专题6.8 图形的相似单元提升卷-2024-2025学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

第6章 图形的相似单元提升卷 【苏科版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24九年级·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D． 【详解】解：A、由已知得ad＝bc，故选项不符合题意； B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意； C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意； D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． 2．（3分）（23-24九年级·湖南娄底·期末）如图，在中， 是边上一点， 添加下列条件， 不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、根据题意可知，，，由两角对应相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意； 、根据题意可知，，，由两角对应相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意； 、根据题意可知，，，根据两边成比例夹角相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意； 、由条件无法判断，故不能判定，该选项符合题意； 故选：． 3．（3分）（23-24·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可． 【详解】由勾股定理得， ，， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 4．（3分）（23-24·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（    ）处才能观测到大树的顶端．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴将平面镜放置在离王刚处才能观测到大树的顶端． 故选：B． 5．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点是矩形的边上的一动点，矩形的两条边、的长分别是3和4，则点到矩形的两条对角线和的距离之和是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 【答案】D 【分析】此题主要考查了矩形的性质与相似三角形的综合运用，利用三角形的相似求线段长度是初中阶段重点知识，熟练掌握是解此题的关键．过点作，，由矩形的性质可证和，根据和，即和，两式相加得，即为点到矩形的两条对角线和的距离之和． 【详解】解：过点作，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为点到矩形的两条对角线和的距离之和是：． 故选：D． 6．（3分）（23-24·陕西渭南·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（    ）    A．18 B．12 C．24 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，与是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、， ∴ 且相似比为， ∴的面积的面积， ∵的面积是6，， ∴的面积为24， 故选：C 7．（3分）（23-24·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在中，平分，按如下步骤作图： 第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、； 第二步，连接分别交、于点、； 第三步，连接、． 若，，，则的长是（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，证明出四边形的形状是解题关键．根据作法可知：是线段的垂直平分线，再根据等边对等角的性质，得出，，证明四边形是菱形，得到，然后由平行线分线段成比例定理，得到，即可求出的长． 【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线， ，， ， 平分， ， ， ， 同理可得， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故选：D． 8．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对于三人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对 C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对 【答案】C 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示，    据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为，． 向外扩张一个单位后边长变为，． 则 ∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故丙正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键． 9．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，，，，点E在边上运动（不与端点重合），边始终过点A，交于点G，当是等腰三角形时，的面积是（   ）． A．8或 B．8 C． D．6或 【答案】A 【分析】首先由，且，可得，当与去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，且， ∴， ∴； ∵， ∴， 即：， 当时， 在与中， ∴， ∴， ∴， 作于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 当时，则， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10．（3分）（23-24·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，对角线、交于点．当边的长度发生变化时，下列说法中正确的是（   ） A．点到边的距离不变 B．点到边的距离不变 C．点到边的距离不变 D．点到边的距离不变 【答案】A 【分析】先证得，，则，，过点作于点，过点作，的延长线交于，于，过点作于，证明得，由此可对选项进行判断；证明得，由此可对选项进行判断；根据，得，由此可对选项进行判断；设，则，，则，，进而得，根据可得，由此可对选项进行判断． 【详解】解：四边形为梯形，，，， ， ， ，， ，， 过点作于点，过点作，的延长线交于，于，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 即． ， 点到边的距离不变， 故选项A正确，符合题意； ，， ， 又，的延长线交于， 四边形为矩形， ，， ， ， 即， ， 当边的长度发生变化时，随的变化而变化， 故选项B不正确，不符合题意； ，， ， 当边的长度发生变化时，随的变化而变化， 故选项D不正确，不符合题意； 设，则，， ，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 即， 整理得：， 当边的长度发生变化时，随的变化而变化， 故选项C不正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，点到直线的距离，熟练掌握梯形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据题意可得：，从而利用等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，然后利用黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵将的圆周分成五等份， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的黄金分割点， ∴， ∴ 故答案为：． 12．（3分）（23-24·山东菏泽·一模）如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，利用三角形相似的性质可求得，同理求得，它们的差即为所求答案． 【详解】线段被截成三等份， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：4． 13．（3分）（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 【答案】8或 【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ． 当时，， ， ， 当时，， ， ， 以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或． 故答案为：8或． 14．（3分）（23-24·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：    （1）已知，则 （用含的代数式表示）； （2）若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，推出，即可得到答案； （2）根据旋转的性质证明，根据相似三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：（1）点B的对应点恰好落在点O处， ， ， 由旋转的性质可知，， ， ； （2）由旋转的性质可知， ，B，O，D，E四点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：；． 15．（3分）（23-24·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 如图：过点B作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过点B作交于H， ∴ ∴，    ∵，E是边上的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，即 ∴, ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形．如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 ． 【答案】5 【分析】此题先求出已知三角形的三边关系，在格点中分别找到对应成比例的面积最大和面积最小的三角形，通过相似三角形面积比为相似比的平方直接求解即可． 【详解】由图可知，， ，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，可如图所示作出， ， ，， 同理可得，， 且 综上所述： 故答案为：5 【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键是在格点图中画出三角形，难点是将三角形相似比转化为面积比． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，进而结论得证； （2）如图，延长交于，则，平分，进而证得，得出，证明与全等，从而证得． 【详解】（1）证明：∵，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明，如图，延长交于， ∵平分，， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，平行线分线段成比例．熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，平行线分线段成比例是解本题的关键． 18．（6分）（23-24九年级·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； （2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 19．（8分）（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，设与的交点为H， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）（23-24九年级·江苏·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E， (1)求证：； (2)若，求线段长． 【答案】(1)见解析 (2)线段长为5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的定义、角的和差可得，再结合即可证明结论； （2）由线段的和差可得，再根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵ ， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴线段长为5． 21．（8分）（23-24·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图． (1)在图①中，在边上找一点，使． (2)在图②中，在边上找一点，在上找一点，使，且． (3)在图③中，在内找一点，分别连结，，使、、的面积相等． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的性质，掌握网格线的特点和相似三角形的性质是解题的关键． （1）只需将线段分成的两段且分点D离点A更近，根据相似三角形的性质作图，连接即可； （2）只需找到和靠近点的三等分点，根据相似三角形的性质，找到的三等分点，连接即可； （3）先求出直角三角形的面积，根据三角形的面积求出高，再根据相似三角形的性质作图. 【详解】（1）解：点即为所求； （2）解：点、即为所求； （3）解：的面积为：， 、、的面积相等， 、、的面积都为：， 的高为：，的高为：， ∵， ∴，且相似比为， ， 点即为所求. 22．（8分）（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)当时，秒．理由见解析． 【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间． （2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间． 【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，， ； 1）当，即时， ； ，即， ． ２）当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似． 故答案为：或． （2）如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，， ； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 23．（8分）（23-24·陕西榆林·二模）问题探究： (1)如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为 　 　 (2)如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值； 问题解决： (3)某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝300米，∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号） 【答案】(1)4 (2)18 (3)6000万元 【分析】（1）利用相似三角形面积比等于相似比平方的性质求解即可． （2）如图2中，设AE＝x，EC＝y．S矩形ABCD＝2S△ABC＝AC •BE＝3AC＝3（x+y），求出x+y的最小值，可得结论． （3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x．证明△PAM∽△NTP，推出，可得，设总费用W万元，则 ，求出W的最小值，可得结论． 【详解】（1）如图1中， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∵S△ABE＝16， ∴S△CDE＝4． 故答案为：4． （2）如图2中，设AE＝x，EC＝y． ∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AC， ∴S矩形ABCD＝2S△ABC＝AC•BE＝3AC＝3（x+y）， ∴x+y的值最小时，矩形的面积最小， ∵∠AEB＝∠BEC＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ABE＝∠BCE， ∴△AEB∽△BEC， ∴， ∴BE2＝AE•EC， ∴xy＝9， ∵（x﹣y）2≥0， ∴x2+y2≥2xy， ∴x2+2xy+y2≥4xy ∴（x+y）2≥4xy， ∴（x+y）2≥36， ∴x+y≥6， 当x+y=6时，S矩形ABCD有最小值，最小值为 （3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∵BP＝BT，∠PBT＝60°， ∴△PBT是等边三角形， ∴PB＝BT＝PT， ∵AB＝300米， ∴PA＝100（米），PB＝200（米）， ∴PT＝BT＝200（米）， ∵∠APN＝∠APM+∠MPN＝∠PBN+∠PNB，∠MPN＝∠PBN＝120°， ∴∠APM＝∠PNB， ∵∠A＝∠T＝60°， ∴△PAM∽△NTP， ∴， ∴， ∴， 设总费用W万元， 则 ， ∵， ∴， ∴W≥6000，最小值为, 故建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用6000万元． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的面积，三角形面积，面积造价问题，解决问题的关键是熟练运用面积比与相似比平方的关系，三角形面积等于底边乘高的一半，总价=单价面积的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 图形的相似单元提升卷 【苏科版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24九年级·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）（23-24九年级·湖南娄底·期末）如图，在中， 是边上一点， 添加下列条件， 不能判定的是（ ） A． B． C． D． 3．（3分）（23-24·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（23-24·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（    ）处才能观测到大树的顶端．    A． B． C． D． 5．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点是矩形的边上的一动点，矩形的两条边、的长分别是3和4，则点到矩形的两条对角线和的距离之和是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 6．（3分）（23-24·陕西渭南·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（    ）    A．18 B．12 C．24 D．9 7．（3分）（23-24·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在中，平分，按如下步骤作图： 第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、； 第二步，连接分别交、于点、； 第三步，连接、． 若，，，则的长是（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对于三人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对 C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对 9．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，，，，点E在边上运动（不与端点重合），边始终过点A，交于点G，当是等腰三角形时，的面积是（   ）． A．8或 B．8 C． D．6或 10．（3分）（23-24·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，对角线、交于点．当边的长度发生变化时，下列说法中正确的是（   ） A．点到边的距离不变 B．点到边的距离不变 C．点到边的距离不变 D．点到边的距离不变 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则 ． 12．（3分）（23-24·山东菏泽·一模）如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为 ． 13．（3分）（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 14．（3分）（23-24·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：    （1）已知，则 （用含的代数式表示）； （2）若，则的长为 ． 15．（3分）（23-24·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    16．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形．如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证： (1)； (2)． 18．（6分）（23-24九年级·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 19．（8分）（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 20．（8分）（23-24九年级·江苏·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E， (1)求证：； (2)若，求线段长． 21．（8分）（23-24·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图． (1)在图①中，在边上找一点，使． (2)在图②中，在边上找一点，在上找一点，使，且． (3)在图③中，在内找一点，分别连结，，使、、的面积相等． 22．（8分）（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 23．（8分）（23-24·陕西榆林·二模）问题探究： (1)如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为 　 　 (2)如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值； 问题解决： (3) 某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝300米，∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$