精品解析：河北省邯郸市三校2025-2026学年高三上学期期中联考数学试题

河北省邯郸市三校联考2025-2026学年高三上学期期中 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m的值为（ ） A. 2 B. －1 C. 2或－1 D. 4 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知角（）终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知.若函数的零点个数与方程的不等实根个数相等，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，则与的大小关系随m的变化而变化 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则一定有 10. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为9 C. 有最小值为 D. 有最小值为3 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 13. 已知，，且，则最小值为________. 14. 函数是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）当时，若为真，为假，求的取值范围． 16. 已知函数（，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且. （1）求，的值； （2）求图象的对称轴方程； （3）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，________．求的面积． 18. 已知函数. （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论在区间上的单调性； （3）设是两个不相等的正数，且，证明：. 19. 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. （1）若，当k为何值时，与垂直？ （2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. （3）若的最小值为1，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邯郸市三校联考2025-2026学年高三上学期期中 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m的值为（ ） A. 2 B. －1 C. 2或－1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合相等列方程，解出m的值即可. 【详解】∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或m＝－1. 故选：C 【点睛】本题考查集合相等，属于简单题. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可解答． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 故命题“，”的否定为，. 故选：D. 3. 已知角（）终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式可得为第三象限角，再根据求解即可. 【详解】所以为第三象限的角，. 故选：A. 4. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案. 【详解】由已知，， 则， 故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误； 当时，，则， 故AD项错误，应选B. 又设，且， 则， 故，则有， 即，故在上单调递减. 综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致. 故选：B. 6. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件求，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】由题意可知：，因为，即，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 7. 如图，在平行四边形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先推导出，然后以、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出圆的方程，设出点点坐标，用坐标表示向量积，结合三角函数性质可得最小值． 【详解】由题意，由余弦定理可得， 则，所以， 以、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，如下图所示， 则，，， ，则直线的方程为，即， 所以圆半径为，圆的方程为， 设， ，， 所以，其中且为锐角， 所以，的最小值为． 故选：C． 8. 已知.若函数的零点个数与方程的不等实根个数相等，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式画出其图象，利用函数与方程的思想可知，函数的图象与有两个交点，即函数有两个零点，利用对称性对函数进行分类讨论即可求得的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，， 所以函数； 当时，，则， 当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数是开口向上且关于对称的抛物线； 画出函数的图象如下中图粗实线所示： 根据图象易知，函数的图象与有两个交点， 即方程有两个不相等的实根，所以函数有两个零点； 因此函数与的图象有两个交点； 易知恒过坐标原点，且为偶函数，其图象关于轴对称； 当与在轴右侧相切时，即与相切； 不妨设切点为，由可得， 切线斜率为，又因为， 因此，即， 令，则，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且时，，由可得，即， 此时切线方程为，如图中所示； 当与在轴左侧相切时，即与相切， 设切点为，联立方程得， 令，解得，此时切点 切线方程为，如图中所示； 结合图象以及对称性可知，当时，与在轴右侧无交点，在轴左侧有两个交点，满足题意， 解得或，即. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将时，转化成，再利用导数研究其单调性画出部分函数图象，根据函数与方程的思想将零点个数转化成函数图象交点个数问题，利用导数的几何意义和对称性即可求得结果. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，则与的大小关系随m的变化而变化 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则一定有 【答案】CD 【解析】 【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A； 举反例，如，即可判断B； 若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C； 利用不等式的性质即可判断D. 【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误； 对于B，当时，，与题设矛盾，故B错误； 对于C，若，则， 根据“糖水不等式”， ，即，故C正确； 对于D，若，则， 所以， 所以，故D正确. 10. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为9 C. 有最小值为 D. 有最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式，可求得的最大值，判断A; 将变为 ，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将 代入，利用二次函数知识可判断C,将代入，利用基本不等式可判断D. 【详解】由，，且，可知，即， 当且仅当 时取等号，故A正确； ， 当且仅当 即 时取等号，故B正确； 由，，且，可知，故， 当时，取得最小值为 ，故C错误； ，当且仅当，即时取等号， 故D正确， 故选：ABD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为奇函数得，赋值即可判断A；由为偶函数得，结合可得，求导可得即可判断B；由得，求导可得，继而得到的周期性，即可判断CD. 【详解】因为为奇函数， 所以， 则，即，故A正确； ，即 又为偶函数，所以， 两边求导，即，故B错误； 又，即，则， 即，， 又，所以，即，故C正确； 由，，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可． 【详解】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 故答案为：且. 13. 已知，，且，则最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，且，即， 所以 ， 当且仅当，即，、时取等号； 故答案为： 14. 函数是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数的取值范围是________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据函数为偶函数，且在单调递增，转化为对任意恒成立，进而可得结果. 【详解】∵是定义在上的偶函数，且当时，， ∴，则， 则等价于， 当时为增函数，则，即对任意恒成立， 设，则，解得，又，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为对任意恒成立. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）当时，若为真，为假，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由为真命题，若，只需恒成立，即可求的取值范围； （2）若为真时，结合已知条件：讨论真假、假真，分别求得的范围，取并集即可. 【详解】解：（1）对任意，不等式恒成立， 令，则， 当时，，即，解得． 因此，当为真命题时，的取值范围是． （2）当时，若为真命题，则存在，使得成立，所以；故当命题为真时，． 又∵，中一个是真命题，一个是假命题． 当真假时，由，得； 当假真时，有或，且，得． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】关键点点睛： （1）函数不等式在闭区间内恒成立，有求参数范围. （2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可. 16. 已知函数（，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且. （1）求，的值； （2）求图象的对称轴方程； （3）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2），；（3） 【解析】 【分析】（1）由题意可先求周期，进而可求，代入，可求，即可求解， （2）结合正弦函数的对称轴方程即可求解， （3）由已知可转化为，结合正弦函数的性质可求． 【详解】（1）由题意知，，∴， ∴，， ∴， ∴，∵，∴， ， （2）由可得，，， 即对称轴，， （3）∵，∴， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴，故的范围 【点睛】本题主要考查了利用正弦函数的性质求解函数解析式，还考查了正弦函数的对称性，值域及恒成立问题与最值的相互转化，属于中档试题． 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，________．求的面积． 【答案】任选三个条件之一，都有 【解析】 【分析】 若选①，由正弦定理边角互化，由余弦定理得出角，进而求得，得出三角形的面积；若选②，由正弦定理边角互化，利用两角和与差公式化简得出角，结合余弦定理求出三角形的面积；若选③，由正弦定理结合诱导公式和二倍角公式得出角，由余弦定理得出，进而可得三角形的面积． 【详解】若选①，由正弦定理，得， 即，所以， 因为，所以． 因为， ，， 所以， 所以． 若选②，由正弦定理，得． 因为， 所以，所以， 化简得， 所以． 因为，所以． 因为，，， 所以， 所以． 若选③，由正弦定理，得． 因为， 所以，所以． 因为，所以． 因为，， 所以，所以，所以． 因为， ，，所以， 所以． 【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，解三角形问题中可以应用正余弦定理的题型有： 1.已知一边和两角； 2.已知两边和其中一边的对角； 3.已知两边和它们所夹的角； 4.已知三边． 18. 已知函数. （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论在区间上的单调性； （3）设是两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：由题意，， 要证，即证， 即证， 由，只需证：. 不妨设，则有：； 两边取指数得，化简得， 设，，则， 而， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 要使且，则，从而， 要证，只需证：， 由于在上单调递增，只需证：， 又，只需证：， 只需证：，即证， 设，则， 设，，则， 则在上单调递增，所以， 从而，所以在上单调递减， 从而，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）由分析法，转化为证明，再由已知条件构造函数，，求导，分析其单调性可得，进而转化为证明，再代入后转化为构造函数，利用导数求函数的最小值. 【小问1详解】 当时，，则， 而，则， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由，， 则， 当时，， 则函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 19. 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. （1）若，当k为何值时，与垂直？ （2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. （3）若的最小值为1，求的值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果； （2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算； （3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得，即，所以. 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； 【小问2详解】 因为为的重心，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以. 显然，则， 当且仅当时，即时，取最值. 则的最小值为2. 【小问3详解】 设与的夹角为，在中，， 所以， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值1时，． 【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形,向量垂直和数量积的关系,向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $