1.4解直角三角形知识梳理培优专题练习 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

1.4解直角三角形知识梳理培优专题练习北师大版2024—2025学年九年级下册

一、直角三角形的边角关系：

   在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．

   （1）三边之间的关系：a2+b2=_____；（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=______；

   （3）直角三角形斜边上的中线等于_______；

   （4）在直角三角形中，30°角所对的边等于_______．

  二、解直角三角形的四种类型：

 

三、30°，45°，60°的三角函数值

a	30°	45°	60°
sina
cosa
tana
cota

 

四、解直角三角形：       

只有下面两种情况：

  （1）已知两条边；

  （2）已知一条边和一个锐角

 

题型一、已知一个锐角的三角函数值和一条直角边

例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长.

 

 

 

 

例2、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．

（1）求BC的长；

（2）求sin∠DAE的值．

 

 

 

 

 

例3．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．

（1）求AC的长；

（2）求tan∠FBD的值．

 

 

 

例4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．

（1）若AE＝1，求△ABD的周长；

（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．

 

 

 题型二、已知一个锐角的三角函数值构造直角三角形

例1．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．

（1）求边AC的长；

（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．

 

 

 

 

 

例2．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BD，BC∥AD，连接AC交BD于点E，∠BAC＝∠ADB，且．

（1）求BD的长；

（2）若，求CD的长．

 

 

 

 

 

 

例3．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．

（1）求∠ABC的正弦值；

（2）求的值．