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质和判定，直角三角形30度的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，最后一问有难度，根据①中的结论计算△ABC的各角的度数是关键． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14课 直角三角形全等的判定 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握两个直角三角形全等的判定定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 3.探索并证明定理:角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. ( 知识精讲 ) 知识点01 直角三角形全等的判定 1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”） 2.直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 知识点02 角平分线性质定理的逆定理 角平分线的性质定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ( 能力拓展 )考点01 直角三角形全等的判定 【典例1】如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【即学即练1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于D，EC⊥BC于C，且AB＝BE，CD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：Rt△ABD≌Rt△BEC． 考点02 角平分线性质定理的逆定理 【典例2】如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练2】如图所示，∠A＝∠B＝90°，P是AB的中点，且DP平分∠ADC，连接PC．求证：CP平分∠BCD． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB 2．下列可使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．一条边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等 3．如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（　　） A．∠C＝∠D B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC 4．在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，下列条件中能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的个数为（　　） ①AC＝A'C'，∠A＝∠A'；②AC＝A'C'，AB＝A'B'；③AC＝A'C'，BC＝B'C'；④AB＝A'B'，∠A＝∠A'． A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法错误的是（　　） A．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．等腰三角形的中线、高、角平分线三线合一 6．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为（　　） A．15 B．13 C．12 D．10 8．如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是 　 　． 9．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 10．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AD上，连接BE，CE，BE＝CE． （1）如图1，求证：AD平分∠BAC； （2）如图2，过点E作EF⊥AB，EG⊥AC，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形． 11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 12．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若AE＝2，求AB+AD的值． 题组B 能力提升练 13．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AD＝BC．求证：BD＝AC． 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS'证明两个三角形全等，从而得到BD＝AC．” 小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL'证明两个三角形全等，从而得到BD＝AC．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD＝AC．” 你认为他们的办法可行吗？并试着证明． 15．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝5，AD＝3，CD＝6；且S△ACD＝12，求△ABE的面积． 16．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 题组C 培优拔尖练 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC＝3，连接AC，AC⊥CD，垂足为C，并且∠ACB＝∠D，点E是AD边上一动点，则CE的最小值是（　　） A．1.5 B．3 C．3.5 D．4 18．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（1）性质证明：已知：如图1，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，求证：AP平分∠BAC； 根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点P就是△ABC的一个旁心． （2）性质应用： ①如图2，已知点O是△ABC的一个旁心，求证：； ②已知点O1、O2、O3是△ABC的三个旁心，AB＝2，在△O1O2O3中，∠O1＝30°，O1O2＝O1O3，且O2O3经过点B，求△O1O2O3的面积． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$