专题16 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题16 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 2 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 2 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 21 47 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 例1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 ． 【答案】 【分析】过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高，连接PA、PB、PC，由△ABC的面积S＝BC•AM＝（BC•PD+AB•PF+AC•PE），可以得到BC•AM＝BC•PD+AB•PF+AC•PE，再由等边三角形的性质可以得到PD+PE+PF＝AM，，由此求解即可． 【详解】解：过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高，连接PA、PB、PC， 则△ABC的面积S＝BC•AM＝（BC•PD+AB•PF+AC•PE），∴BC•AM＝BC•PD+AB•PF+AC•PE， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AB＝BC＝AC， ， ∴BC•AM＝BC•PD+BC•PF+BC•PE＝BC•（PD+PF+PE），AB=2BD， ∴PD+PE+PF＝AM，，∴△ABC的高为AM=1+3+5＝9， ∴△ABC的边长为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够根据题意得到PD+PE+PF＝AM． 例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，连接、、，过B作于点G，根据面积相等得出，求出，得出，即可求出面积． 【详解】解：如图，连接、、，过B作于点G，    ∵，， ，，∴， ∴．故选：C 例3．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，是等边三角形内一点，且，，，以下4个结论：①；②；③；④若点到三边的距离分别为，，．则有，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】将绕点逆时针旋转到，得到是等边三角形，根据，得到直角三角形，且，，，从而得到；，；根据勾股定理，，根据等边三角形面积等于得到，利用同一图形的面积不变性，，选择即可． 【详解】如图，将绕点逆时针旋转到， 是等边三角形，，，， ， 是直角三角形，且，，；， ；故①②都正确； 根据勾股定理，得，如图，作于点，   是等边三角形，， ，故③正确； ，， ，，，故④正确，故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握等边的性质，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． 例4．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究:将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用：当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 【详解】（1），理由如下：连接、、，则 ∵等边三角形，∴，∵，， ∴， ∴，∴； （2），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形，∴，∵，， ∴， ∴，∴． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（2024·福建厦门·二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点为边上一动点，过作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，解题的关键是学会应用面积法解决问题． 先连接，过作于，求解及，再利用等面积法可得答案． 【详解】解：连接，过作于， 等腰，，，， ，； ，，，，故选：C． 例2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，．若，，则 ．    【答案】8 【分析】连接BP，过点E作EQ⊥BC于Q，根据矩形的性质可得∠A=90°，BC=，BC∥AD，从而得出AB=EQ，∠DEF=∠BFE，BF=10，根据折叠的性质可得ED=BE，∠BEF=∠DEF，根据等角对等边可得BE=BF=10，利用勾股定理求出AB，继而求出EQ，然后根据即可求出结论． 【详解】解：连接BP，过点E作EQ⊥BC于Q    ∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，BC=，BC∥AD ∴AB=EQ，∠DEF=∠BFE，BF=BC－CF=10由折叠的性质可得ED=BE，∠BEF=∠DEF ∴∠BFE=∠BEF∴BE=BF=10∴ED=10∴AE=AD－ED=6 由勾股定理可得AB=∴EQ=8 ∵∴ ∴∴故答案为：8． 【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和等角对等边是解决此题的关键． 例3．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践 问题情境  数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，是上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接．        【特例探究】（1）如图1．当为边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段，，之间的数量关系为________． 【深入探究】（2）如图2，当为边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】（3）如图3，当点在边的延长线上时． ①试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． ②当，，时，线段的长为________． 【答案】（1）；（2）（1）中的数量关系仍然成立．证明见解析；（3）①；②6 【分析】（1）由题意得出，则得出，可证出结论； （2）方法同（1）可得出结论；（3）①根据可得出结论； ②由三角形面积求出，则可得出答案． 【详解】解：（1），，， ，， ，．故答案为：． （2）（1）中的数量关系仍然成立． 证明：，，，， ，，． （3）①，，， ，，，； ②，，，，由①可知， ，故答案为：6． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形高的性质，三角形的面积，熟练掌握等积法是解题的关键． 例4．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法． 例如：在△ABC中，AB＝AC，点P是BC所在直线上一个动点，过P点作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分别为D、E，BF为腰AC上的高． 如图1，当点P在边BC上时，我们可得如下推理： ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∴AC▪BF＝AB▪PD+AC▪PE． ∵AB＝AC，∴AC▪BF＝AC▪（PD+PE）．∴BF＝PD+PE． 请模仿上述方法，完成下列问题：如图2，在上例的条件下，当点P运动到BC的延长线上时，试探究BF、PD、PE之间的关系，并说明理由． 【答案】BF＝PD﹣PE，理由见解析 【分析】连接AP，根据S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP列式，即可得到结论． 【详解】解：BF＝PD﹣PE， 理由如下：如图2，连接AP， ∵S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，∴AC•BF＝AB•PD﹣AC•PE， ∵AB＝AC，∴BF＝PD﹣PE． 【点睛】本题主要考查的是面积法的应用，根据题意作出辅助线，构造出三角形，根据三角形的面积公式求解是解答此题的关键． 例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形． (1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度． (2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC． ①求证：四边形ABDE为等邻角四边形； ②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由． (3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由． (4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 【答案】(1)55°(2)①见解析；②△BCD是等边三角形，理由见解析 (3)在点P的运动过程中，PM+PN＝CE，理由见解析(4)（6+2）dm 【分析】（1）由∠A=130°，∠B=120°知不可能还有内角与∠A、∠B相等（否则内角和大于360°），则∠C=∠D，即得∠D=55°；（2）①由ED//BC得∠EDB=∠DBC，根据对角线BD平分∠ABC得∠ABD=∠DBC，故∠ABD=∠EDB，即证四边形ABDE为等邻角四边形；②设∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°，由∠A+∠C+∠E=300°得3x+y=240，在△BCD中，x+2y=180，可解得，即∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，故△BCD是等边三角形；（3）过P作PGCE于G，由图象可得：四边形PMEG是矩形，再证明△PGC≌△CNP，得CG=PN，即有PM+PN＝EG+CG=CE；（4）作BHAD，由(3)中的结论可得：ED+EC=BH，设DH=xdm，利用BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2，解得x，求得BH，进而求出ED+EC，再根据斜中线定理求得△DEM与△CEN的周长之和． 【详解】（1）解：∵∠A=130°，∠B=120°，根据“等邻角四边形”定义可知： ∠C=∠D，∴∠D=(360°−130°−120°)÷2=55°； （2）①证明：∵ED//BC，∴∠EDB=∠DBC， ∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ABD=∠EDB，∴四边形ABDE为等邻角四边形， ②解：△BCD是等边三角形，理由如下：由①知：∠EDB=∠DBC=∠ABD， 设∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°， ∵∠A+∠C+∠E=300°，五边形ABCDE内角和为(5﹣2)×180°=540°， ∴∠EDC+∠ABC=540°－300°=240°，即：3x+y=240， 在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠C=180°，即x+2y=180， 由联立方程组，解得， ∴∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，∴△BCD是等边三角形； （3）解：在点P的运动过程中，PM+PN=CE，理由如下： 过P作PGCE于G，如图： ∵PMAB，CEAB，PGCE，∴∠PME=∠MEG=∠EGP=90°， ∴四边形PMEG是矩形，∴PM=EG，ME//PG，AB//PG，∴∠B=∠GPC， ∵∠B=∠NCP，∴∠GPC＝∠NCP，∵PNCD，∴∠PGC=∠CNP=90°， ∵CP=PC，∴△PGC≌△CNP（AAS），∴CG=PN，∴PM+PN＝EG+CG=CE， 即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于CE； （4）作BHAD，垂足为H，如图：由(3)中的结论可得：ED+EC=BH， 设DH=xdm，则AH=AD+DH=(3+x)dm， ∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°，∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2， ∵AB＝2，AD＝3，BD＝，∴()2﹣x2＝(2)2﹣(3+x)2，解得：x＝1， ∴BH2＝BD2﹣DH2，＝37﹣1＝36，∴BH＝6dm，∴ED+EC＝6， ∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M、N分别为AE、BE的中点， ∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE， ∴△DEM与△CEN的周长之和 DE+DM+EM+CN+EN+EC＝DE+AE+BE+EC＝DE+AB+EC＝DE+EC+AB＝6+2， ∴△DEM与△CEN的周长之和为(6+2)dm． 【点睛】本题考查多边形综合应用，涉及新定义等邻角四边形的证明，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图在ABC中，AB=AC，点O为边BC上的任一点，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，已知腰长为6，面积为15，则OE+OF=（   ） A．5 B．7.5 C．9 D．10 【答案】A 【分析】连接AO，过点C作，交AB于点H，根据求出CH，根据，得，，根据和AB=AC进行解答即可得． 【详解】解：如图所示，连接AO，过点C作，交AB于点H， ∴， ， 解得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵AB=AC， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是构造高CH和掌握三角形面积之间的关系． 2．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，DO⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边的距离分别为（    ） A．1，1，1 B．2，2，2 C．1，2，1 D．，， 【答案】B 【分析】由角平分线的性质易得OE=OF=OD，AE=AF，CE=CD，BD=BF，设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，所以6-x+8-x=10，解答即可． 【详解】解：连接OB， ∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足， ∴OE=OF=OD， 又∵OB是公共边， ∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL）， ∴BD=BF， 同理，AE=AF，CE=CD， ∵∠C=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE， ∴OECD是正方形， 设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x， ∴BF+FA=AB=10，即6-x+8-x=10， 解得x=2． 则OE=OF=OD=2． 故选：B． 【点睛】此题综合考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和正方形的判定等知识点，设未知数，并用未知数表示各边是关键． 3．（2024·重庆·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：先连接EF，由矩形的性质得出AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，由勾股定理求出BE，由SAS证明△ABE≌△DCE，得出BE=CE=，再由△BCE的面积=△BEF的面积+△CEF的面积，即可得出结果．如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，∵点E为AD中点，∴AE=DE=1，∴BE===，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴BE=CE=，∵△BCE的面积=△BEF的面积+△CEF的面积，∴BC×AB=BE×FG+CE×FH，即BE（FG+FH）=BC×AB，即（FG+FH）=2×3，解得：FG+FH=；故选D． 考点：矩形的性质． 4．（23-24八年级·重庆·期中）如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB＝AC＝10，BC＝12，且PD：PE：PF＝1：3：3，则AP的长为（　　） A． B． C．7 D．8 【答案】B 【分析】连接AP，根据角平分线的判定定理得到点P在∠A的平分线上，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，，BD=DC，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：连接：AP， ∵PD：PE：PF＝1：3：3，∴PE=PF，∵PE⊥AC，PF⊥AB，∴点P在∠A的平分线上， ∵AB＝AC，∴AP⊥BC，∵PD⊥BC，∴AD⊥BC， ∵BC＝12，∴BD=CD=BC=6，在 中，AB＝AC＝10， 由勾股定理得 ，设PD、PE、PF分别为x、3x、3x， ∵ ，即 ， 解得： ，∴ ．故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、角平分线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，由，设， ，，证明，得到为的角平分线，再根据，得到，根据三线合一及勾股定理求出，再根据，得到方程求解即可． 【详解】解：连接，，，如图，      由，设， ，，∵，，，， ∴，即，∴为的角平分线， 又∵，∴，∴为的中线， ∵，∴、、三点共线，∴， 在中，，∴ ∴，∴，∴，故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键． 6．（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，连接，，，根据等边三角形的性质可得，然后根据的面积的面积的面积的面积进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， ∴ ， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F.若，则 ． 【答案】 【分析】根据，结合已知条件，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接 于点E，于点F ， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键． 8．（23-24八年级下·广东河源·开学考试）如图，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，垂足分别为G、H，如果，那么的值为 ．    【答案】4 【分析】先证，过点E作，垂足为Q，证四边形是矩形，得，根据角平分线的性质得到求出． 【详解】解：过点E作，垂足为Q，如图， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 由折叠可得：． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 延长交于点R， ∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形, ∴ ∵平分，， ∴ ∴ 故答案是：4．    【点睛】本题主要考查矩形的性质，翻折变换（折叠问题），涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和平行线的性质等知识，也考查了运用已有的经验解决问题的能力． 9．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，过内一点P作三边垂线，垂足分别为D，E，F，已知，，，．则 ． 【答案】9 【分析】连接，，，设．，．则，，．由勾股定理分别建立方程①②③，又，即可得． 【详解】解：如图，连接，，， 设．，．则，，． 在和中，， 即①， 同理可得②， ③， ①②③，得：， ， ， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是设未知数，建立方程组进行求解． 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝4，PB＝2，PC＝2，以下五个结论：①∠BPC＝120°；②∠APC＝120°；③S△ABC＝14；④AB＝；⑤点P到△ABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG＝AB，其中正确的有 ． 【答案】②④⑤ 【分析】如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP，由全等三角形的性质可得AH＝AP＝4，BH＝PC＝2，∠AHB＝∠APC，可证△AHP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求∠HBP＝90°，由锐角三角函数可求∠HPB＝30°，可得∠AHB＝120°＝∠APC，∠BPC＝150°，可判断①②，由勾股定理可求AB的长，由等边三角形的面积公式可求△ABC的面积和PE＋PF＋PG的值，即可判断③④⑤． 【详解】如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP， ∴△APC≌△AHB，∠HAP＝60°， ∴AH＝AP＝4，BH＝PC＝2，∠AHB＝∠APC， ∴△AHP是等边三角形， ∴HP＝4，∠AHP＝∠APH＝60°， ∵HP2＝16，BH2＋BP2＝16， ∴HP2＝BH2＋BP2， ∴∠HBP＝90°， ∵HB=HP， ∴∠HPB＝30°， ∴∠BHP＝60°，∠APB＝∠HPB＋∠APH＝90°， ∴∠AHB＝∠AHP＋∠BHP＝120°＝∠APC， ∴∠BPC＝360°−∠APB−∠APC＝150°， 故①不符合题意，②符合题意， ∵∠APB＝90°， ∴AB＝， ∴S△ABC＝， 故③不合题意，④符合题意， 如图， ∵S△ABC＝AB×PG＋AC×PF＋BC×PE＝7， ∴××（PG＋PF＋PE）＝7 ∴PG＋PF＋PE＝=AB， 故⑤符合题意， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形的的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 11．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，为等边三角形，点是边上异于B，的任意一点，于点E．于点F．若边上的高线，则 ． 【答案】 【分析】 此题主要考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神． 先设，则，根据是等边三角形，得出，再利用三角函数求出和的长，即可得出的值． 【详解】 解： 边上的高线， ∴， 设，则， 是等边三角形， ． ∴，即， 同理可证：， ∴． 故答案为：． 12．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，点为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且到三角形三边的距离和为7，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以点为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立平面直角坐标系，设为根据已知和等面积法得到x、y的关系式，则可知点在直线上运动，当CP垂直该直线时，CP最小，求出CP所在的直线方程，联立方程组求点P坐标，再利用两点间距离公式即可求解． 【详解】如图所示，以点为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立平面直角坐标系， 设为，过作轴，轴，， ∴，，连接，，， ∴， ∴， 解得：， ∵到三角形三边的距离和为7， ∴， 即：， 整理得：， ∴点在直线上运动，设直线为， ∴当交于点时，最小， ∴，∴， 又∵直线过原点， ∴直线为：， 联立，解得：， ∴点为， ∴最小值为， 即：． 【点睛】本题是将几何图形问题转化为平面直角坐标系中的问题，涉及三角形的等面积法、求直线方程、直线方程的动点和最值问题、解二元一次方程组、两点间的距离公式等知识，解答的关键是找到相关知识的关联点，利用代数知识解决几何问题，是有一定难度的填空压轴题． 13．（2024八年级·广东·培优）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查三角形的概念，熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键，连接连接、，利用“等面积法”可得，从而得到，又，进而可得，即可得答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵﹐且，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·福建泉州·期中）求证：等腰三角形底边高上任一点到两腰的距离相等，结合所给图形，把“已知”、“求证”补充完整，并完成证明过程． 已知：在中，___________，为边上的 ___________，为上一点且满足，___________．求证：___________． 【答案】，高，， 【分析】根据等腰三角形的性质得出平分，再根据角平分线性质得出答案即可． 【详解】已知：在中，，为边上的高，为上一点且满足，，垂足分别为、，求证：， 证明：，为高，平分， ，，， 故答案为：，高，，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质，能熟记等腰三角形的性质是解此题的关键，①等腰三角形底边上的高平分顶角，②角平分线上的点到角两边的距离相等． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期中）教材回顾：证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图①，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，垂足分别为． 平分， _______． 同理_______ _______． 点P在的平分线上． 拓展研究 如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图②，在四边形中，的平分线相交于点O． 求证：（I）点O在的平分线上； （Ⅱ）． 逆向思考 满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图③，在四边形中，如果，那么它的四条角平分线交于一点吗？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理，全等三角形的判定和性质． （1）利用角平分线的性质证明得到，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）（I）过点O作，同（1）即可得证； （Ⅱ）证明，推出，同理推出，据此即可得证； （3）作出的角平分线，两条角平分线交于点O．过点O作，， ，垂足分别为．同理利用角平分线的性质和判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：过点P作，垂足分别为． 平分， ， 同理， ， 点P在的平分线上； （2）（I）过点O作，垂足分别为． 平分， ． 同理． ． 点O在的平分线上； （Ⅱ）， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理， ； （3）交于一点． 如图④，作出的角平分线，两条角平分线交于点O．过点O作，， ，垂足分别为． 同理（1）问的证明，可得， 又因为，可得， 所以（3）的问题可转化成：“如图⑤，已知，，，求证：平分平分．”          ④                            ⑤                     ⑥ 证明：延长至点，使，连接． ， ． ， 又， ． ， 平分平分． 16．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知中，，．        (1)当时，求的面积； (2)在（1）的条件下，若点O为此内一点，且O到三边的距离相等．作、、分别垂直于、、，求的长； (3)若，过内的点P向三边分别作垂线、、，且，求的长． 【答案】(1)的面积为30； (2)； (3)． 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）连接，根据三角形面积公式求出即可； （3）连接，构成6个直角三角形，分别根据3对直角三角形的斜边边长相等，可以列出方程求解． 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：， 即的面积为； （2）解：连接， ,   设， ∵， ∴， 解得：， 即； （3）解：如图，连接，   ， 设，则， 在和中， 有， 同理有：，， 将以上三式相加， 得， 即①， 又∵， ∴②， 由得：， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，主要是构建直角三角形，找到合适的直角三角形是解题的关键． 17．（23-24七年级下·上海·期中）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题： （1）若点P在一边BC上（图（1）），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （2）若当点P在△ABC内（图（2）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （3）若点P在△ABC外（图（3）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系___．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．） 【答案】（1）h=h1+h2，理由见解析；（2）h=h1+h2+h3，理由见解析；（3）h=h1+h2−h3 【分析】把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解． 【详解】 （1）h=h1+h2，理由如下： 连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC ∴BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PF 即BC⋅h=AB⋅h1+AC⋅h2 又∵△ABC是等边三角形 ∴BC=AB=AC， ∴h=h1+h2． （2）h=h1+h2+h3，理由如下： 连接AP、BP、CP，则S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP ∴BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PF+BC⋅PE 即BC⋅h=AB⋅h1+AC⋅h2+BC⋅h3 又∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=AC． ∴h=h1+h2+h3． （3）h=h1+h2−h3． 当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2−h3=h． 理由如下：连接PB，PC，PA 由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC−S△PBC， 即BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PE−BC⋅PF， ∵AB=BC=AC， ∴h1+h2−h3=h， 即h1+h2−h3=h． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点． 18．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图1,已知等边三角形ABC,点P为AB的中点,点D、E分别为边AC、BC上的点,∠APD＋∠BPE＝60°．(1)①若PD⊥AC,PE⊥BC,直接写出PD、PE的数量关系： ； ②如图1,证明：AP＝AD＋BE(2)如图2,点F、H分别在线段BC、AC上,连接线段PH、PF,若PD⊥PF且PD＝PF,HP⊥EP．求∠FHP的度数； 【答案】(1) ①PD＝PE；②见解析；(2) 45°． 【分析】（1）①易证△ADP≌△BEP，即可写出PD、PE的数量关系；②作PM∥BC交AC于M，易证△DPM≌△EPB，即可得出AP＝AD＋BE；（2）作PK⊥PH交CA于点K，证△PFH≌△PDK，即可得出∠FHP的度数 【详解】(1)①∵PD⊥AC,PE⊥BC，P为AB的中点, ∴△ADP≌△BEP（AAS） ∴PD＝PE； ②如图,作PM∥BC交AC于M． △ABC为等边三角形，则△APM为等边三角形． ∠DPM＋∠DPA＝60°，∠APD＋∠BPE＝60°， 则∠DPM＝∠EPB 又∵P为AB的中点， ∴MP=BP ∴△DPM≌△EPB DM＝EB                                    则AP＝AM＝AD＋EB． (2)①∵PD＝PE＝PF，∠DPF＝∠HPE＝90°，∠DPE＝120° 则∠DPF＝∠FPE＝30°，∠PEF＝∠PFE＝∠PDA＝75°， 可得∠AHP＝∠PKH ＝45°． 如图,作PK⊥PH交CA于点K，证△PFH≌△PDK，则∠PHF＝∠PKH＝45°． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形判定与性质. 19．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）小明在对本学期所学内容进行回顾与整理时，发现等腰三角形可以与许多知识产生奇妙的联系： (1)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“等面积法”给了小明以灵感，当“等面积法”与等腰三角形相联系时，小明发现：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．请你结合图1进行证明． 已知：如图中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于，于，于．求证：； (2)当勾股定理与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图2，现测得，，，，则阴影部分的面积为______平方米； (3)当最值与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图3，在中，，，E，P分别是上任意一点，若，，则的最小值是______； (4)当分类讨论与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图4，在长方形中，，延长到点，使，连接．若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，请直接写出______时，使为等腰三角形． 【答案】(1)证明详见解析；(2)144；(3)；(4)秒或4秒或秒． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、勾股定理与逆定理等知识点，解题的关键是：（1）利用等面积法证明即可；（2）先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，过点作于点，根据勾股定理、三线合一的性质求出，然后根据求解即可； （3）过点作，垂足为点，交于点，证明是的垂直平分线，则，此时的值最小，最小值为线段的长，然后根据等面积法求解即可； （4）分或或三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，于D，于，于F， ，，， 又，， ，． （2）解：在中，，，， ，，， 是直角三角形，；过点作于点，， ，，在中，， ，， ，． 故四边形展区（阴影部分）的面积是． （3）解：过点作，垂足为点，交于点， ，，，是的垂直平分线， ，，此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，，的面积， ，，故答案为：． （4）解：根据题意，得 若为等腰三角形则或或， 当时，，，，，． 当时，，，， 当时，，， 在中，．，． ，，． 综上所述：当秒或4秒或秒时，为等腰三角形． 20．（23-24八年级上·江苏·阶段练习）如图（1）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PD+PE＝BF． [思路梳理]：如图（2）：连接AP，必有S△APB+S△APC＝S△ABC，因为△ABP、△ACP和△ABC的底相等，所以三条高PD、PE和BF满足关系：PD+PE＝BF． [变式应用]：如图（3）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC的反向延长线上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PE﹣PD＝BF． [类比引申]：如图（4）：已知P是边长为4cm等边△ABC内部一点，作PD⊥BC于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，那么PD+PE+PF等于多少． [联想拓展]：已知某三角形的三条边分别是5cm、12cm、13cm，在平面上有一点P，它到此三角形的三边的距离相等，则这个距离等于多少． 【答案】[变式应用]证明见解析；[类比引申]2cm；[联想拓展]2cm． 【分析】[变式应用]：如图（3）：连接PA，利用面积法即可解决问题； [类比引申]：如图（4）：作AH⊥BC于H，连接PA，PB，PC．利用面积法即可解决问题； [联想拓展]：首先证明△ABC是直角三角形，再利用面积法求解即可解决问题； 【详解】[变式应用]证明：如图3中，连接PA， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC， ∴S△ABC＝AC•BF，S△PAC＝AC•PE，S△PAB＝AB•PD， 又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB，∴AC•BF＝AC•PE﹣AB•PD， 又∵AB＝AC，∴BF＝PE﹣PD． [类比引申]解：如图4中，作AH⊥BC于H，连接PA，PB，PC． ∵S△ABC＝BC•AH＝AB•PE+AC•PF+BC•PD， ∵AB＝BC＝AC＝4cm，AH⊥BC，∴BH＝CH＝2cm，AH＝2cm， ∴PE+PF+PD＝AH＝2cm，故答案为2cm． [联想拓展]解：∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，根据题意画图，如图所示： 连接AP，BP，CP．设PE＝PF＝PG＝x，S△ABC＝×AB×CB＝30， S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×30x＝15x，则15x＝30，x＝2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理等知识，利用面积法解决问题是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 2 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 2 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 21 47 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 例1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 ． 例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 例3．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，是等边三角形内一点，且，，，以下4个结论：①；②；③；④若点到三边的距离分别为，，．则有，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例4．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究:将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用：当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（2024·福建厦门·二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点为边上一动点，过作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，．若，，则 ．    例3．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践 问题情境  数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，是上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接．        【特例探究】（1）如图1．当为边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段，，之间的数量关系为________． 【深入探究】（2）如图2，当为边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】（3）如图3，当点在边的延长线上时． ①试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． ②当，，时，线段的长为________． 例4．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法． 例如：在△ABC中，AB＝AC，点P是BC所在直线上一个动点，过P点作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分别为D、E，BF为腰AC上的高． 如图1，当点P在边BC上时，我们可得如下推理： ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∴AC▪BF＝AB▪PD+AC▪PE． ∵AB＝AC，∴AC▪BF＝AC▪（PD+PE）．∴BF＝PD+PE． 请模仿上述方法，完成下列问题：如图2，在上例的条件下，当点P运动到BC的延长线上时，试探究BF、PD、PE之间的关系，并说明理由． 例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形． (1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度． (2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC． ①求证：四边形ABDE为等邻角四边形； ②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由． (3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由． (4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图在ABC中，AB=AC，点O为边BC上的任一点，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，已知腰长为6，面积为15，则OE+OF=（   ） A．5 B．7.5 C．9 D．10 2．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，DO⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边的距离分别为（    ） A．1，1，1 B．2，2，2 C．1，2，1 D．，， 3．（2024·重庆·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为（ ）. A． B． C． D． 4．（23-24八年级·重庆·期中）如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB＝AC＝10，BC＝12，且PD：PE：PF＝1：3：3，则AP的长为（　　） A． B． C．7 D．8 5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（    ）      A．7 B．5 C． D． 6．（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 7．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F.若，则 ． 8．（23-24八年级下·广东河源·开学考试）如图，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，垂足分别为G、H，如果，那么的值为 ．    9．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，过内一点P作三边垂线，垂足分别为D，E，F，已知，，，．则 ． 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝4，PB＝2，PC＝2，以下五个结论：①∠BPC＝120°；②∠APC＝120°；③S△ABC＝14；④AB＝；⑤点P到△ABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG＝AB，其中正确的有 ． 11．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，为等边三角形，点是边上异于B，的任意一点，于点E．于点F．若边上的高线，则 ． 12．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，点为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且到三角形三边的距离和为7，则的最小值为 ． 13．（2024八年级·广东·培优）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 14．（23-24八年级上·福建泉州·期中）求证：等腰三角形底边高上任一点到两腰的距离相等，结合所给图形，把“已知”、“求证”补充完整，并完成证明过程． 已知：在中，___________，为边上的 ___________，为上一点且满足，___________．求证：___________． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期中）教材回顾：证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图①，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，垂足分别为． 平分， _______．同理______________．点P在的平分线上． 拓展研究如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图②，在四边形中，的平分线相交于点O． 求证：（I）点O在的平分线上；（Ⅱ）． 逆向思考 满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？（3）如图③，在四边形中，如果，那么它的四条角平分线交于一点吗？说明理由． 16．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知中，，．        (1)当时，求的面积； (2)在（1）的条件下，若点O为此内一点，且O到三边的距离相等．作、、分别垂直于、、，求的长；(3)若，过内的点P向三边分别作垂线、、，且，求的长． 17．（23-24七年级下·上海·期中）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题： （1）若点P在一边BC上（图（1）），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （2）若当点P在△ABC内（图（2）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （3）若点P在△ABC外（图（3）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系___．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．） 18．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图1,已知等边三角形ABC,点P为AB的中点,点D、E分别为边AC、BC上的点,∠APD＋∠BPE＝60°．(1)①若PD⊥AC,PE⊥BC,直接写出PD、PE的数量关系： ； ②如图1,证明：AP＝AD＋BE(2)如图2,点F、H分别在线段BC、AC上,连接线段PH、PF,若PD⊥PF且PD＝PF,HP⊥EP．求∠FHP的度数； 19．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）小明在对本学期所学内容进行回顾与整理时，发现等腰三角形可以与许多知识产生奇妙的联系： (1)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“等面积法”给了小明以灵感，当“等面积法”与等腰三角形相联系时，小明发现：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．请你结合图1进行证明． 已知：如图中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于，于，于．求证：； (2)当勾股定理与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图2，现测得，，，，则阴影部分的面积为______平方米； (3)当最值与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图3，在中，，，E，P分别是上任意一点，若，，则的最小值是______； (4)当分类讨论与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图4，在长方形中，，延长到点，使，连接．若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，请直接写出______时，使为等腰三角形． 20．（23-24八年级上·江苏·阶段练习）如图（1）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PD+PE＝BF． [思路梳理]：如图（2）：连接AP，必有S△APB+S△APC＝S△ABC，因为△ABP、△ACP和△ABC的底相等，所以三条高PD、PE和BF满足关系：PD+PE＝BF． [变式应用]：如图（3）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC的反向延长线上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PE﹣PD＝BF． [类比引申]：如图（4）：已知P是边长为4cm等边△ABC内部一点，作PD⊥BC于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，那么PD+PE+PF等于多少． [联想拓展]：已知某三角形的三条边分别是5cm、12cm、13cm，在平面上有一点P，它到此三角形的三边的距离相等，则这个距离等于多少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$