精品解析：四川省自贡市荣县2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年上学期半期教学质量监测试题 九年级数学 一、选择题（本题有12个小题，每题4分，共48分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形． 故选B． 2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 点关于原点对称的点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称，熟练其规律是解决本题的关键．关于原点对称的两点的坐标的关系是横坐标、纵坐标都互为相反数，据此规律写出即可． 【详解】解：点关于原点对称的点B的坐标是． 故选A． 4. 如图，与关于O成中心对称，不一定成立的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质，即对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．据此解答即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴． 根据中心对称的性质得不出， ∴D不一定成立． 故选：D． 5. 用配方法解方程，应把方程的两边同时（ ） A. 加上 B. 减去 C. 加上 D. 减去 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据题意可知只需要把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上即可，据此可得答案． 【详解】解：， ， ， 则应把方程的两边同时加上， 故选：C． 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 可由的图象平移得到 B. 对称轴是直线 C. 图象有最低点 D. 顶点坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移问题，根据平移不会改变开口方向可判断A；根据二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为可判断B、D，根据二次项系数的符号即可判断C． 【详解】解：A、二次函数可以由向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，不可以由的图象平移得到，原说法错误，不符合题意； B、二次函数的对称轴为直线，原说法错误，不符合题意； C、二次函数的图象开口向上，有最小值，原说法正确，符合题意； D、二次函数的顶点坐标为，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 7. 方程2x2+x-4=0的解的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据题意得△=12-4×2×（-4）=1+32=33， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 8. 抛物线上有三点，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据抛物线解析式可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小， 点离对称轴最远，点在对称轴上， ， 故选：D． 9. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 故选：． 10. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0 C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0 【答案】C 【解析】 【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， （18﹣3x）（6﹣2x）=60， 化简整理得，x2﹣9x+8=0． 故选C． 11. 若抛物线的对称轴是直线，且经过点，则使函数值成立的x的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一交点为，再由，结合函数图象即可求得． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵， ∴使函数值成立的x的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 12. 已知二次函数的自变量与函数的部分对应值见表格，则下列结论：①；②；③方程的两根为；④．其中正确的有( ) A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，由表格可以得到二次函数图象经过点与点，这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决． 【详解】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点和点， 点与点是关于二次函数对称轴对称的， 二次函数的对称轴为直线， ∵时， ∴时，，故①不正确； 设二次函数解析式为， 代入点，得， ， 解得， 二次函数的解析式为：， ， 故④不正确； ，故②正确， 方程为， 即为， ，，故③正确， 综上，②③是正确的， 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 二次函数的二次项系数是____，一次项系数是____． 【答案】 ①. ## ②. 3 【解析】 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3， 故答案为：；3． 【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 14. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 15. 把抛物线向下平移1个单位，向左平移1个单位，所得的抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移，掌握图形平移规律是解题的关键，根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，由此即可求解． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位得，， 再向左平移1个单位得：， 故答案为：． 16. 关于的一元二次方程有一个根为零，那的值等于________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程列出关于系数m的新方程，通过解方程即可求得m的值． 【详解】∵关于x的方程mx2+x+m2+3m=0是一元二次方程， ∴m≠0. 根据题意,知x=0满足关于x的一元二次方程mx2+x+m2+3m=0， 则m2+3m=0,即m(m+3)=0， 解得,m=0(不合题意,舍去)，或m=−3. 故答案为-3. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义. 17. 如图，中，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在上，与交于点D，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，求出、即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， ∴， ，， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 18. 已知函数在上有最小值，则的值________． 【答案】或 【解析】 【分析】分析函数图象的开口方向和对称轴，进而可分析出函数在0≤x≤2上的增减性，结合函数的最小值为3，分类讨论可求出满足条件的a值． 【详解】配方得y=4（x﹣）2﹣2a+2，故函数图象开口朝上，且对称轴为x=． 当≤0，即a≤0时，当x=0时，y最小值=a2﹣2a+2=3，解得：a=1﹣或a=1+（舍）； 当0＜＜2，即0＜a＜4时，当x=时，y最小值=﹣2a+2=3，解得：a=﹣（舍）； 当≥2时，当x=2时，y最小值=16﹣8a+a2﹣2a+2=3，解得：a=5－（舍）或a=5+． 综上所述：a的值是1﹣或5+． 故答案为1﹣或5+． 【点睛】本题考查了的知识点是二次函数在定区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键． 三、解答题（本题8个小题，共78分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 20. 若函数是个二次函数． （1）求a的值； （2）求函数解析式，并求当时，y的值是多少？ 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，求函数值，根据二次函数定义求出是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入二次函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 21. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的表达式； （2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标 【解析】 【分析】（1）运用二次函数顶点式设二次函数解析式，将已知点坐标代入求解待定参数，从而确定解析式； （2）分别令，确定交点坐标． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数解析式为，抛物线过点，于是 ，解得， ∴． 即函数关系式为． 【小问2详解】 解：， 令，则，解得， ∴抛物线与x轴交点为． 令，则， ∴抛物线与y轴交点为． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，待定系数法，函数与方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移4个单位，画出平移后的； （2）以点为对称中心，画出与成中心对称的，此时四边形的形状是______； 【答案】（1）如图所示，即为所求 （2）如图所示，即为所求 平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了平移作图、画中心对称图形以及平行四边形的判定等知识点，作出对应点是作图关键． （1）将各顶点分别向右平移4个单位即可完成作图； （2）作出各顶点以点为对称中心的对应点即可完成作图；由可得四边形的形状是平行四边形； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴四边形的形状是平行四边形， 故答案为：平行四边形 23. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求k的值． 【答案】（1）且 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【小问1详解】 解：（1）由题意得 ∴ ∴ 故且； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 经检验，是该方程的解. 24. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销．试问当销售单价定为多少元时，商家销售该玩偶每天获得的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）20% （2）85元；1250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，根据数量关系，列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出8月份的销售量，列出方程求解即可； （2）设降价y元，日利润为m元，根据总利润=单件利润×销售量，列出函数解析式， 利用二次函数性质求解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意得： 解得：， (舍去) 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设降价y元，日利润为m元， 由题意得： ∴当时， ∴售价：元 答：当售价为每件85元时，日利润最大为1250元． 25. 如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． （1）填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； （2）求证：； （3）若，，求正方形的边长． 【答案】（1）A，90 （2） 证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）正方形的边长为 【解析】 【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【小问1详解】 解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 26. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； （3）若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离． 【答案】（1） （2） （3）；点P到直线的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，列式计算，解得，（舍去），故； （3）先求得直线的解析式，作轴交于K点，再设，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴：， 作轴交于K点， 设，则， ∴ ， ∴当时，最大为， ， ，且， 解得， ∴点P到直线的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期半期教学质量监测试题 九年级数学 一、选择题（本题有12个小题，每题4分，共48分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 3. 点关于原点对称的点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与关于O成中心对称，不一定成立的结论是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，应把方程的两边同时（ ） A. 加上 B. 减去 C. 加上 D. 减去 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 可由的图象平移得到 B. 对称轴是直线 C. 图象有最低点 D. 顶点坐标是 7. 方程2x2+x-4=0的解的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 8. 抛物线上有三点，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0 C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0 11. 若抛物线的对称轴是直线，且经过点，则使函数值成立的x的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 或 12. 已知二次函数的自变量与函数的部分对应值见表格，则下列结论：①；②；③方程的两根为；④．其中正确的有( ) A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 二次函数的二次项系数是____，一次项系数是____． 14. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 15. 把抛物线向下平移1个单位，向左平移1个单位，所得的抛物线的解析式是_______． 16. 关于的一元二次方程有一个根为零，那的值等于________． 17. 如图，中，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在上，与交于点D，则的面积为_____． 18. 已知函数在上有最小值，则的值________． 三、解答题（本题8个小题，共78分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 若函数是个二次函数． （1）求a的值； （2）求函数解析式，并求当时，y的值是多少？ 21. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的表达式； （2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移4个单位，画出平移后的； （2）以点为对称中心，画出与成中心对称的，此时四边形的形状是______； 23. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求k的值． 24. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销．试问当销售单价定为多少元时，商家销售该玩偶每天获得的利润最大，并求出最大利润． 25. 如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． （1）填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； （2）求证：； （3）若，，求正方形的边长． 26. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； （3）若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $