精品解析：河北省泊头市第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

沧衡名校联盟高三年级2024-2025学年上学期期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可 【详解】由题意可得，且，解得． 故选：B. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A，举反例；对B，举反例；对C，根据不等式性质推理可得；对D，举反例说明. 【详解】对于A，当时，不满足，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，则，故C正确； 对于D，当时，不满足，故D错误. 故选：C. 3. 在等比数列中，，则（ ） A. B. 81 C. D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比即可计算得解. 【详解】设数列的公比为，则，解得， 所以. 故选：D 4. 甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即得. 【详解】若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军， 所以“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件. 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用和（差）角的余弦公式与切割化弦方法，转化为的运算即可求解 【详解】解：因为，， 所以 解得， 所以. 故选：A 6. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的值约为（参考数据：，） A. 0.268 B. 0.87 C. 1.13 D. 1.87 【答案】B 【解析】 【分析】由的计算公式及对数的基本运算求解即可. 【详解】解：由题意得 . . 故选：B 7. 如图，是圆O的一条直径，是圆O的一条弦，点P在线段上，若，，则的最小值是（ ） A. 41 B. 50 C. 82 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的运算，得到，再由圆的性质，得到的范围，即可得出结果. 【详解】如图，连接.由题意得是线段的中点，所以. 因为， 所以， 所以.因为， 所以圆心到直线的距离，所以， 所以，故的最小值是82. 故选：C. 8. 已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出在指定区间内相位的范围，再利用余弦函数的性质列式计算即得. 【详解】由，得， 由在内恰有两个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算化简复数，依据复数的相关概念依次判断各个选项. 【详解】因为， 所以，所以，故A正确，B错误； 因为，所以，故C正确. 因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确． 故选：ACD. 10. 设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积是 C. 的面积的最大值是 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，由正弦定理边化角及和角公式求解即可；对于B项，由正弦定理及圆的面积公式求解即可； 对于C项，由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解即可； 对于D项，由正弦定理边化角可得，求此函数的值域即可. 【详解】对于A项，因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故A项错误． 对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 则的外接圆的面积是，故B项正确． 对于C项，由余弦定理可得，即①． 因为②，当且仅当时，等号成立， 所以由①②得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，则C项正确． 对于D项，由正弦定理可得，则，， 所以 又因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故D项正确． 故选：BCD. 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，赋值计算判断AB；利用奇函数的性质求解判断CD. 【详解】在上的奇函数满足，当时，， 对于A，由，得，A正确； 对于B，，，函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，得，则， 因此函数的图象关于点中心对称，C正确； 对于D，，当时，，设，则， 于是，因此， 所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，．，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标运算，计算的坐标，结合向量垂直的关系，，运算即可求解. 【详解】因为，，所以； 因为，所以，解得. 故答案为： 13. 正偶数排列如图所表示第行第个数，如，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中给出的图形的排列规律，结合等差数列的前项和公式，是图形中第个数，对比探究即可求解. 【详解】由图形可知，是图形中第个数， 由题意可知第行有个数，则前行一共有个数. 当时，，当时，， 则2024在第45行，即.因为，所以， 则. 故答案为： 14. 已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】将构造成，运用导数研究单调性进而转化为（）恒成立，令，运用导数可求得的最大值即可. 【详解】由，即，得. 因为，所以. 设，则. 因为，所以，所以在上单调递增. 因为，所以，所以，所以，所以. 设，则. 由，得，则在上单调递减； 由，得，则在上单调递增. 故，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求的大小； （2）若，且的面积是，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角差的正弦公式，求出，结合的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式求出，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，所以 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以. 【小问2详解】 因为的面积是，所以，解得. 由余弦定理可得，又，即， 则，即，故. 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）设出切点坐标，求出切线方程，将代入，分离参数并构造函数，结合三次函数的性质求出直线与函数图象有3个公共点的范围. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 设过点的切线的切点为， 由（1）知，则切线斜率， 切线方程为，而切线过点， 则，即 令，依题意，直线与函数的图象有3个交点， 求导得，由，得或； 由，得，则函数在上单调递增，上单调递减， 当时，取得极大值，在时，取得极小值， 当，即时，直线与函数的图象有3个交点， 因此当时，过点可作曲线的三条切线， 所以的取值范围为. 17. 设数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与关系，可得是等比数列，求得答案； （2）由（1）求出，根据分组求和求得答案. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 所以，即. 当时，，解得， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 故． 【小问2详解】 由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，. 当为奇数时， ， 当为偶数时， . 综上，. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据函数图象得到周期求出的值；再结合图象，根据特殊点可求出，即可求解. （2）利用整体代换法可求出的单调递减区间. （3）求出函数的最小值，结合存在性问题即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，则. 因为，且，所以. 由图可知，则， 解得. 因为，所以. 由图可知，解得. 故. 【小问2详解】 令，解得， 所以的单调递减区间是. 【小问3详解】 因为，所以， 所以当，即时，取得最小值. 因为存在，使得不等式成立，所以， 即，解得， 故的取值范围是． 19. 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． （1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． （2）对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据： ． 【答案】（1）证明：由可得， 由可得，解得 ， 所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0， （2）①证明：由可得对任意，恒成立， 所以存在常数 ，使得， 令，则，且， 解得， ，则， 由于是“缺陷偶函数”，由， 即，即， 则，得， ， 由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设， 当或时，单调递增， 当时，单调递减， 所以有两个极值点． ②证明：若，即，则，故， 当时，要证，只需要证， 因为，故， 只需证， 令， 当单调递减，当单调递增， 故 ， 所以，从而，故， 即时，. 【解析】 【分析】（1）根据，即可解方程求解， （2）①根据，取，可得，结合新定义可得，即可对求导，根据导函数的正负确定函数单调性，结合极值定义求证； ②利用放缩法，先证明故，构造求导，确定函数的最值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤: （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式. 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧衡名校联盟高三年级2024-2025学年上学期期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，则（ ） A. B. 81 C. D. 243 4. 甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的值约为（参考数据：，） A. 0.268 B. 0.87 C. 1.13 D. 1.87 7. 如图，是圆O的一条直径，是圆O的一条弦，点P在线段上，若，，则的最小值是（ ） A. 41 B. 50 C. 82 D. 100 8. 已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积是 C. 的面积的最大值是 D. 的取值范围是 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，．，若，则___________． 13. 正偶数排列如图所表示第行第个数，如，若，则___________． 14. 已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求的大小； （2）若，且的面积是，求的值． 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围． 17. 设数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19. 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． （1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． （2）对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $