1. 4. 解直角三角形 (1) 教学设计 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学教学设计以“解直角三角形”为核心，通过知识回顾串联直角三角形边角关系，类比全等三角形判定探究定义，分类讨论“已知两边”“已知一边一角”两种情况，构建“定义-解法-应用”的完整知识体系，强化知识点内在逻辑。 亮点在于融入分类讨论、类比等思想，设计“例题解析-练习巩固-口诀总结”活动，如用“有斜用弦，无斜用切”提炼方法，分层作业兼顾基础与提升。培养学生推理意识、几何直观和模型意识，助力教师精准把握学情，提升复习效率。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 春季 课题 解直角三角形 教学目标 1.初步理解解直角三角形的含义。 2.能熟练运用直角三角形的边角关系解直角三角形.掌握解直角三角形的两种情况的方法. 3.探索解直角三角形的两种情况的解决方法，体会分类讨论、数形结合、类比的的思想方法，以及严密的逻辑体系. 教学重难点 教学重点： 解直角三角形两种情况的解决方法。 教学难点： 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 教学过程 一、知识回顾 1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？其中哪个角是已知的？ 一个直角三角形中共有：三个角∠A，∠B，∠C； 三条边a,b,c；共6个元素；其中已知了一个角是直角∠C=90° 2.在一个直角三角形中，其中∠C=90°，那么剩余五个元素之间有怎样的关系？ 三边满足勾股定理：a2+b2=c2 两锐角互余：∠A+∠B=90° 边与角的关系：sinA= cosA= tanA= sinB= cosB= tanB= 设计意图：复习之前学习直角三角形的知识，是因为这些知识是解决本节课问题的重要依据。 二、探究新知 （教师引导学生类比探究判定两个三角形全等的过程，从元素的个数入手） 思考1：在一个直角三角形中，除直角外还有5个元素（3条边、2个锐角），再给出一个元素，能否求出其它的所有元素？ 结论：给定一个元素是不能求出其他的所有元素。 思考2：在一个直角三角形中，除直角外还有5个元素（3条边、2个锐角），再给出两个元素，能否求出其它的所有元素？ （根据分类讨论的过程从而引出解直角三角形的定义） 定义：在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形. 设计意图：在解决问题的过程中引发学生形成分类讨论的数学思想，体会数学缜密的逻辑思维，从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯. 三、典型例题 例1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 ab，c，已知 ，求这个三角形的其他元素. 分析：已知元素：两条直角边a、b 未知元素：斜边 用勾股定理求 一个锐角 用锐角三角函数求 得∠A 另一个锐角 用两角互余求 解：在Rt△ABC 中，a2+b2=c2, a = ，b = ∴ c===2 在Rt△ABC 中， ∴∠B=30° ∴∠A=60° 归纳小结： 例2：在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且b=30，∠B=25°,解这个直角三角形.（ 边长精确到1.参考值：sin25°≈ 0.42，cos25°≈ 0.91，tan25°≈ 0.47，sin65°≈ 0.91，cos65°≈ 0.42，tan65°≈ 2.14 .） 分析：已知元素：一条直角边b 一个锐角∠B 未知元素：另一个锐角∠A 用两角互余求 另一条直角边a 斜边 解：在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=25°， ∴∠A=65°. ∵= ，b=30， ∴c==71. ∵= ,b=30, ∴a= = 64. 归纳小结 注意强调：鼓励学生用多种方法求解直角三角形，在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，尽量选择原始数据,避免累积误差. 设计意图：教师引导学生会分析已知元素、未知元素，能结合图形找到求解剩余元素的思路方法，并归纳总结方法，学生将学到的方法内化，能自主解决问题，提升解决问题的能力，强化逻辑思维。 四、学以致用 练习：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，已知，求这个三角形的其他元素. 归纳小结 设计意图：学生自主解决练习题，让学生体会并归纳常规解直角三角形的常规方法。解直角三角形时，最好先画出草图，并按照题意标出已知元素，以便于求解未知元素，关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形。 结论：由例题和练习总结出解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切； 宁乘勿除，化斜为直” 五、知识升华 六、课堂小结 1.解直角三角形的方法； 2.有角先求角，比较容易，无角先求边； 3.有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中 4.求边可能有多种方法，选取计算量较少的方法 5.熟练掌握特殊角的直角三角形的性质 6.不是特殊角三角函数计算时，利用科学计算机进行计算或者用给出的参考值计算。 数学思想：数形结合、分类讨论、类比思想 七、布置作业 巩固基础 1. 在直角△ABC中，∠C=90o，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a、b、c，已知c=20，∠B=60，则b的长度（ ）. A.10 B. C. D. 2.在Rt△ABC中，∠C=90o，若BC=，AB=，求出直角三角形的其他元素. 3.在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=3,AB=4,欲求出∠A的值，最适宜的做法（ ） A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出 C.计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B，再利用90o-∠B求出 4.教材17页知识技能 1、2题 能力提升（选做） 1.一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？ 2.在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4cm.求BC的长度. 预习作业 预习下一节内容，要求了解什么是仰角和俯角 学科网（北京）股份有限公司 $