专题18 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题18 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 2 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 2 模型2.等边截等长模型（定角模型） 3 模型3.等边内接等边 4 8 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 例1．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 例2．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 例3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边的边上一点，是延长线上一点，连接交于点，，过点作于点，，则线段的长度为 ． 例4．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在等边三角形中，，点D为边上任意一点，延长至点E，使，连接交于点F，于点G． (1)求证：；(2)求线段的长；(3)当为等腰三角形时，直接写出的长． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 例1．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、AC边上的两点，其中BD＝CE，连接AD、BE交于点P．求证：AD＝BE； 例2．（23-24浙江八年级上期中）如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ＝ 度． 例3．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 为等边三角形，，、相交于点，于．(1)求的度数；(2)若，，求的长． 例4．（23-24江苏八年级上期中）如图，点分别是边长为的等边的边上的动点（其中不与端点重合），点从顶点．点从顶点同时出发，且它们的速度都为．连接交于点，则在运动的过程中，下列结论：（1）；（2）；（3）的度数始终等于60；（4）当第秒成第秒时，为直角三角形，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 模型3.等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 例2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    例4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，过等边三角形的顶点A、B、C依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 2．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的点，且AE=BD，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A．45° B．60° C．65° D．75° 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点（其中P，Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下列结论：①AQ＝CP；②∠CMQ的度数等于60°；③当△PBQ为直角三角形时，t＝秒．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（23-24八年级上·湖南永州·期中）如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ）      A．3 B．2 C．1 D．0 6．（2024安徽·校考一模）如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（    ） A．PD=DQ B．DE=AC C．AE=CQ D．PQ⊥AB 7．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且，过点P作于点M，过点Q作交AC的延长线于点N，且，连接PQ交AC边于点D，则以下结论：①； ②；③为等边三角形；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在的延长线上，，于点E，于点G，交于点P，则以下结论：①；②；③；④中，一定正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 9．（2024八年级·重庆·培优）如图，在等边中，边长为12厘米，点D为边上一点，于点E，交于点G，交的延长线于点F，若，则的长度为 厘米．      10．（23-24八年级上·湖北十堰·期中）在中，，，点从点出发沿射线移动（运动到点停止），同时点从点出发沿线段的延长线移动，点，移动的速度相同（且同时停止），与相交于点．过点作于点，线段 ．    11．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，为延长线上一点，当时，连接交边于，则下面结论：①；②D为的中点；③；④；其中正确的结论有： ． 12．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 13．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：；(2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 14．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G． 求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）判断△ABC的形状，并说明理由． 15．（23-24八年级上·重庆綦江·期中）如图，中，，在线段上，在的延长线上，连交于，过作于． （1）若，，求的度数；（2）若，求证：． 16．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图，等边的顶点分别在等边的各边上，且于点E．若，求的长． 17．（2024八年级上·广东·专题练习）如图，是等边三角形，点、、G分别在边、、BC上，且，、、AG分别相交于点、P、Q．求证：△PQF是等边三角形． 18．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，是等边三角形，点分别是边上的点，且，求证：是等边三角形． 19．（23-24八年级上·河南信阳·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动：    【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？ (1)【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”． (2)【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题： 已知：如图2，在和中，，，．求证：． 请阅读并补全证明 证明：在上取一点，使．，　　． 又．而．　　． ，　　．又　　．．． (3)【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题：当点在线段上时，如图所示，求证：． 过点作交直线于点，若，，则______． 20．（23-24八年级上·广西贵港·期中）已知是等边三角形，边长为，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图1，为上的点，当时，求证：； (2)如图2，当点运动到的中点时，求的长； (3)如图3，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否会发生改变？若保持不变；请求出的长度，若改变，请说明理由． 21．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，是等边三角形，D、E分别是的边上的点，且，与相交于点P，于点F． (1)求证：；(2)求的度数；(3)若，，求的长． 22．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由； (3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 23．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，点、分别在射线、上．    (1)如图1，当点、分别在线段、上时，，求证：； (2)如图2，当点、分别在线段、的延长线上时，，判断是否依然成立，并说明理由； (3)如图3，当点在线段上，点在线段的延长线上，是边长为4的等边三角形，且，求线段的长； (4)如图4，在中，，，为边上任意一点（不与点，重合），为延长线上一点．判断与能否相等，若能，求的取值范围；若不能，说明理由． 24．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（P与点、不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设的长为，则_____，_____． (2)当时，求的长； (3)过点作交延长线于点，则，有怎样的关系?请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 2 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 2 模型2.等边截等长模型（定角模型） 3 模型3.等边内接等边 4 8 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 例1．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点． (1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)见详解(2)的长度保持不变，理由见详解 【分析】（1）过点作交于，根据题意可知，由平行线的性质以及等腰三角形的性质可推导，即可证明，然后证明，由全等三角形的性质证明即可；（2）由（1）可知，，由等腰三角形“三线合一”的性质可知，再由全等三角形的性质证明，即可推导，即为定值． 【详解】（1）证明：过点作交于，如下图， ∵点、同时出发，且移动的速度相同，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：的长度保持不变，理由如下：由（1）可知，， ∵，∴，由（1）可知，， ∴，∴，∴为定值． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解题意，正确作出辅助线是解题关键． 例2．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论；（3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； ②∵，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 例3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边的边上一点，是延长线上一点，连接交于点，，过点作于点，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质与判定，并利用中点构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，证明是等边三角形，得出，再证即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，， 是等边三角形，， ，是等边三角形， ，，， ， 在和中， ，，，，故答案为：． 例4．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在等边三角形中，，点D为边上任意一点，延长至点E，使，连接交于点F，于点G． (1)求证：；(2)求线段的长；(3)当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）作，先证，再证明即可得到结论； （2）证明，即可得到，求出结论即可； （3）先证是直角三角形，利用直接三角形性质求出的长． 【详解】（1）证明：作，交于点M， ，， 在等边三角形中，，， ，，，， ，，； （2）解：由（1）知：，，是等边三角形， ，，，， ； （3）解：的长为，理由如下：为等腰三角形时，，， ，， 设，则， 在中，，， ，解得：，的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形性质及判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及平行线的性质，掌握相关性质添加恰当的辅助线是解题关键． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 例1．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、AC边上的两点，其中BD＝CE，连接AD、BE交于点P．求证：AD＝BE； 【答案】见解析； 【分析】根据等边三角形的性质，即可得AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，又由BD=CE，利用SAS即可判定△ABD≌△BCE，即可得出结论； 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°， 在△ABD和△BCE，∴△ABD≌△BCE∴AD=BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质；证明三角形全等得出角相等是解决问题的关键． 例2．（23-24浙江八年级上期中）如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ＝ 度． 【答案】 【分析】根据已知条件证明，得到，再根据三角形的外角性质计算即可； 【详解】∵时等边三角形，∴，， 又∵AP＝CQ，在和中，， ∴，∴，∴， ∴；故答案是． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角性质，准确计算是解题的关键． 例3．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 为等边三角形，，、相交于点，于．(1)求的度数；(2)若，，求的长． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识解决问题．（1）根据等边三角形的性质，易证，利用全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得的度数；（2）利用（1）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，根据线段的和差及全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形，，， 在与中，，，，， ，． （2）解：，，，， ，，，，． 例4．（23-24江苏八年级上期中）如图，点分别是边长为的等边的边上的动点（其中不与端点重合），点从顶点．点从顶点同时出发，且它们的速度都为．连接交于点，则在运动的过程中，下列结论：（1）；（2）；（3）的度数始终等于60；（4）当第秒成第秒时，为直角三角形，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】（1）等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ；（2）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；（4）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°， 根据题意得：AP=BQ，∴BP=CQ，故（1）正确； 在△ABQ和△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS），（2）正确；∴∠AQB=∠CPA， ∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°，∴∠AMP=∠B=60°，∴∠QMC=60°，（3）正确； 设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm， 当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=， 当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=， ∴当第秒或秒时，△PBQ为直角三角形，（4）正确；故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABQ≌△CAP是解题的关键． 模型3.等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，先证明是等边三角形．得出．根据直角三角形的性质求出，证明，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，同理：，∴是等边三角形．∴． 在中，，∴，∴，∵，∴， 在与中，，∴ ∴，∴，∴的周长为．故选：B． 例2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴， 同理得：，∴， ∵的周长为15，∴，∴，故选：B． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 例3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定与性质，含角的直角三角形的特征．（1）根据等边三角形的性质得出进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可得出结论； （2）易证得，得出，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】（1）证明：为等边三角形，， ，，，， ，，，， ，，， ，是等边三角形； （2），， ，，， ，，， ，，． 例4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 【答案】（1）详见解析；（2）18 【分析】（1）由等边三角形的性质易得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，由已知易得BD=CE=AF，∠DEB=∠EFC，可得△BDE≌△CEF≌△AFD，由全等三角形的性质可得DE=FD=EF，证得结论； （2）首先由∠DEC=150°，易得∠FEC=90°，可得△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，可得∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，由直角三角形的性质可得CF=AD=BE=2BD=4，可得AB，易得结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵BD=CE，∴BD=CE=AF， 在△BDE与△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF， 同理可得△BDE≌△AFD，∴DE=FD，∴DE=FD=EF，∴△DEF为等边三角形； （2）解：∵∠DEC=150°，∠DEF=60°，∴∠FEC=90°， ∴△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°， ∵BD=CE=2，∴CF=AD=BE=2BD=4，∴AB=BC=AC=6，∴等边△ABC的周长为：6×3=18 【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定和全等三角形的性质及判定，综合利用各定理是解答此题关键． 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，过等边三角形的顶点A、B、C依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，以及含30度角的直角三角形的性质，根据题意可判定是等边三角形，在中利用含30度角的直角三角形的性质得，利用可判定，则，结合即可求得周长． 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形． ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 2．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的点，且AE=BD，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A．45° B．60° C．65° D．75° 【答案】B 【分析】根据题目中的条件判断,再利用外角定理得出,转化角度从而得出答案． 【详解】∵是等边三角形，且 ∴ ∴（SAS） ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定，掌握相关的角度转化是解题关键． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证△ABD≌△CAE，推出∠ABD=∠CAE，求出∠BPF=∠APD=60°，得出∠PBF=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC． ∴∠BAC=∠C． 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（SAS）． ∴∠ABD=∠CAE． ∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°． ∴∠BPF=∠APD=60°． ∵∠BFP=90°，∠BPF=60°， ∴∠PBF=30°． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解题的关键是求出∠PBF=30°． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点（其中P，Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下列结论：①AQ＝CP；②∠CMQ的度数等于60°；③当△PBQ为直角三角形时，t＝秒．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质得出∠B＝∠CAP＝60°，AB＝AC，证明△ABQ≌△CAP（SAS）可得出AQ＝CP，由三角形的外角可得出∠AMP＝∠B＝60°，故①，②正确，当△PBQ为直角三角形时，分两种情况，得出t的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠CAP＝60°，AB＝AC， 根据题意得：AP＝BQ， 在△ABQ和△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴AQ＝CP， 故①正确； ∵△ABQ≌△CAP， ∴∠AQB＝∠CPA， ∵∠BAQ+∠APC+∠AMP＝180°，∠BAQ+∠B+∠AQB＝180°， ∴∠AMP＝∠B＝60°， ∴∠CMQ＝60°， 故②正确； 当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴BP＝2BQ， ∴4﹣t＝2t， 解得，t＝， 当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP， ∴t＝2（4﹣t）， 解得，t＝， 综合以上可得△PBQ为直角三角形时，t＝或t＝． 故③不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质解题的关键． 5．（23-24八年级上·湖南永州·期中）如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ）      A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得，求出，然后利用三角形的内角和定理求出，判定②正确；求出，，，判定不是等腰三角形；求出，再求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后判断④． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， 在中， ，故②正确； ∵，， ∴， ∴不是等腰三角形，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，正确的有①②④． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键． 6．（2024安徽·校考一模）如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（    ） A．PD=DQ B．DE=AC C．AE=CQ D．PQ⊥AB 【答案】D 【详解】过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ中，，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A选项正确，∵AE=EF，∴DE=AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=AP=CQ，∴C选项正确，故选D． 7．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且，过点P作于点M，过点Q作交AC的延长线于点N，且，连接PQ交AC边于点D，则以下结论：①； ②；③为等边三角形；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由AAS可证△PDM≌△QDN，可得PD＝DQ，进而判断①正确；由“HL”可证Rt△APM≌Rt△CQN，求出∠A＝∠ACB，得到AB＝BC，进而判断②正确；根据全等三角形的性质求出MD＝DN＝CD＋CN＝CD＋AM，可判断④正确；根据题中条件无法得出为等边三角形，故③错误． 【详解】解：∵PM⊥AC，QN⊥AC， ∴∠PMD＝∠QND＝90°， 又∵∠PDM＝∠QDN，PM＝QN， ∴△PDM≌△QDN（AAS）， ∴PD＝DQ，故①正确； ∵PA＝CQ，PM＝QN，且PM⊥AC，QN⊥AC， ∴∠AMP＝∠CNQ＝90°， ∴Rt△APM≌Rt△CQN（HL） ∴∠A＝∠QCN， ∵∠ACB＝∠QCN， ∴∠A＝∠ACB， ∴AB＝BC，即②正确； ∵△PDM≌△QDN ，Rt△APM≌Rt△CQN， ∴MD＝DN ，AM＝CN， ∴MD＝CD＋CN＝CD＋AM， ∴DM＝AC，故④正确； 根据题中条件无法得出为等边三角形，故③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 8．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在的延长线上，，于点E，于点G，交于点P，则以下结论：①；②；③；④中，一定正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABD 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由等边三角形的性质可以证，进而得出，，得到，得出，，可知，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴ ∴，故①正确； 在和中， P ∴，故②正确； ∴， 只有当时，，则不一定等于，故③错误； ∵， ∴． ∵ ∴， 即PE=1．故④正确． 故选． 9．（2024八年级·重庆·培优）如图，在等边中，边长为12厘米，点D为边上一点，于点E，交于点G，交的延长线于点F，若，则的长度为 厘米．      【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，过点作，易得为等边三角形，得到，证明，得到，进而得到，即可，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形． 【详解】解：过点作， ∵等边，边长为12厘米， ∴，厘米 ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴厘米； 故答案为：6． 10．（23-24八年级上·湖北十堰·期中）在中，，，点从点出发沿射线移动（运动到点停止），同时点从点出发沿线段的延长线移动，点，移动的速度相同（且同时停止），与相交于点．过点作于点，线段 ．    【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点H，然后由题意易得，进而可证，最后根据全等三角形的性质可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点H，如图所示：    由题意得， ∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键． 11．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，为延长线上一点，当时，连接交边于，则下面结论：①；②D为的中点；③；④；其中正确的结论有： ． 【答案】②③④ 【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，进而逐一判断即可． 【详解】解：如图，过作交于． ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ， ，故①错误； ，， ， ，故③正确； 在和中， ， ， ，， 为的中点，故②正确； ， ， ，故④正确， 正确的结论有：②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定定理：，，，，． 12．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点Q作的延长线的垂线于点，根据等边三角形性质和对顶角的性质可得，再根据，，可证得，从而证得，得到，，从而求得等边三角形的边长，再根据等边三角形的性质即可解题． 【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：4． 13．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：；(2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 14．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G． 求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）△ABC是等腰三角形．理由见解析． 【分析】（1）利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF； （2）利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：（1）∵DG∥AC ∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）， 在△GDF和△CEF中 ， ∴△GDF≌△CEF（ASA）； （2）由（1）△GDF≌△CEF得DG＝CE 又∵BD＝CE， ∴BD＝DG， ∴∠DBG＝∠DGB， ∵DG∥AC， ∴∠DGB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握． 15．（23-24八年级上·重庆綦江·期中）如图，中，，在线段上，在的延长线上，连交于，过作于． （1）若，，求的度数；（2）若，求证：． 【答案】（1）55°；（2）见解析 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后计算即可得解； （2）过点作交于，根据两直线平行，同位角相等可得，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得，然后求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，即可得证． 【详解】解：（1），AB=AC， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：过点作交于， 则，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，等角对等边的性质，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 16．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图，等边的顶点分别在等边的各边上，且于点E．若，求的长． 【答案】 【分析】由题可证，则，由直角三角形的性质得，，因为，所以． 【详解】解：， ， ， 同理， 又，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质证明三角形全等． 17．（2024八年级上·广东·专题练习）如图，是等边三角形，点、、G分别在边、、BC上，且，、、AG分别相交于点、P、Q．求证：△PQF是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】先根据“SAS”证明△ACD≌△CBE，得到∠ACD=∠CBE，结合三角形外角的性质可证∠BFD=∠60°，进而可证△PQF是等边三角形． 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠BCE=60°，AC=CB， 又∵AD=CE， ∴△ACD≌△CBE（SAS）； ∴∠ACD=∠CBE， ∵∠ACB=∠ACD+∠BCF=60°， ∴∠BFD=∠CBE+∠BCF=∠ACD+∠BCF =60°， 同理可得，∠APE=60°， ∴△PQF是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，综合运用各知识点是解答本题的关键． 18．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，是等边三角形，点分别是边上的点，且，求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由等边三角形的性质可得，，进而由可以得到，由即可证明，得到，即可证明是等边三角形，掌握等边三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴是等边三角形． 19．（23-24八年级上·河南信阳·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动：    【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？ (1)【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”． (2)【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题： 已知：如图2，在和中，，，．求证：． 请阅读并补全证明 证明：在上取一点，使． ， 　　． 又． 而． 　　． ， 　　． 又　　． ． ． (3)【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题： 当点在线段上时，如图所示，求证：． 过点作交直线于点，若，，则______． 【答案】(1)不一定 (2)，，， (3)①见解析；②或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键； （1）观察图形，可知两个三角形不一定全等． （2）由等腰三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案； （3）①过点作交于点，证明，由全等三角形的性质得出．②分两情况画出图形，当点在线段上，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点，由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由图形可知两个三角形不一定全等； 故答案为：不一定； （2）证明：在上取一点，使． ， ． 又， 而， ． ， ， 又， ． ． 故答案为：，，，； （3）证明：①过点作交于点，如图3.1，    ，， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ． ②解：如图3.2，当点在线段上，    ，， ， ，， ， ； 如图3.3，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点， 同理可得，， ，， ， ， ． 的长为2或4． 故答案为：2或4． 20．（23-24八年级上·广西贵港·期中）已知是等边三角形，边长为，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图1，为上的点，当时，求证：； (2)如图2，当点运动到的中点时，求的长； (3)如图3，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否会发生改变？若保持不变；请求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据是等边三角形，，得出，根据点移动的速度相同，可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点作交于，根据题意得出，由（1）可知，则； （3）过点作交于，由（1）可知，，则，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1  是等边三角形， ， ， ， ， 点移动的速度相同 ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：如图2, 过点作交于， ∵点为的中点， ∴为的中点， ， ， 由（1）可知， ， ， ； （3）解：线段的长度不变，， 理由如下： 如图3，过点作交于， 由（1）可知， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 由（1）结论可知， 则， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 21．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，是等边三角形，D、E分别是的边上的点，且，与相交于点P，于点F． (1)求证：；(2)求的度数；(3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质； （1）由等边三角形的性质得出，，由即可证明； （2）由得出对应角相等，根据三角形的外角性质得出； （3）由含角的直角三角形的性质即可得出与的关系，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由； (3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是， (3)是， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据题意得到，再由等边三角形的性质得到，，据此可利用证明； （2）根据全等三角形的性质，则由三角形外角的性质可得； （3）先证明，再由等边三角形的性质推出，，进而证明得到，则． 【详解】（1）证明：点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发 ， 是等边三角形 ，， 在和中， ； （2）解：，是定值，理由如下： ， ； （3）解：，是定值，理由如下： 点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发 ， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ． 23．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，点、分别在射线、上．    (1)如图1，当点、分别在线段、上时，，求证：； (2)如图2，当点、分别在线段、的延长线上时，，判断是否依然成立，并说明理由； (3)如图3，当点在线段上，点在线段的延长线上，是边长为4的等边三角形，且，求线段的长； (4)如图4，在中，，，为边上任意一点（不与点，重合），为延长线上一点．判断与能否相等，若能，求的取值范围；若不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据，推出，再根据得出，即可求证； （2）用和（1）相同的方法，即可说明； （3）过点D作，交于点N，过点D作于点M，易证为等边三角形，则，根据勾股定理求出，再证明，得出，则，最后根据根据勾股定理求出即可求解； （4）若，在上截取， 和（1）同理可得，则，由图可得：当点P与点A重合时，取得最大值，此时最大，根据勾股定理可得，的，最后结合点E不与点A，B重合，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：过点D作，交于点N，过点D作于点M， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴；    （4）解：若， 在上截取， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由图可得：当点P与点A重合时，取得最大值，此时， 当时， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得：， 此时， ∵， ∴当取得最大值，也取得最大值，此时最大， ∵点E不与点A，B重合， ∴． 综上：当时，．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角行动的判定方法，以及全等三角形对应边相等． 24．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（P与点、不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设的长为，则_____，_____． (2)当时，求的长； (3)过点作交延长线于点，则，有怎样的关系?请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)且，见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质及线段的和差关系即可求解； （2）易得，由含度角的直角三角形的性质可得，解之，即可求得的长； （3）可证得，进而证得，即可得到． 【详解】（1）解：是边长为的等边三角形， ，， 设，则, 点，速度相同， ， ， 故答案为：，； （2）解：，， ， ， ， 解得：， ； （3）解：且，理由如下： 如图， ，， ， ， 是边长为的等边三角形， ，， 又， ， 点，速度相同， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$