八年级数学期末模拟试卷（4）-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

八年级数学上册期末模拟试卷（4） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．教室里，“第5列第2行”记作（5，2），则“第1列第7行”记作（　　） A．（1，7） B．（7，1） C．（2，6） D．（6，2） 2．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．若点P（x，y）是第四象限内的点，且点P到x轴的距离2，到y轴的距离3，则P点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 4．若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 5．已知点A（﹣1，m），B（3，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定 6．下列命题中，真命题的是（　　） A．带根号的数都是无理数 B．一个角的补角大于这个角 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形的一个外角大于它的任何一个内角 7．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD 8．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是（　　） A．9 B．18 C．24 D．30 9．若实数m，n满足等式|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．18 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AE＝BG；③AD+CF＝BD；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠B的度数是 　 　． 12．正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），那么y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）． 13．已知点P的坐标为（﹣2，3）．则它关于y轴对称的点P'的坐标是　 　． 14．学校准备用2000元购买名著和辞典作为文艺节奖品，其中名著每套65元，辞典每本40元，现已购买名著20套，最多还能买 　 　本辞典． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，过点B作BD⊥AC于点D，则点D的坐标是 　 　． 16．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．解不等式组，并写出满足条件的正整数解． 18．如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝54°，∠C＝76°． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数． 19．三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图，将图中三角形ABC向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到三角形A′B′C′． （1）请在图中画出三角形A′B′C′； （2）分别写出下列各点的坐标：A′　 　；B′　 　；C′　 　； （3）请直接写出三角形ABC的面积 　 　． 20．已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝9；当x＝6时y＝﹣1．求： （1）这个一次函数的表达式和自变量x的取值范围； （2）当x＝﹣1时，函数y的值； （3）当y＜3时，自变量x的取值范围． 21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E是BC边上的一点，连接AE，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D． （1）求证：△ACE≌△CBD； （2）若BE＝3，AB＝6，求点E到AB的距离． 22．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 23． 综合与实践：购买“文房四宝” 素材1 问题情境：“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买A、B两种型号“文房四宝”共40套. 素材2 已知某文化用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比B型号的“文房四宝”的标价高30%，若按标价购买需花费4300元，其中购买B型号“文房四宝”花费3000元． 问题解决 任务1 （1）求每套B型号的“文房四宝”的标价． 任务2 （2）若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”九折，B型号“文房四宝”八折的优惠价购入，则购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费多少元？ 任务3 （3）一段时间后，由于传统文化广受关注，另一所学校想要购入A，B两种型号“文房四宝”共100套，店主继续以（2）中的折扣价进行销售，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为67元和50元，若通过此单生意，该店获利不低于3800元，则该校至少买了多少套A型“文房四宝”？ 24．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点C（3，m）． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上册期末模拟试卷（4） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．教室里，“第5列第2行”记作（5，2），则“第1列第7行”记作（　　） A．（1，7） B．（7，1） C．（2，6） D．（6，2） 【思路点拨】依据题意，根据（5，2）的意义，可以判断得解． 【解析】解：教室里，“第5列第2行”记作（5，2）， ∴“第1列第7行”记作记作（1，7）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置：直角坐标系中，坐标平面内的点与有序实数对一一对应；记住各象限内点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征． 2．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【解析】解：A．不是轴对称图形，故此选项符合题意； B．是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 3．若点P（x，y）是第四象限内的点，且点P到x轴的距离2，到y轴的距离3，则P点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 【思路点拨】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可． 【解析】解：∵点P在第四象限，且点P到x轴的距离是2， ∴点P的纵坐标为﹣2， ∵点P到y轴的距离是3， ∴点P的横坐标为3， ∴点P的坐标为（3，﹣2）． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 4．若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 【思路点拨】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解析】解：A．∵a＞b， ∴a+4＞b+4，故本选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴2a＞2b，故本选项不符合题意； C．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项符合题意； D．∵a＞b，c2+1≠0， ∴＝，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5．已知点A（﹣1，m），B（3，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定 【思路点拨】根据点A（﹣1，m），B（3，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，可以求得m、n的值，然后即可比较出m、n的大小，本题得以解决． 【解析】解：∵点A（﹣1，m），B（3，n）在一次函数y＝2x+1的图象上， ∴m＝2×（﹣1）+1＝﹣1，n＝2×3+1＝7， ∵﹣1＜7， ∴m＜n， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出m、n的值． 6．下列命题中，真命题的是（　　） A．带根号的数都是无理数 B．一个角的补角大于这个角 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形的一个外角大于它的任何一个内角 【思路点拨】根据是有理数可对选项A进行判断；根据∠α＝120°，它的补角为60°可对选项B进行判断；根据平行线的性质可对选项C进行判断；根据三角形的外角定理可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解析】解：对于选项A，带根号的数都是无理数是假命题， 例如：是有理数， ∴选项A中的命题是假命题， 故选项A不符合题意； 对于选项B，一个角的补角大于这个角是假命题， 例如：∠α＝120°，它的补角为60°． ∴选项B中的命题是假命题， 故选项B不符合题意； 对于选项C，根据平行线的性质得：两直线平行，内错角相等 ∴选项C中的命题是真命题， 故选项C符合题意； 对于选项D，根据三角形的外角定理得：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角， 选项D中的命题是假命题， 故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，互为补角的定义，平行线的性质，三角形外角定义，熟练掌握无理数的定义，互为补角的定义，平行线的性质，三角形外角定义是解决问题的关键，特别需要注意的是：如果是假命题就需要举出一个反例． 7．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD 【思路点拨】由全等三角形的判定依次判断可求解． 【解析】解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意； B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意； C、添加∠1＝∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意； D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 8．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是（　　） A．9 B．18 C．24 D．30 【思路点拨】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答． 【解析】解：过O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D， ∴OE＝OD＝3， ∴△AOB的面积＝． 故选：B． 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答． 9．若实数m，n满足等式|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．18 【思路点拨】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解即可求出△ABC的周长． 【解析】解：∵|m﹣3|+（n﹣6）2＝0， ∴m﹣3＝0，n﹣6＝0， 解得m＝3，n＝6， 当m＝3作腰时，三边为3，3，6，不符合三边关系定理； 当n＝6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6＝15． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系．解题的关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解． 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AE＝BG；③AD+CF＝BD；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【思路点拨】由DH⊥BC，∠ABC＝45°可得出△BDH为等腰直角三角形，根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AE＝AC，又因为BF＝AC，所以CE＝AC＝BF． 【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC＝45°， ∴∠DCB＝45°， ∴△BDH为等腰直角三角形， ∵CD⊥AB，∠ABC＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形． ∴BD＝CD． 故①正确； 连接CG． ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD 又DH⊥BC， ∴DH垂直平分BC， ∴BG＝CG， 在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边， ∴CE＜CG， ∵CE＝AE， ∴AE＜BG．故②错误． 在Rt△DFB和Rt△DAC中， ∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DCA． 又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD， ∴△DFB≌△DAC（ASA）． ∴BF＝AC；DF＝AD． ∵CD＝CF+DF， ∴AD+CF＝BD；故③正确； 在Rt△BEA和Rt△BEC中 ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE． 又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°， ∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）． ∴CE＝AE＝AC． 又由（1）可知：BF＝AC， ∴CE＝AC＝BF；故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠B的度数是 　30°　． 【思路点拨】利用三角形内角和定理构建方程组解决问题即可． 【解析】解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°， ∵∠A﹣∠B＝30°， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握方程的思想方法． 12．正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），那么y随x的增大而　减小　（填“增大”或“减小”）． 【思路点拨】把（1，﹣3）代入函数的关系式可求出k的值，根据k的值和正比例函数的性质，可得y随x的增大而减小， 【解析】解：把点（1，﹣3）代入y＝kx（k≠0）得，k＝﹣3， ∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【点睛】考查待定系数法求一次函数的关系式，掌握正比例函数的图象和性质是正确解答的前提． 13．已知点P的坐标为（﹣2，3）．则它关于y轴对称的点P'的坐标是　（2，3）　． 【思路点拨】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．直接利用关于y轴对称点的性质得出答案． 【解析】解：∵点P的坐标为（﹣2，3）关于y轴对称的点P'的坐标是（2，3）， 故答案为：（2，3）． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 14．学校准备用2000元购买名著和辞典作为文艺节奖品，其中名著每套65元，辞典每本40元，现已购买名著20套，最多还能买 　17　本辞典． 【思路点拨】设买辞典x本，购买名著20套需要65×20元，买辞典x本需要40x元，两者之和不大于2000．再列不等式即可． 【解析】解：设买辞典x本，根据题意，得65×20+40x≤2000， 解这个不等式，得， 又因为x为整数，所以x的最大整数值为17，故最多还能买17本辞典． 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，过点B作BD⊥AC于点D，则点D的坐标是 　　． 【思路点拨】根据一次函数的解析式求得A，B的坐标，过点D作EF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥EF于点E，证明△BDE≌△DAF，根据全等三角形的性质，即可求解． 【解析】解：如图所示，过点D作EF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥EF于点E， 由条件可知BD＝AD，AC＝18，BC＝12， ∴∠EBD＝90°﹣∠BDE＝∠ADF， ∴△BDE≌△DAF（ASA）， ∴BE＝DF，ED＝AF， 直线y＝﹣2x+6分别与x轴，y轴交于A，B两点， 当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0），B（0，6）， ∴OA＝3，EF＝OB＝6， 设OF＝m，则EB＝OF＝DF＝m， ∴m+3+m＝6 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是关键． 16．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　30°或75°或120°　． 【思路点拨】本分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． 【解析】解：∵△PCD是等腰三角形，∠PCD＝150°﹣α，∠CPD＝30°， ①当PC＝PD时， ∴，即150°﹣α＝75°， ∴α＝75°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即150°﹣α＝30°， ∴α＝120°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即150°﹣α＝120°， ∴α＝30°，此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝30°或75°或120°． 故答案为：30°或75°或120°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．解不等式组，并写出满足条件的正整数解． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解析】解：解不等式1﹣x＜2（2x+3），得：x＞﹣1， 解不等式≥x+，得：x≤2， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 则不等式组的正整数解为1，2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝54°，∠C＝76°． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数． 【思路点拨】（1）先根据三角形的内角和定理求出∠BAC＝50°，再根据BE是AC边上的高得∠BAC+∠ABE＝90°，由此可得∠ABE的度数； （1）先根据∠BAC＝50°及角平分线的定义得∠DAC＝1/2∠BAC＝25°，然后根据三角形的外角定理可求出∠EFD的度数． 【解析】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝54°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠C）＝180°﹣（54°+76°）＝50°， ∵BE是AC边上的高， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAC+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°； （2）∵∠BAC＝50°，AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC＝1/2∠BAC＝25°， ∵∠EFD是△AEF的一个外角， ∴∠EFD＝∠DAC+∠AEB＝25°+90°＝115°． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理和三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角定理是解决问题的关键． 19．三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图，将图中三角形ABC向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到三角形A′B′C′． （1）请在图中画出三角形A′B′C′； （2）分别写出下列各点的坐标：A′　（﹣2，1）　；B′　（﹣1，﹣2）　；C′　（0，﹣1）　； （3）请直接写出三角形ABC的面积 　2　． 【思路点拨】（1）根据平移的性质，将三角形ABC向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到三角形A′B′C′； （2）根据坐标系写出点的坐标即可； （3）根据长方形减去三个三角形的面积即可求解． 【解析】解：（1）如图所示，三角形A′B′C′即为所求： （2）由图可知，A’（﹣2，1）B’（﹣1，﹣2）C’（0，﹣1）， 故答案为：（﹣2，1）；（﹣1，﹣2）；（0，﹣1）； （3）三角形ABC的面积为： 2×3﹣×3×1﹣×1×1﹣×2×2＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了作图﹣平移变换，三角形的面积，掌握平移的性质是解题的关键． 20．已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝9；当x＝6时y＝﹣1．求： （1）这个一次函数的表达式和自变量x的取值范围； （2）当x＝﹣1时，函数y的值； （3）当y＜3时，自变量x的取值范围． 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）将x＝﹣1代入（1）中的解析式即可解决问题． （3）根据一次函数的性质即可解决问题． 【解析】解：（1）由题知， 令一次函数的表达式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以一次函数的表达式为y＝﹣x+5，自变量x的取值范围为一切实数． （2）将x＝﹣1代入y＝﹣x+5得， y＝6， 所以当x＝﹣1时，函数y的值为6． （3）因为﹣1＜0， 所以一次函数y＝﹣x+5中y随x的增大而减小． 当y＝3时，x＝2， 所以当y＜3时，自变量x的取值范围是x＞2． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的图象与性质是解题的关键． 21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E是BC边上的一点，连接AE，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D． （1）求证：△ACE≌△CBD； （2）若BE＝3，AB＝6，求点E到AB的距离． 【思路点拨】（1）由“AAS”可证△ACE≌△CBD； （2）由面积法可求解． 【解析】证明：（1）∵DB⊥BC，CF⊥AE， ∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°． ∴∠D＝∠AEC． 在△ACE和△CBD中， ， ∴△ACE≌△CBD（AAS）； （2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6， ∴AC＝BC＝6， ∴S△ABE＝BE×AC＝AB×（点E到AB的距离）， ∴点E到AB的距离＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 22．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 【思路点拨】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）的结论联立方程组解答即可； （3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可． 【解析】解：（1）设y甲＝k1x， 根据题意得4k1＝80，解得k1＝20， ∴y甲＝20x； 设y乙＝k2x+80， 根据题意得：12k2+80＝200， 解得k2＝10， ∴y乙＝10x+80； （2）解方程组 解得：， ∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元； （3）当y＝240时，y甲＝20x＝240， ∴x＝12； 当y＝240时，y乙＝10x+80＝240， 解得x＝16； ∵12＜16， ∴选择乙种更合算． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键． 23． 综合与实践：购买“文房四宝” 素材1 问题情境：“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买A、B两种型号“文房四宝”共40套. 素材2 已知某文化用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比B型号的“文房四宝”的标价高30%，若按标价购买需花费4300元，其中购买B型号“文房四宝”花费3000元． 问题解决 任务1 （1）求每套B型号的“文房四宝”的标价． 任务2 （2）若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”九折，B型号“文房四宝”八折的优惠价购入，则购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费多少元？ 任务3 （3）一段时间后，由于传统文化广受关注，另一所学校想要购入A，B两种型号“文房四宝”共100套，店主继续以（2）中的折扣价进行销售，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为67元和50元，若通过此单生意，该店获利不低于3800元，则该校至少买了多少套A型“文房四宝”？ 【思路点拨】（1）设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为1.3x元，根据购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．列出分式方程，即可求解； （2）算出打折后A型号的“文房四宝”需花费和打折后B型号的“文房四宝”需花费，即可求出总费用； （3）该校购买了y套A型“文房四宝”，则购买了（100﹣y）套B型“文房四宝”，根据该店获利不低于3800元，列出不等式，即可求解． 【解析】解：（1）设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为1.3x元． 根据题意得：， 解得：x＝100， 经检验：x＝100是分式方程的解， 答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元． （2）由（1）得：每套A型号的“文房四宝”的标价为130元， ∴购买A型号的“文房四宝”共（套）， 购买B型号的“文房四宝”共（套）， 打折后，A型号的“文房四宝”需花费：10×130×0.9＝1170（元）， 打折后，B型号的“文房四宝”需花费：30×100×0.8＝2400（元）， ∴购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费1170+2400＝3570（元）， 答：购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费3570； （3）由（2）得：打折后每套A型号的“文房四宝”的售价为：130×0.9＝117（元）， 打折后每套B型号的“文房四宝”的售价为：100×0.8＝80（元）， 设该校购买了y套A型“文房四宝”，则购买了（100﹣y）套B型“文房四宝”， 由题意得：（117﹣67）y+（80﹣50）（100﹣y）≥3800， 解得：y≥40， 答：该校至少买了40套A型“文房四宝”． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系或者不等关系，列出方程和不等式． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点C（3，m）． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）将点C（3，m）代入直线y＝x+1解得m；将C代入直线求得b即可； （2）①根据△ACP的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况： i）当AC＝CP时，如图1，ii）当AC＝AP时，如图2，iii）当AP＝PC时，如图3，分别求t的值即可． 【解析】解：（1）在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点C（3，m）．将点C代入y＝x+1得： m＝3+1＝4， 将点C（3，4）代入直线得： ∴， 解得：b＝5； （2）在中，当y＝0时，x＝15， D（15，0）， OD＝15， A（﹣1，0）， OA＝1， AD＝1+15＝16； ①设PD＝t，则AP＝16﹣t，过C作CE⊥AP于E，如图1所示： 则CE＝4， ∵△ACP的面积为10， ∴， 解得：t＝11； ②存在t的值，使△ACP为等腰三角形；理由如下： 过C作CE⊥AP于E，如图1所示： 则CE＝4，OE＝3， ∴AE＝OA+OE＝4， ∴； a．当AC＝PC时，AP＝2AE＝8， PD＝AD﹣AP＝8， t＝8； b．当AP＝AC时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当PC＝PA时，如图3所示： 设EP＝m，则，AP＝m+4， ∴， 解得：m＝0， ∴P与E重合，AP＝4， PD＝12， t＝12； 综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为8或或或12． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$