精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高一上学期11月段考数学试题

2024—2025学年度第一学期 高一年级数学科段考试题 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置. 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，， 则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列函数中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设定义在上的奇函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数的最值中错误的是（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，的最大值是 C. 已知，的最小值为3 D. 的最大值5 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（ ） A. B. ，都有 C. 当时， D. 是减函数 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______. 13. 已知是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为__________ 14. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）求． 16. 设函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，证明：． 17. 已知函数 （1）求，，； （2）画出的图像并写出单调区间. 18. 已知是定义在上的函数，若满足且． （1）求的解析式； （2）判断在区间的单调性并用定义证明； （3）设函数，若对，都有 成立，求的取值范围. 19. 若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数（）. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点、的中点在函数的图象上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期 高一年级数学科段考试题 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置. 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求，，进而逐项分析判断即可. 【详解】因为集合，， 则，， 可得，，故A正确，B错误； 且，集合不是集合的子集，故CD错误； 故选：A. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定为，. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 4. 在下列函数中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简解析式否定选项A；化简解析式否定选项B；化简解析式可知选项C正确；化简解析式否定选项D. 【详解】选项A：.与不表示同一函数； 选项B：.与不表示同一函数； 选项C：.与表示同一函数； 选项D：.与不表示同一函数. 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6. 设定义在上的奇函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数单调性，进而可解不等式. 【详解】由已知函数为奇函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又， 则，解得， 即， 故选：C. 7. 下列函数的最值中错误的是（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，的最大值是 C. 已知，的最小值为3 D. 的最大值5 【答案】A 【解析】 【分析】举例，判断A选项；利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】当时，，故命题错误，A符合题意； 当时，， 当且仅当，即时取等号，命题正确，B不符合题意； 当时，，则， 当且仅当，即时取等号，故命题正确，C不符合题意； 由题意，，则， 当且仅当，即时取等号，故命题正确，D不符合题意. 故选：A 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变换得到，确定，计算得到答案. 【详解】， ，故，则，故， 即，故的值域为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为为奇函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，且， 可知为偶函数， 且当时，在上单调递增，故B正确； 对于选项C：可知既是偶函数又在上单调递增的函数，故C正确； 对于选项D：当时，；当时，； 可知在上不是单调递增函数，故D错误； 故选：BC. 10. 已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断，，，作差可判断. 【详解】对于，因为，，所以，故正确； 对于，因为，所以，故正确； 对于，因为， 又，所以，即，故不正确； 对于，因为，所以， 又，所以，故正确. 故选：. 11. 已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（ ） A. B. ，都有 C. 当时， D. 是减函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】令代入计算，即可判断A，令代入计算即可判断BC，由函数单调性的定义代入计算，即可判断D 【详解】对于A，令可得，则或（舍）， 所以，故A正确； 对于B，当时，，所以， 又，所以，故B错误； 对于C，由B选项可知，当时，，且时，， 所以，故C正确； 对于D，设，则 ， 又，所以，则， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减，故D正确； 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式有意义的条件是被开方大于等于0，列不等式可解得. 【详解】由，解得或， 所以定义域为. 故答案为： 【点睛】本题考查了利用偶次根式的被开方大于等于0求函数的定义域，属于基础题. 13. 已知是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为__________ 【答案】2 【解析】 【分析】解方程，再检验得解. 【详解】解：依题意，，得或， 当时，，幂函数在上不是减函数，所以舍去. 当时，，幂函数在上是减函数．所以. 故答案为： 14. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，先求得，然后求得. 【详解】因为是偶函数，所以①， 因为是奇函数，所以②， 令，由①得：， 由②得：， 因为，所以， 令，由②得：， 所以当时，， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】分别解两个不等式得集合和集合，再根据交集，并集和补集的定义求结果． 【小问1详解】 由解得，所以， 由得，解得，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 所以或． 16. 设函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，证明：． 【答案】（1）， （2） 因为，则，即， ，则， 所以， 设，， 因为，，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 当且仅当时取等号. 【解析】 【分析】（1）依题意、为方程的两根，利用韦达定理得到方程，解得即可； （2）依题意可得，则，再利用基本不等式证明即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以、为方程的两根， 所以，解得. 【小问2详解】 略 17. 已知函数 （1）求，，； （2）画出的图像并写出单调区间. 【答案】（1），， （2），单调增区间为，单调减区间为 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的定义及解析式直接可得解； （2）根据分段函数的性质分别作出两段函数的图像，并判断函数单调性. 【小问1详解】 由已知， 所以，， 当即时，； 当即时，； 综上所述，，； 【小问2详解】 函数图像如图所示， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 综上所述函数的单调增区间为，单调减区间为. 18. 已知是定义在上的函数，若满足且． （1）求的解析式； （2）判断在区间的单调性并用定义证明； （3）设函数，若对，都有 成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 在区间上为增函数，理由如下： 不妨设， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上为单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，由，求得，再由，求得，即可得到的解析式； （2）利用单调性的定义即可证明；（3）根据题意，转化为，根据函数的单调性，求得最小值为1，进而得到在上恒成立，得到在上恒成立，求得的最大值即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的函数，若满足， 所以函数为奇函数，所以，解得， 所以， 又因为，可得，解得， 所以， 此时满足， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对，都有成立， 即为， 由（2）可知在单调递增，则 又由在上恒成立， 只需在上恒成立， 令， 所以在在单调递减，在上单调递增， 又，，所以， ∴ 所以实数的取值范围为. 19. 若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数（）. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点、的中点在函数的图象上，求的最小值. 【答案】（1）或3． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入，根据，解方程求不动点即可； （2）将不动点转化为判别式大于0得到关于参数，的不等式，由于此不等式恒成立，将此不等式恒成立转化为即可． （3）根据中点关系可得，结合根与系数的关系可以表示成参数的函数即，至此，将问题转化为求关于的函数最小值的问题． 【小问1详解】 当，时，， 由，解得或， 所以所求的不动点为或3． 【小问2详解】 令，则① 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以， 即恒成立，则，故 【小问3详解】 设，， 又AB的中点在该直线上，所以， 而应是方程①的两个根， 所以 即， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $