精品解析：北京市北京清华附中2024-2025学年上册九年级期中考试数学试卷

初三第一学期期中试卷 数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分），第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. -4 B. -3 C. 2 D. 3 3. 八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 4. 下表是某校乒乓球队队员的年龄分布，则这些队员年龄的众数是（ ） 年龄/岁 频数 2 6 8 3 1 A. 6 B. 8 C. D. 5. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 如图，点A，B，C，D在上，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的顶点、在线段上，、在以线段为直径的半圆上，是中点，且，若，，，下面四个结论：①，②，③，④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________． 11. 两个相似三角形面积比是，其中面积较小的三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_____． 12. 已知，，，，的平均数是，则，，，的平均数是_____． 13. 随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，若设每件成本的平均降低率是x，则可列方程为：________． 14. 如图，在矩形中，，点E在上，．若平分，则的长为 _____． 15. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则______． 16. 某电池制造商将两种型号的车用电池共打包成6个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，F，每个包裹的重量及包裹中甲乙两种型号的电池的重量如下，制造商准备用一辆载重不超过24.5吨的货车将其中的4个包裹运送到某新能源车工厂． 包裹编号 甲型电池重量/吨 乙型电池重量/吨 A 5 1 B 3 2 C 2 3 D 4 3 E 2 4 F 3 5 （1）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，写出一种满足条件的装运方案_____（写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，同时装运的乙型电池最多．写出满足条件的装运方案_____（写出要装运包裹的编号）． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算： ． 18. 如图，点的坐标为，点的坐标为，作如下操作： ①以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到； ②以点为位似中心，将放大，得到，使相似比为，且点在第三象限． （1）在图中画出和； （2）请直接写出点的坐标_______． 19. 下面是小亮设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及圆外一点． 求作：过点作的一条切线． 作法：①连接； ②作的垂直平分线，交于点A； ③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点； ④作直线． 即直线为所求作的一条切线． 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）该作图过程中，可以得到_____°，所作直线为圆的切线的依据为_____． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 21. 如图，水平放置的一条油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，于点C，求截面上有油部分油面的高． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23. 为了加强学校体育工作，促使学生积极参加体育锻炼，促进学生身心健康发展，教育部和国家体育总局颁发了《学生体质健康标准》，某校体育老师为准确掌握初中学生体质健康变化情况，对同一届学生在初一学年和初二学年的体质健康测试成绩进行了统计，并从中随机抽取了20名学生，对他们的两次测试成绩（百分时制）进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息： .这20名学生初一测试、初二测试成绩得分统计如图： .这20名学生初一测试成绩、初二测试成绩的平均数、中位数、方差如下表： 平均数 中位数 方差 初一测试 72.0 71.5 99.7 初二测试 86.8 88.4 .按照初二测试成绩把学生成绩分为三个等级，若初二测试的成绩为，被抽取的20名学生中有8人是等级，有7人是等级，有5人是等级，其中等级所有学生的成绩是：80，82，83，85，87，88，88． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小涵同学初一测试的成绩为80分，初二测试的成绩为95分，请在图中用“○”圈出小涵对应的点； （2）写出表中的值，_____； （3）全年级学生共760人，估计能获得“等级”的学生有_____人； （4）若“体质健康增长率”，请在图中用“△”标记出8名获得等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点． 24. 如图，是的直径，、是上的两点，且，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 25. 某商场同时在销售、两种商品，通过对于销售记录的分析，可以发现两种商品的售价变化会影响消费者的购买欲望，当两类商品的售价相比原价都减少时，商品的销售量会上升，商品的销售量会上升，以下是、两种商品的销售量随着售价的变化而变化的部分数据： （1）通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，已经画出了函数的图象，请画出函数的图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①、两种商品中，一种是生活必需品，另一种是非生活必需品，据统计，当商品售价上涨时，生活必需品的销售量变化不大，而非生活必需品的销售量会有较大的变化，推测、两件商品中，生活必需品是_____；（填或） ②商场在国庆假期对商品打八折促销，若要使商品的销售量增加百分数与商品接近相同，商品的售价应为原价的_____（结果保留整数）． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． （1）已知点在抛物线上，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 27. 在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形，求的大小（用含的式子表示）； （2）作，交射线于点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知点A和点，对于直线外一点，给出如下定义：若，将点A绕点顺时针旋转得到点，再将点绕点逆时针旋转得到点，则称点为点关于A、的“关联点”． （1）如图，点，，，． ①在点，，，中，点关于A、的“关联点”是_____，点_____关于A、的“关联点”是点； ②已知点在射线上，若点关于A、的“关联点”在以点为圆心，为半径的圆内，直接写出点的横坐标的取值范围_______； （2）已知，将点A绕点逆时针旋转得到点，若点为点关于A、的“关联点”，记的长为，直接写出的取值范围_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第一学期期中试卷 数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分），第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. -4 B. -3 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据ax2＋bx＋c＝0中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项解答即可． 【详解】一元二次方程的一次项系数是3 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3. 八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和为，即可得出答案 【详解】解：八边形的外角和为， 故选：B 4. 下表是某校乒乓球队队员的年龄分布，则这些队员年龄的众数是（ ） 年龄/岁 频数 2 6 8 3 1 A. 6 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数．熟练掌握众数的定义是解题的关键． 根据众数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，岁的频数为8，最大， ∴众数为， 故选：D． 5. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，点A，B，C，D在上，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上两个定理． 利用直径定理得出，利用直角三角形的性质求出，最后利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴, 故选：B． 7. 已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴； 故选：D． 8. 如图，矩形的顶点、在线段上，、在以线段为直径的半圆上，是中点，且，若，，，下面四个结论：①，②，③，④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①过O作于M，的延长线交半圆于点N，连接，，，根据垂径定理及矩形性质得，，则，进而得，，在中，由勾股定理得，则，据此可对结论①进行判断； ②证明和相似得，由此可对结论②进行判断； ③根据，即可对结论③进行判断； ④根据，可得出，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过O作于M，的延长线交半圆于点N，连接，，，如图所示： ∵四边形是矩形，是半圆的直径， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故结论①正确； ②四边形是矩形， ， ， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 即， 故结论②正确； ③∵，， ∴， 故结论③不正确， ④∵， 整理得：， ∵， ， 整理得：， ∴， 即， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键， 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”求解即可． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 10. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是， 故答案为：． 11. 两个相似三角形面积比是，其中面积较小的三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_____． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”确定两个三角形的相似比，然后根据“相似三角形的周长比等于相似比”，即可获得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形面积比是， ∴这两个三角形的相似比，也即周长比为， ∵面积较小的三角形的周长为， ∴另一个三角形的周长是． 故答案为：60． 12. 已知，，，，的平均数是，则，，，的平均数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数．首先根据：、、、、的平均数是，可得，所以、、、、的平均数为，利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解：、、、、的平均数是， ， 则、、、、的平均数为： ． 故答案为： ． 13. 随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，若设每件成本的平均降低率是x，则可列方程为：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，灵活运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 设每件成本的平均降低率是x，经过第一次下降的成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，再结合现在的成本是每件192元即可列出方程． 【详解】解：设每件成本的平均降低率是x， 根据题意可得：． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，点E在上，．若平分，则的长为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，由矩形的性质可得，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则______． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，结合，可得，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：42． 16. 某电池制造商将两种型号的车用电池共打包成6个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，F，每个包裹的重量及包裹中甲乙两种型号的电池的重量如下，制造商准备用一辆载重不超过24.5吨的货车将其中的4个包裹运送到某新能源车工厂． 包裹编号 甲型电池重量/吨 乙型电池重量/吨 A 5 1 B 3 2 C 2 3 D 4 3 E 2 4 F 3 5 （1）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，写出一种满足条件的装运方案_____（写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，同时装运的乙型电池最多．写出满足条件的装运方案_____（写出要装运包裹的编号）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了方案的设计选择，分析题意合理使用方案是解题关键． （1）根据甲型电池吨数不少于11吨，且不多于13吨，设计出甲型电池的组法，再分别求出乙型电池吨数，满足两种电池总重量不超过24.5吨即可； （2）根据（1）中方案，计算总数，判断即可． 【详解】解：（1）设甲型电池吨数为，乙型电池的吨数为， 甲型电池吨数不少于11吨，且不多于13吨， ， 由表得满足甲型电池的组法为： 组用甲型电池12吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池11吨， 以上五种方案中使用乙型电池吨数为： 组用乙型电池10吨，组用乙型电池11吨，组用乙型电池12吨，组用乙型电池11吨，组用乙型电池15吨， 两种电池总重量不超过24.5吨， ， 满足题意的方案为组，， 一种满足条件的组装方案可以是， 故答案为：； （2）由（1）得，组用的乙型电池最多， 故答案为：． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算： ． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平方根、立方根性质，绝对值的代数意义化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式＝ ＝3． 【点睛】本题考查的是求一个数的算术平方根，立方根，以及绝对值，同时考查了合并同类二次根式，掌握以上知识是解题的关键． 18. 如图，点的坐标为，点的坐标为，作如下操作： ①以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到； ②以点为位似中心，将放大，得到，使相似比为，且点在第三象限． （1）在图中画出和； （2）请直接写出点的坐标_______． 【答案】（1） 和即为所作； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，位似作图，位似的性质等知识．熟练掌握旋转作图，位似作图，位似的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，位似的性质作图即可； （2）根据位似的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由位似的性质可知，， ∴， 故答案为：． 19. 下面是小亮设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及圆外一点． 求作：过点作的一条切线． 作法：①连接； ②作的垂直平分线，交于点A； ③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点； ④作直线． 即直线为所求作的一条切线． 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）该作图过程中，可以得到_____°，所作直线为圆的切线的依据为_____． 【答案】（1） 如图，补全图形． （2）90，切线的判定定理 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-基本作图（作线段的垂直平分线）、切线的判定与性质、直径所对的圆周角等于等知识，按尺规作图的要求正确地作出图形是解题的关键． （1）按尺规作图的要求补全图形即可； （2）由直径所对的圆周角等于，为的直径，得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：连接， ∵，且为⊙A的半径， ∴为的直径， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线为的切线． 【小问2详解】 ∵直径所对的圆周角等于，为的直径， ∴， 故答案为：90，切线的判定定理． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式； （1）根据方程有两个不相等的实数根可得，解不等式求出m的取值范围； （2）由（1）中m的取值范围得出m的最小整数，代入方程，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 由题意得： 解得： 【小问2详解】 ∵ ∴m的最小整数为 此时方程为 解得： 21. 如图，水平放置的一条油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，于点C，求截面上有油部分油面的高． 【答案】截面上有油部分油面的高为 【解析】 【分析】根据垂径定理求得的长，根据勾股定理求得的长即可． 【详解】连接，则， ∵， ∴， 在中，，， ， ∴． 答：截面上有油部分油面的高CD为． 【点睛】本题考查垂径定理的知识，解题的关键是利用定理得出的长． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可得到一次函数的解析式； （2）根据点结合图象即可求得． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过，， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，求得， ∴函数与一次函数的交点为， 把点代入，求得， 当两直线平行时，， 如图， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴． 23. 为了加强学校体育工作，促使学生积极参加体育锻炼，促进学生身心健康发展，教育部和国家体育总局颁发了《学生体质健康标准》，某校体育老师为准确掌握初中学生体质健康变化情况，对同一届学生在初一学年和初二学年的体质健康测试成绩进行了统计，并从中随机抽取了20名学生，对他们的两次测试成绩（百分时制）进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息： .这20名学生初一测试、初二测试成绩得分统计如图： .这20名学生初一测试成绩、初二测试成绩的平均数、中位数、方差如下表： 平均数 中位数 方差 初一测试 72.0 71.5 99.7 初二测试 86.8 88.4 .按照初二测试成绩把学生成绩分为三个等级，若初二测试的成绩为，被抽取的20名学生中有8人是等级，有7人是等级，有5人是等级，其中等级所有学生的成绩是：80，82，83，85，87，88，88． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小涵同学初一测试的成绩为80分，初二测试的成绩为95分，请在图中用“○”圈出小涵对应的点； （2）写出表中的值，_____； （3）全年级学生共760人，估计能获得“等级”的学生有_____人； （4）若“体质健康增长率”，请在图中用“△”标记出8名获得等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点． 【答案】（1） 解：将小涵同学初一测试的成绩和初二测试的成绩在图中用“○”圈出对应的点，如下图所示； （2）87.5 （3）304人 （4） 根据“体质健康增长率”， 则标记8名获得等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点，如下图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图、中位数、利用样本估计总体等知识，正确理解题意，由题意获取所需信息是解题关键． （1）分析统计图，从中标记出小涵对应的点即可； （2）结合题意将初二测试成绩按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的定义求解即可； （3）根据“学生总人数等级学生占比”，即可求得答案； （4）根据体质健康增长率的定义，可知在统计图中靠近左上角的点符合题意，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 初二测试的成绩，被抽取的20名学生中有8人是等级，有7人是等级，有5人是等级， 其中等级所有学生的成绩是：80，82，83，85，87，88，88， 将初二测试成绩按照从小到大的顺序排列，排在10和11位的是87，88， 则初二测试成绩的中位数． 故答案为：87.5； 【小问3详解】 （人）， 即全年级学生共760人，估计能获得“等级”的学生有304人． 故答案为：304； 【小问4详解】 略 24. 如图，是的直径，、是上的两点，且，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理．解决本题的关键是根据圆的性质找到边和角之间的关系． 根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等可得，所以可得，根据同圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，可得，从而可得，根据同位角相等两直线平行可证，根据切线的定义可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，从而可求； 过点作，连接，在中利用勾股定理可求，在中利用勾股定理可求，在中，利用勾股定理可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作，连接， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ， 解得：， ， 是的直径， ， 在中，， ， （负值舍去）． 25. 某商场同时在销售、两种商品，通过对于销售记录的分析，可以发现两种商品的售价变化会影响消费者的购买欲望，当两类商品的售价相比原价都减少时，商品的销售量会上升，商品的销售量会上升，以下是、两种商品的销售量随着售价的变化而变化的部分数据： （1）通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，已经画出了函数的图象，请画出函数的图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①、两种商品中，一种是生活必需品，另一种是非生活必需品，据统计，当商品售价上涨时，生活必需品的销售量变化不大，而非生活必需品的销售量会有较大的变化，推测、两件商品中，生活必需品是_____；（填或） ②商场在国庆假期对商品打八折促销，若要使商品的销售量增加百分数与商品接近相同，商品的售价应为原价的_____（结果保留整数）． 【答案】（1） 画图如下： （2）①；② 【解析】 【分析】（）根据表格，描出各点，再用平滑曲线连接起来即可； （）根据（）中的图形即可判断求解； （）根据表格数据得出商品八折时的销售涨幅，再根据这个数据对照表格即可求解； 本题考查了二次函数的图象及应用，正确画出函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由图可知，随的增大涨幅变化很大，随的增大涨幅比较平缓， ∴商品是生活必需品， 故答案为：； ②由图象可知商品八折时，即时的值约为，而当的值约为时，值约为，所以商品的售价应为原价的， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． （1）已知点在抛物线上，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式，是解题的关键． （1）把代入，解方程即得； （2）求出对称轴直线，点的对称点，根据时，y随x的增大而增大，解一元一次不等式，即得． 【小问1详解】 解：把代入， 得． 解得（舍去），或． 故． 【小问2详解】 ∵， ∴对称轴为直线． ∵， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵点的对称点为， ∴当时， 即时， ． 故的取值范围是． 27. 在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形，求的大小（用含的式子表示）； （2）作，交射线于点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 依题意补全图形如下，的大小为； （2） ，证明如下： 如下图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、垂直平分线的性质等知识，根据题意正确作出图形是解题关键． （1）首先根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）延长，交于点，首先证明，易得，进而可得，由垂直平分线的性质可得，再推导，然后证明结论即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得，， 则； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，已知点A和点，对于直线外一点，给出如下定义：若，将点A绕点顺时针旋转得到点，再将点绕点逆时针旋转得到点，则称点为点关于A、的“关联点”． （1）如图，点，，，． ①在点，，，中，点关于A、的“关联点”是_____，点_____关于A、的“关联点”是点； ②已知点在射线上，若点关于A、的“关联点”在以点为圆心，为半径的圆内，直接写出点的横坐标的取值范围_______； （2）已知，将点A绕点逆时针旋转得到点，若点为点关于A、的“关联点”，记的长为，直接写出的取值范围_____． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据点，，，，可得点为点C关于A、的“关联点”．根据，，，，可得点D为点关于A、的“关联点”．②连接，设交于点K，求出，根据旋转性质得到是等边三角形，证明，可得，，得，当点F在格点上时，点F在上，此时，得，得，即得； （2）求出，固定点A，设，求出，证明 ，得，得点N在以U为圆心的上运动，得，和都是等边三角形，得U、M、A三点共线，求出，得，，得，求出，，得，故得． 【小问1详解】 ①∵点，，，， ∴， 设将点A绕点C顺时针旋转得到点Q，再将点C绕点Q逆时针旋转得到点， ∴点为点C关于A、的“关联点”． ∵，，，， ∴， ∵将点A绕点顺时针旋转得到点，再将点绕点逆时针旋转得到点D， ∴点D为点关于A、的“关联点”． 故答案为：，； ②过E作轴于Z，连接，设交于点K， ∵，设点 ∴， ∴， 设点A绕点E顺时针旋转得到点H，再将点E绕点H逆时针旋转得到点F， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当点F在图示位置的格点上，时， ∵， ∴点F在上， ∵此时， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：： 【小问2详解】 ∵，点A绕点逆时针旋转得到点， ∴， ∴， 设，过O作于点J， ∴，， ∴， ∴， 设，点A绕点M顺时针旋转α得到点V，再将点M绕点V逆时针旋转α得到点N， 则， 当点B在优弧上从点M向点A（不含A）运动时，点N从点M向点S运动， 当时，点N在x轴上点T处， 过S作轴于点I， 则， ∴， ∴点N在以U为圆心的圆弧上运动， 连接，设交于点R， 则， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴，U、M、A三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 当点B在劣弧上从M向点A（不含A）运动时，同点B在优弧上从M向点A（不含A）运动时的部分的情况． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义——“关联点”．熟练掌握旋转性质，等腰三角形性质，等边三角形判定和性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，一次函数性质，正切定义，圆周角定理，含30度的直角三角形性质，分类讨论，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $