北京市海淀区中国人民大学附属中学分校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

人大附中2024~2025学年度第一学期初三年级数学期中练习 2024年11月6日 说明：本试卷共三道大题28道小题，共7页，满分100分，考试时间120分钟． 请将答案全部作答在答题纸相应的位置上． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．下列剪纸图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移1个单位，得到抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是圆的直径，点，分别在直径所对的两个半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点是（　　　） A. B. C. D. 5. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 6. 下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是 … … … A. B. C. D. 8. 如图，是等边三角形，，，分别是边，，上的点（不与顶点重合）．给出下列两个结论： ①存在无数个是等边三角形； ②存在无数个是等腰直角三角形． 关于这两个结论的说法，正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①正确，②正确 D. ①错误，②错误 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 10. 关于的一元二次方程：的一个解是0，则a的值为_________． 11. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________． 12. 如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为_____． 13. 为圆上的两个定点，是上的动点（不与重合），若圆半径为，，则的度数为_____． 14. 1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是_____．（写出一个即可） 15. 如图，是的弦，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，若长为，则的最大值是_____． 16. 小聪在研究一个数字游戏，具体规则如下： ①第一轮的初始数字为85，经过若干轮，变换至91即为游戏胜利； ②每轮只能在以下两种变换中选择一种进行变换； 变换：将本轮初始数字乘以2；变换：将本轮初始数字减去3； ③每轮变换后得到的结果作为下一轮的初始数字． （1）小聪想利用除以3的余数分析：，．上式表明型的数经过一次变换后变为型的数，型的数经过一次变换后变为型的数．据此推断，想要游戏胜利至少需要进行_____次变换； （2）在变换进行次数最少的前提下，想要游戏胜利至少要进行_____次变换． 三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：； 18. 已知实数是的根，求的值． 19. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为． （1）线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，在图1中画出线段、； （2）线段绕点B顺时针旋转α（）得到线段，若D，B，F三点共线，则与的关系为 （用等式表示）． 20. 已知：关于的一元二次方程 （1）求证；该方程总有两个实数根； （2）请你给出一个整数的值，使得此时方程的解均为整数，并求出此时方程的解． 21. 已知：圆和圆外一点，求作：过点的圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，； ②作的角平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ④作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ，平分， （ ① ）（填推理的依据）． 为的直径，，在上， （ ② ）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（ ③ ）（填推理的依据）． 22. 如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？ 23. 某公司对其产品的年宣传费用为万元，这种产品的年销售量为吨，年利润为万元．它们之间满足如下关系：，．下表是近年公司的统计数据： 万元 吨 万元 （1）请你补全表格中的数据； （2）请在下面平面直角坐标系中描出点； （3）解决问题：当年宣传费用为__________万元时，年利润最大，此时利润为__________万元． 24. 赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． （1）求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； （2）据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 25. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 27. 如图，是等边三角形．是延长线上一点，连接并延长至点，使得．连接并延长，与延长线交于点． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，的数量关系并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和图形给出如下定义：如果图形上与点的距离为正整数的点恰有个，则称为图形关于点的特征值，记为．如图，已知的半径为．直线与轴交于点，与轴交于点． （1）当时，_____； （2）若在线段上存在点，使得是奇数，直接写出的取值范围； （3）若对于线段上任意一点，都有，直接写出的取值范围． 人大附中2024~2025学年度第一学期初三年级数学期中练习 2024年11月6日 说明：本试卷共三道大题28道小题，共7页，满分100分，考试时间120分钟． 请将答案全部作答在答题纸相应的位置上． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】（答案不唯一） 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】． 【19题答案】 【答案】（1） 如图1中，线段BE，BF即为所求； （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明;∵，∴该方程总有两个实数根； （2），， 【21题答案】 【答案】（1） 直线，为的切线，如图： （2）等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【22题答案】 【答案】圆O的半径为米 【23题答案】 【答案】（1） 补全表格中的数据如下： 万元 吨 万元 （2） 描点如下： （3）， 【24题答案】 【答案】（1） （2）5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞 【25题答案】 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线． （2） 【26题答案】 【答案】（1） （2）或 【27题答案】 【答案】（1） 补全图形如下： （2） 证明：设，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） ，证明如下： 如图，作，交于，则， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【28题答案】 【答案】（1）3 （2） （3）或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $