精品解析：湖南省长沙市明德中学2025届高三上学期11月阶段检测数学试卷

明德中学2025届高三11月阶段检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于集合，定义集合且，已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由新定义易得结果. 【详解】结合新定义可知且． 故选：C． 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，由复数模长运算可求得结果. 【详解】， . 故选：A. 3. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得到结论． 【详解】命题，为存在量词命题， 则该命题的否定为，， 故选：D． 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据的充要条件求得或，再由充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】若，则，解得或． 若，则直线，直线，可知； 若，则直线，直线，可知， 综上所述：或． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项. 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求. 故选：A. 6. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（ ）（参考数据：） A. 11分钟 B. 10分钟 C. 9分钟 D. 8分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得，再设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟，可得关于的方程，利用对数的运算性质及换底公式，即可求解. 【详解】有题意知℃，因为一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟， 所以，即； 设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟， 所以，即， 所以， 所以， 所以水温从℃降至45℃，大约还需要10分钟. 故选：B. 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可. 【详解】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴， ∴的最小值为， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例排除AC，利用不等式的性质判断BD，从而得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C，因为，取，则，故C错误； 对于D，因为，由不等式的性质可知，故D正确. 故选：BD. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的表达式可以写成 D. 若关于的方程在上有且只有4个实数根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象过，，建立方程组求出的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】由函数图象可知，， 因为在，附近单调递增， 所以，，， 又因为，所以，， 所以，A说法正确； 当时，， 所以由在单调递减可知在上单调递减，B说法正确； 因为，所以C说法错误； 令得，解得或， 方程在上有且只有4个实数根，从小到大依次为， 而第5个实数根为，所以，D说法正确； 故选：ABD 11. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 【答案】C 【解析】 【分析】对A：根据正方体易知，利用线面垂直的判断、性质定理可得，又，故与不垂直；对B：若是交点，连接，则所成角，即为所成角，余弦定理求夹角余弦值，进而求向量在向量上的投影向量；对C：令放在桌面上的顶点为，根据正方体的结构特征，要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，并确定最大截面的形状，求其面积即可；对D：通过直观想象，有第一层小球为个，第二层小球为，且奇数层均为个，偶数层均为，结合上下两层相邻5球的球心构成几何体为正四棱锥并求高，再确定层数，最后求小球个数. 【详解】对A：由正方体性质知：，， 且、面， 所以面，又面，则， 由，故与不垂直，故A错误； 对B：由题意且，若是交点，连接， 所以， 故为平行四边形，则，， 所以所成角，即为所成角， 由题设，易知， 在中， 即夹角为，所以夹角为， 故向量在向量上的投影向量为： ，故B错误； 对C：令放在桌面上的顶点为， 若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大， 根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大， 此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故C正确； 对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为， 且奇数层均为个，偶数层均为， 而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为， 假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数， 令，则，而，故小球总共有10层， 由上，相邻的两层小球共有个， 所以正方体一共可以放个小球，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：D选项中，注意分析各层小球最多可放入的个数，结合两层相邻的5个球的球心所成几何体的高，结合正方体棱长求总层数为关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前项和为，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得，，，，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】因为，所以，，，， 所以， 故答案为：. 13. 已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意利用直线与圆相切可得，，，再由余弦定理计算得出，利用椭圆的定义即可求出离心率. 【详解】椭圆，左焦点， 设右焦点为，连接，, 如下图所示： 由圆可知圆心，半径， 显然，， 过左焦点作直线与圆的相切于点， 可知， 因此可得，可得， 所以，， 即可得，, 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 又，即， 因此离心率. 故答案为：. 14. 编号为的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.2的概率是__________. 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据排列知识可求基本事件的总数为64，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】因为放回的抽取小球，所以基本事件总数为， 设抽取的前两个球的号码为，第三个球的号码为， 根据题意有， 则， 整理得，即， 当时，，此时为，3种情况； 当时，，此时为，9种情况； 当时，，此时为，9种情况； 当时，，此时为，3种情况； 综上得，满足条件的共有，所以满足条件的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据题意构造不等式，然后结合抽出的前两个球号码为正整数，再对第三个球号码进行分类讨论即可得出符合条件的的数量，再结合基本事件总数即可得出结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，． （1）求B； （2）若，求的面积S取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形的内角和与两角和与差的三角函数公式化简可求角. （2）由正弦定理先求，然后结合三角形的面积公式及和差角，二倍角公式进行化简，在根据正弦函数的性质计算可得． 【小问1详解】 由， 由正弦定理，可得， 因为为三角形内角，所以，所以， 得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 ∵，故， ∴， 所以 ， 因为，所以， ∴，∴， ∴， 故的面积的取值范围为． 16. 已知函数的导函数为，且． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用赋值法求得，求得解析式，进而可求得切线方程； （2）法一，分，，三种情况分离变量，并求得最值求得的取值范围.法二，令，利用二次求导判断恒成立应满足的条件，进而求得的范围. 【小问1详解】 求导得， 令，则， ，即：． 【小问2详解】 方法一，， ①当时，左边右边，不等式显然成立． ②当时， 令 当时，在上单调递减 ③当时， 令，当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上：的取值范围为． 法二，令，， 令，所以恒成立，在上递增． ①若，即对 在单调递减，， 与矛盾，无解，舍去． ②若，即， 在上递增 . 故． ③若即：时， 使得，，即： 即： ，故 综上． 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点. （1）证明：； （2）点F满足，求平面ABD与平面ABF所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接， 因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②， 由①②，，平面，所以平面， 而平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及其性质定理证明可得结论； （2）建立空间直角坐标系，分别求得两平面的法向量，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设， ，， 则，即，则， ，， 又，平面 平面， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 可得， 设平面与平面的一个法向量分别为， 平面与平面所成角为，而， 因为，所以，即有， 可得，取，所以； 又，取，所以， 所以，从而， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 18. 椭圆经过点，其右焦点为抛物线的焦点；直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过原点. （1）求椭圆的方程； （2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的焦点得到然后将点代入椭圆方程，结合关系可得结果. （2）假设直线的方程，并与椭圆方程联立，结合韦达定理，以及可得，根据，以及，代值计算. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，则， 点在椭圆上，即， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率存在时，设其方程为，， 联立可得则① ②， ③ 以为直径的圆过原点即 化简可得，代入②③两式， 整理得即 将④式代入①式，得恒成立则 设线段中点为，由，由观察可知，， 又由，则点坐标为， 化简可得，代回椭圆方程可得即 则， 另外，当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴， 易得，， 综上，四边形面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：本题第（2）问中，第一，假设直线方程，并与椭圆方程联立，使用韦达定理；第二，发现得到；第三，得到，以及计算. 19. 维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合. （1）求，； （2）（i）求中元素的个数； （ii）记，求使得成立的最大正整数. 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）列举出所有可能的情况，根据可求得结果； （2）（i）设中元素的个数为，根据定义可得递推关系式，结合等比数列求和公式可推导求得； （ii）首先确定的必要条件为当时，，由此可得；验证当时充分性成立，从而得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，；当时，；当时，；当时，， ； ， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，， . 【小问2详解】 （i）设中元素的个数为， ，， 为偶数时，，且， ， 中的元素个数为. （ii）①当时， ； ②当时， ； ③当时， ； ； 要使得成立，其必要条件是当时，， 令，则， 数列为递增数列，又，， 的解为； 当时，， 即充分性成立； 使得成立的最大正整数. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与向量结合的新定义问题的求解，解题关键是能够根据的定义，确定为偶数时，，从而进一步确定递推关系式，将问题转化为数列问题来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德中学2025届高三11月阶段检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于集合，定义集合且，已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（ ）（参考数据：） A. 11分钟 B. 10分钟 C. 9分钟 D. 8分钟 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的表达式可以写成 D. 若关于的方程在上有且只有4个实数根，则 11. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前项和为，且，则________. 13. 已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为___________． 14. 编号为的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.2的概率是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，． （1）求B； （2）若，求的面积S取值范围． 16. 已知函数的导函数为，且． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点. （1）证明：； （2）点F满足，求平面ABD与平面ABF所成角的正弦值. 18. 椭圆经过点，其右焦点为抛物线的焦点；直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过原点. （1）求椭圆的方程； （2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值. 19. 维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合. （1）求，； （2）（i）求中元素的个数； （ii）记，求使得成立的最大正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $