第二十八章锐角三角函数 单元测试 2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十八章锐角三角函数 综合素质评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A的值为(　　) A. B. C. D. 2．如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(　　) A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC 3．如图，以点O为圆心、任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以点B为圆心、BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为(　　) A. B. C. D. 4．在△ABC中，若cos A＝，tan B＝，则这个三角形一定是(　　) A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，连接BD，DE.若sin A＝，则tan∠BDE的值为(　　) A. B. C. D. 6．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin α·cos α的值为(　　) A. B. C. D. 7．如图，在网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB的正切值是(　　) A. B. C. D．2 8. 如图，在△ABC中，AB＝10，cos∠ABC＝，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 9．近几届冬奥会的雪上项目有自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．某滑雪运动员在坡度为5：12的雪道上下滑65 m，则该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度为(　　) A．13 m B．25 m C. m D．156 m 10. 如图，点A到点C的距离为100 m，要测量河对岸点B处到河岸AD的距离．小明在点A处测得点B在北偏东60°的方向上，在点C处测得点B在北偏东30°的方向上，则点B处到河岸AD的距离为(　　) A．100 m B．200 m C. m D．50 m 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11．若sin θ＝，则锐角θ的度数是________． 12．如图，P(12，a)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，PH⊥x轴于点H，则cos ∠POH的值为________． 13. 在锐角三角形ABC中，sin A＝，cos B＝，若AB＝15，则AC＝________． 14．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是____________． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，点C的坐标为(x，0)，且－2＜x＜3，点B是直线x＝－2上的动点，且BC⊥AC，连接AB.设AB与y轴正半轴的夹角是α，则tan α的最大值是________． 三、解答题(本大题共5小题，共66分) 17．(10分)计算：tan 60°·sin 30°＋－2|cos 60°－1|. 18．(10分) 如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，AB＝2 ，sin C＝，求BC的长． 19．(12分) 如图，某处有一座塔AB，塔的正前方有一平台DE，平台的高DG＝5米，斜坡CD的坡度i＝5∶12，点A，C，G，F在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为54.5°，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为26.7°，求塔高AB.(精确到0.1米，参考数据：tan 54.5°≈1.40，sin 54.5°≈0.81，cos 54.5°≈0.58，tan 26.7°≈0.50，sin 26.7°≈0.45，cos 26.7°≈0.89) 20．(16分)如图，人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3 600 m. (1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位)； (2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600 m/min，请通过计算说明甲组能否在9分钟内到达B处．(参考数据：≈1.414，≈1.732) 21．(18分)【模型建立】(1)如图①，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上． ①求证：AE＝CD； ②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由． 　【模型应用】(2)如图②，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由． 　【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD＝4 ，BD＝3CD，求cos∠AFB的值． 答案 一、1.C　2.D　3.D　4.C　5.B　6.B　7.B　8.C 9．B　10.D 二、11.60°　12.　13.3 14．(4，)　15. 16.　点拨：如图，过点A作直线x＝－2的垂线，垂足为M，记直线x＝－2与x轴的交点为N，过点A作x轴的垂线，垂足为E， ∵MN∥y轴，∴∠MBA＝α. ∵点A的坐标为(3，4)，∴AM＝5，MN＝AE＝4. ∵在Rt△ABM中，tan∠MBA＝，MA为定值， ∴当MB取得最小值时，tan∠MBA取得最大值． 又∵BM＋BN＝4，∴当BN取得最大值时，BM取得最小值． ∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCN＝90°， ∵∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠BCN＝∠CAE. 又∵∠BNC＝∠CEA＝90°，∴△BCN∽△CAE， ∴＝，即＝， ∴BN＝＝－x2＋＋， ∴易得当x＝时，BN取得最大值，最大值为＝， ∴BM的最小值为4－＝， ∴tan∠MBA的最大值为＝. 三、17.解：tan 60°·sin 30°＋－2|cos 60°－1| ＝×＋－2× ＝＋1－1 ＝. 18．解：如图，过点A作BC的垂线，垂足为D. ∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°. ∵在Rt△ABD中，sin ∠ABD＝， ∴AD＝AB·sin ∠ABD＝2 ×＝2， ∴BD＝＝2. ∵在Rt△ACD中，sin C＝＝，∴AC＝＝5. 由勾股定理，得CD＝＝＝. ∴BC＝CD－BD＝－2. 19．解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H. 由题意，得DG＝AH＝5米，DH＝AG，DG⊥AF， ∵斜坡CD的坡度i＝5∶12，∴＝，∴CG＝12米． 设AC＝x米，则AG＝DH＝CG＋AC＝(x＋12)米． 在Rt△ABC中，∠BCA＝54.5°， ∴AB＝AC·tan 54.5°≈1.4x米． 在Rt△BDH中，∠BDH＝26.7°， ∴BH＝DH·tan 26.7°≈0.5(x＋12)米， ∵BH＋AH＝AB，∴0.5(x＋12)＋5＝1.4x，解得x＝， ∴AB≈17.1米． 答：塔高AB约为17.1米． 20．解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， 由题意得∠ACD＝60°，∠BCD＝45°， ∴∠A＝30°，∠B＝45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝AC＝×3 600＝1 800(m)， ∴BC＝≈2 545 m. 答：B养殖场与灯塔C的距离约为2 545 m. (2)在Rt△ACD中，AD＝AC·sin 60°＝1 800 m， ∴AB＝AD＋BD＝(1 800 ＋1 800)m， ∴甲组到达B处所需的时间为(1 800 ＋1 800)÷600＝3 ＋3≈8.196(min)<9 min， ∴甲组能在9分钟内到达B处． 21．(1)①证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°， ∴∠ABC－∠CBE＝∠EBD－∠CBE， 即∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD. ∴AE＝CD. ②解：AD＝DF＋BD.理由如下： ∵点C和点F关于AD对称，∴DF＝DC. ∵AE＝CD，∴AE＝DF. ∵△BDE是等边三角形，∴BD＝DE. ∴AD＝AE＋DE＝DF＋BD. (2)解：AD＝DF＋BD.理由如下： 如图，过点B作BE⊥AD于点E，则∠BED＝90°. ∵点C与点F关于AD对称，∴DF＝DC，∠ADF＝∠ADC. ∵CD⊥BD，∴∠BDC＝90°，∴∠ADF＝∠ADC＝45°， ∴∠EBD＝45°，∴DE＝BD. ∵△ABC是直角三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，AB＝BC， ∴∠ABC－∠CBE＝∠EBD－∠CBE， 即∠ABE＝∠CBD，∴sin∠ABE＝sin∠CBD， ∴＝，∴AE·BC＝CD·AB，∴AE＝CD. ∴AD＝AE＋DE＝CD＋BD＝DF＋BD， 即AD＝DF＋BD. (3)解：∵BD＝3CD＝3DF，∴AD＝DF＋3DF＝4DF， ∵AD＝4 ，∴DF＝DC＝2，∴BD＝6. ∴BC＝＝＝2. ∴AC＝BC＝×2＝2 . ∵点C与点F关于AD对称， ∴AF＝AC＝2 .∴AB＝AF. 如图，过点A作AH⊥BD于点H，则HF＝BF＝(BD－DF)＝2，∴cos∠AFB＝＝＝. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$