（计数问题专项讲义）专题2 容斥原理-小升初数学模块化思维提升（通用版）

专题2 容斥原理 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 容斥原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）． 容斥原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C 【典例一】47名同学参加了数学和语文考试，两门都没得100分的有26人，数学得满分的有17人，语文得百分的有12人，试问两门都得100分的有几人？ 【分析】两门都没得100分的有26人，那么至少一门得100分的就是人，由此根据语文、数学得100分的人数画图分析： 由此利用容斥原理即可求出两门都得100分的人数． 【解答】解：至少一门得100分的有：（人， 两门都得100分的有：（人， 答：两门都得100分的有8人． 【点评】此题考查了利用容斥原理解答问题的灵活应用，这里求出至少一门得100分的人数是解决问题的关键． 【典例二】六一班的王老师在一次数学测验中共出了三道题，结果做对第一题的有39人，做对第二题的有42人，做对第三题的有28人，同时做对第一、二题的有33人，做对第一、三题的有22人，做对第二、三题的有21人，全对的有17人，没有全错的．全班有多少人？ 【分析】因为全对的有17人，所以只做对第一题和第二题的有人，只做对第一、三题的有人，只做对第二、三题的有人，由此可以画图分析，观察图形可知，因为同时做对第一题和第二题的，同时做对第一、三题的，同时做对第二、三题的人数，重复加了1次，全做对的17人重复加了2次，把做对第一题、第二题、第三题的总人数加起来，减去重复加的人数，就得到这个班的总人数． 【解答】解：只做对第一题和第二题的有（人， 只做对第一、三题的有（人， 只做对第二、三题的有（人， ， ， （人； 答：这个班一共有50人． 【点评】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，利用画图法进行分析解答，可使计算过程更加简洁明了． 【典例三】东方小学的统计数据表明：学校共有学生1200名，其中男生650名，高年级学生300名，三好学生100名，男生中的三好学生60名，高年级学生中男生160名，高年级女生中三好学生20名，非高年级女生中不是三好学生的400名．试说明：这个统计数据一定有错误． 【分析】根据题干分析可得：（1）根据“全校女生550人，高年级女生140人，非高年级女生410人．女生中三好学生40人，”可以求出非高年级女生20人； （2）另一方面，根据“非高年级女生有410人，也可以求出非高年级女生三好学生10人，”，前后矛盾，说明统计数据一定有误． 【解答】解：（1）女生三好学生有：（人， 所以非高年级女生三好学生是：（人， （2）全校女生有：（人， 高年级女生有：（人， 则非高年级女生有：（人， 所以非高年级女生的三好学生有：（人， 根据上述两种方法求出的非高年级女生三好学生人数：， 所以原题中统计数据一定有错误． 【点评】解答此类问题的关键是：根据题干已知数据推理而得出相互矛盾的结论，即可论证数据有错误． 一．选择题（共8小题） 1．六（1）班有48人，其中喜欢打乒乓球，喜欢打篮球，没有人既不喜欢打乒乓球又不喜欢打篮球。两种球都喜欢的有　　人。 A．32 B．36 C．28 D．20 【分析】把全班的人数看作单位“1”，用全班的人数乘是喜欢打乒乓球的人数，用全班的人数乘是喜欢打篮球的人数，然后把这两种人数相加求出喜欢打乒乓球的人数与喜欢打篮球的人数和，再减去全班的人数就是两项运动都喜欢的人数。 【解答】解： （人 答：两种球都喜欢的有20人。 故选：。 【点评】两量重叠问题：类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数既是类又是类的元素个数。 2．九龙坡区今年五月份的天气有4种情况（如图），五月份至少有　　天是同一种天气。 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】把四种天气情况看作4个抽屉，五月有31天，把31天看作31个元素，然后根据抽屉原理解答即可。 【解答】解：（天（天 （天 答：五月份至少有8天是同一种天气。 故选：。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 3．下列4句话中正确的说法是哪些？　　 （1）步测一段距离，每步的平均长度和走的步数成反比例． （2）用4个圆心角是的扇形肯定可以拼成一个圆． （3）将形状、大小一样的红、白两种颜色的小球各5个，放在一个不透明的袋子里，任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性相等． （4）一个班有40名学生，其中有18人参加美术组，15人参加数学组，有10人这两个小组都参加，那么这两个小组都没参加的有17人． A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． （2）用4个圆心角是的扇形要拼成一个圆，还需要扇形的半径相等；据此解答即可． （3）将形状、大小一样的红、白两种颜色的小球各5个，红球和白球的个数相等，那么可能性就相等；据此解答即可． （4）有18人参加美术组，15人参加数学组，则参加的人数有人，其中有10人两个小组都参加（重复计算了一次），则实际参加的人数是人，那么两个小组都没参加的人数有人；据此解答即可． 【解答】解：（1）每步的平均长度走的步数步测一段距离（一定），是乘积一定，每步的平均长度和走的步数成反比例．所以原题说法正确． （2）只有用4个圆心角是，且半径相等的扇形才能拼成一个圆，所以原题说法错误． （3）因为，所以任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性相等；所以原题说法正确． （4）（人 （人 即这两个小组都没参加的有17人，所以原题说法正确． 综上所述，正确的说法（1）（3）（4）． 故选：． 【点评】本题考查的知识点比较多，要结合各自的特点和算理解答即可． 4．六（1）班有46人，喜欢打乒乓球的有32人，喜欢打羽毛球的有26人，既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有　　人。 A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】由题意可知，不喜欢打乒乓球的有（人，不喜欢打羽毛球的有（人；则不喜欢打羽毛球或乒乓球的人最多有（人，从而喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有（人，由此选择即可。 【解答】解：不喜欢打乒乓球的有：（人 不喜欢打羽毛球的有：（人 则不喜欢打羽毛球或乒乓球的人最多有：（人 从而喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有：（人 答：既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有12人。 故选：。 【点评】解答此题的关键是，在理解题意的基础上，利用最值问题，找准对应的量，列式解答即可。 5．某单位举办设有、、三个项目的趣味运动会，每位员工三个项目都可以报名参加。经统计，共有72名员工报名，其中参加、、三个项目的人数分别为26、32、38，三个项目都参加的有4人，则仅参加一个项目的员工人数是　　 A．48 B．40 C．52 D．44 【分析】三量重叠问题：类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数；据此解答即可。 【解答】解：（人 （人 （人 答：仅参加一个项目的员工有52人。 故选：。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 6．在一次国际会议上，人们发现与会代表中有10人是东欧人，有6人是亚太地区的，会说汉语的有6人。欧美地区的代表占了与会代表总数的以上，而东欧代表占了欧美代表的以上。由此可见，与会代表人数可能是　　 A．22人 B．21人 C．19人 D．18人 【分析】用东欧代表的人数除以，即可求出欧美地区的代表的人数，再用欧美地区的代表的人数除以，即可求出与会代表的总人数，去取整数解答。 【解答】解：（人 （人 答：与会代表人数可能是22人。 故选：。 【点评】本题考查分数除法的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 7．某班学生从颁奖大会上得知，该班获得奖励的情况如表所示： 人 数 项目 级 别 三好学生 优秀学生干部 优秀团员 市 级 3 2 3 校 级 18 6 12 已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有且只有13人，那么该班获奖励最多的一位同学获得的奖励最多为　　 A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 【分析】获奖人次共计人次，减去只获两项奖的13人计人次，则剩下人次，人，这15人中有只获一次奖的，有获三次以上奖的． 【解答】解：根据题意，要使“该班获得奖励最多的一位同学”获奖最多， 则让剩下的15人中的一人获奖最多，其余人获奖最少，只获一项奖励， 则获奖最多的人获奖项目为项． 故选：． 【点评】本题考查从统计表中获取信息的能力．统计表可以将大量数据的分类结果清晰、一目了然地表达出来． 8．有53人参加了英语兴趣小组和科学兴趣小组，其中参加英语兴趣小组的有32人，参加科学兴趣小组的有28人，英语兴趣小组和科学兴趣小组都参加的有　　人． A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据题意，把参加英语兴趣小组的人数与参加科学兴趣小组的人数相加，求出两者的和，由于把两个兴趣小组都参加的人数重复计算了1次，所以将两个兴趣小组的人数和再减去53人，就是英语兴趣小组和科学兴趣小组都参加的人数． 【解答】解： （人 答：英语兴趣小组和科学兴趣小组都参加的有7人． 故选：． 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题． 二．填空题（共8小题） 9．有两项社团活动，班级30名同学报名参加，每人至少参加一项，其中有的同学参加了科技社团，的同学参加了文艺社团。有 　14　人参加了两项社团活动。 【分析】先求出参加了科技社团和文艺社团的人数，根据容斥原理公式：既又总人数解答即可。 【解答】解：（人 （人 （人 答：有14人参加了两项社团活动。 故答案为：14。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 10．全班48位同学中有参加音舞类课外兴趣小组活动，有参加书画类课外兴趣小组活动，有5位同学两类课外兴趣小组活动都没有参加，有 　3　位同学两类课外兴趣小组活动都参加。 【分析】先用总人数乘分率和求出两个兴趣小组的人数和，然后再减去至少参加一组的人数和，就是两类课外兴趣小组活动都参加的人数。 【解答】解： （位 答：有3位同学两类课外兴趣小组活动都参加。 故答案为：3。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既又总数量（两种情况）。 11．（容斥原理）一次数学竞赛有，，三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题。在答对的人中，只答对的比还答对其他题目的多5人；在没答对的人中，答对的是答对的2倍；又知道只答对的等于只答对的与只答对的人数之和，那么答对的最多有 　23　人。 【分析】由题意得，如图所示：只答对的人数是，答对还答对其他题目的人数是，所以有：，化简得，然后对、进行取值，求得、，取、的最大值；因为答对的人共，把、的最大值代入中，解决问题。 【解答】解：只答对的人数是，答对还答对其他题目的人数是，所以有：。 化简得：。 因为、都为自然数，所以当时，；当时，； 即或； 答对的人共，把、的最大值代入中，最大值是： （人 答：答对的人最多有23人。 故答案为：23。 【点评】此题运用图示法，对集合元素和集合元素的确定，还要注意方程中未知数范围的确定。 12．对120种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是：含甲的62种，含乙的90种，含丙的68种；含甲、乙的48种，含甲、丙的36种，含乙、丙的50种；含甲、乙、丙的25种．问仅含维生素甲的有　3　种． 【分析】根据题意和容斥原理，知道仅含维生素甲的食物含甲的含甲、乙、丙含甲、乙的含甲、丙的食物的种类． 【解答】解：， ， （种． 答：仅含维生素甲的有3种． 故答案为：3． 【点评】解答此题的关键是，弄清题意，找出数量关系，根据容斥原理，列式解答即可． 13．五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有、、、、五个小组，若参加组的有15人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有4人。那么，参加组的有 　7　人。 【分析】分别设出组和两组的人数为未知数，列出不定方程，然后讨论求解。 【解答】解：设参加组的人数为人，参加组、组的人数均为人。 可得 因为参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同， 所以，且只能取奇数5、7、9。 经验证得，只有、时符合要求。 答：参加组的有7人。 故答案为：7。 【点评】列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数，正确列出方程。 14．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生．参加语文竞赛有120名女生，80名男生．已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是　15　人． 【分析】首先根据参加数学竞赛有120名男生，参加语文竞赛有80名男生，其中75名男生都参加了，求得参加竞赛的男生一共有多少人．进而根据该校总共有260名学生参加竞赛，求得参加竞赛的女生一共有多少人．再根据参加数学竞赛有80名女生，参加语文竞赛有120名男生，求得都参加的女生竞赛人数．利用80名女生参加数学竞赛，从而求得没有参加语文竞赛的女生人数． 【解答】解：男生一共有：（名． 女生一共有：（名； 设有名女生两科竞赛都参加了，则： ， （名． 答：那么参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有15名． 故答案为：15． 【点评】本题考查容斥定理．解决本题的关键是根据题意首先推断出两科都参加的人数，再算出两科都参加的女生人数． 15．六年级三个班共订阅了25种杂志，其中一班订了15种，二班订了16种，三班订了14种，一班和二班相同的有10种，二班和三班相同的有5种，一班和三班相同的有6种，三个班都订的杂志有　1　种． 【分析】根据容斥原理可得：三个班一共订了种，其中重复相加了一班和二班相同的有10种，二班和三班相同的有5种，一班和三班相同的有6种，所以一共有种，这比已知的25种少了1种，是因为三个班都订的杂志种数被重复多减了1次；据此即可解答． 【解答】解：根据题干分析可得：， ， （种， 答：三个班都订的杂志有1种． 【点评】此题主要考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，解答此类问题可以利用画图的方法帮助分析． 16．在一次考试中，某班数学得100分的有17人，语文得100的有13人，两科都得100分的有7人，两科至少有一科得100分的共有　23　人：全班45人中两科都不得100的有　　人． 【分析】两门都得100分的有7人，那么至少一门得100分的就是人，然后再用总人数45减去至少一门得100分的人数就是两科都不得100的人数． 【解答】解：至少一门得100分的有：（人， 两科都不得100的有：（人， 答：两科至少有一科得100分的共有23人：全班45人中两科都不得100的有22人． 故答案为：23，22． 【点评】此题考查了利用容斥原理解答问题的灵活应用，两量重叠问题：类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数既是类又是类的元素个数． 三．解答题（共9小题） 17．五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？ 【分析】由容斥原理可知：参加了英语课外小组的有32位同学加上参加了信息技术课外小组的有20位同学，再减去40人就是两个小组都参加的同学． 【解答】解： （位 答：两个小组都参加的同学12位． 【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：类类元素个数总和属于类元素个数属于类元素个数既是类又是类的元素个数． 18．四、五年级参加植树的共有多少人？ 【分析】先求出五年级的人数，五年级人数相当于的四年级人数。再加四年级人数就等于四五年级的总人数。 【解答】解： （人 答：四、五年级参加植树的共有180人。 【点评】准确找到单位“1”的量是解决本题的关键。 19．某校六年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数． 【分析】此题属于三者容斥原理，根据公式，这里、、、、，所以（人，都没参加的有（人，据此解答． 【解答】解：根据公式， 这里、、、、， 所以（人， 都没参加的有（人， 答：三个兴趣小组都没有参加的有14人． 【点评】此题考查了三者容斥原理公式的运用． 20．已知全班共有46人，有35人喜欢打篮球，还有35人喜欢踢足球，还有38人喜欢游泳，还有40人喜欢乒乓球，问四种运动都参加的至少有多少人？（体育项目与原题有出入） 【分析】如果46人4项均参加，项目总数应该是184人次；我们现在可以确定本题的项目总数有148人次，显然不是46人都参加了4项运动，要求四种运动都参加的人数最少，那就把参加3种活动都参加的人数最多，最多则为全班人都参加了3种活动，由此即可解答． 【解答】解：四种运动都参加的至少有： （人； 答：四种运动都参加的至少有10人． 【点评】最不利原则是小学奥数中最重要的解决问题的数学模型，常常和抽屉组合成题，也可以自己成题．构造一个最不利的模型，核心问题是边界的确定（临界状态） 21．某班有36名同学参加一项测试，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。若用长方形面积代表全班人数，大圆的面积代表第一题答对人数，小圆面积代表第二题答对人数，大小圆重叠部分面积代表两题都答对人数，两题都没答对的同学有多少名？ 【分析】依据题意结合图示可知，两题都没答对的同学人数总人数答对第一题人数只答对第二题人数，只答对第二题人数答对第二题人数两题都答对人数，由此列式计算即可。 【解答】解： （名 答：两题都没答对的同学有3名。 【点评】本题考查的是容斥原理的应用，解决这类问题可以通过画图来解答，这样更直观。 22．某年级有60人中有的同学爱打乒乓球，的同学爱踢足球，的同学爱打篮球，这三项运动都爱好的有24人，问这个年级最多有多少人这三项运动都不爱好？ 【分析】根据题干可得：爱打乒乓球的40人，爱踢足球的45人，爱打篮球的48人，去掉三种运动都爱的24人，则剩下的爱打乒乓球的16人，爱踢足球的21人，爱打篮球的24人，由此即可进行讨论推理解决问题． 【解答】解：爱打乒乓球的人数：（人， 爱踢足球的人数：（人， 爱打篮球的人数：（人， （人 （人 （人 因为，不爱乒乓球20人，不爱足球15人，不爱篮球12人，全爱好24人，全班60人， （人， 即不爱两种和三种都不爱的2倍之和， 为11人， 则三种都不爱的最多为； 答：这个年级最多有5人这三项运动都不爱好． 故答案为：5． 【点评】根据题干得出只喜欢两种运动或1种运动的人数，利用容斥原理进行推理讨论即可解答． 23．六（1）班一次数学测试，语文及格率是，数学及格率是，的人语、数都不及格，语、数两科都及格的有44人，六（1）班共有多少名学生？ 【分析】至少由一门不及格的人数有：，只有一门不及格的人数有：；那么语、数两科都及格的有：，它对应的数量就是44人，根据分数除法的意义，列式为：（人；据此解答． 【解答】解：至少由一门不及格的人数有：， 只有一门不及格的人数有：； 那么语、数两科都及格的有：， （人； 答：六（1）班共有50名学生． 【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出两科都及格的分率，知识点是：总人数既又． 24．某次考试共有5道题，考试结果统计如下：做对第一道题的占总人数的，做对第二道题的占总人数的，做对第三道题的占总人数的，做对第四道题的占总人数的，做对第五道题的占总人数的，如果做对三道以上（包括三道）题目为及格，那么这次考试的及格率至少是百分之几？ 【分析】设总人数为100人，则做对的总题数为题，错题数为题，为求出最低及格率，则令对三题的人尽量多：人，由此即可解得及格率为：． 【解答】解：设总人数为100人， 则错题总数为： ， ， （道， 所以对3道题的人最多有：（人， 故及格率最少是：， 答：这次考试的及格率至少是． 【点评】这个问题的统一解法就是设100道题，把错的题目都加起来，然后让尽量多的人错3（假设3个刚好不及格）个，由此即可解得最低的及格率． 25．科学兴趣小组的同学去采集标本．采集到昆虫标本的有25人，采集到植物标本的有19人，两种标本都采集到的有8人，兴趣小组共有42人．没有采集到标本的有多少人？ 【分析】根据“采集到昆虫标本的有25人，采集到植物标本的有19人，”可知：人包括三部分，只采集到昆虫标本的人数、只采集到植物标本的人数、两种都采集到的人数的2倍，所以至少采集到一种的总人数是：（人，那么，没有采集到标本的有（人，据此解答． 【解答】解：， ， （人； 答：没有采集到标本的有6人． 【点评】本题是典型的容斥问题，关键是求出至少采集到一种的总人数，解答规律是：类类元素个数总和属于类元素个数属于类元素个数既是类又是类的元素个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 容斥原理 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 容斥原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）． 容斥原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C 【典例一】47名同学参加了数学和语文考试，两门都没得100分的有26人，数学得满分的有17人，语文得百分的有12人，试问两门都得100分的有几人？ 【典例二】六一班的王老师在一次数学测验中共出了三道题，结果做对第一题的有39人，做对第二题的有42人，做对第三题的有28人，同时做对第一、二题的有33人，做对第一、三题的有22人，做对第二、三题的有21人，全对的有17人，没有全错的．全班有多少人？ 【典例三】东方小学的统计数据表明：学校共有学生1200名，其中男生650名，高年级学生300名，三好学生100名，男生中的三好学生60名，高年级学生中男生160名，高年级女生中三好学生20名，非高年级女生中不是三好学生的400名．试说明：这个统计数据一定有错误． 一．选择题（共8小题） 1．六（1）班有48人，其中喜欢打乒乓球，喜欢打篮球，没有人既不喜欢打乒乓球又不喜欢打篮球。两种球都喜欢的有　　人。 A．32 B．36 C．28 D．20 2．九龙坡区今年五月份的天气有4种情况（如图），五月份至少有　　天是同一种天气。 A．6 B．7 C．8 D．9 3．下列4句话中正确的说法是哪些？　　 （1）步测一段距离，每步的平均长度和走的步数成反比例． （2）用4个圆心角是的扇形肯定可以拼成一个圆． （3）将形状、大小一样的红、白两种颜色的小球各5个，放在一个不透明的袋子里，任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性相等． （4）一个班有40名学生，其中有18人参加美术组，15人参加数学组，有10人这两个小组都参加，那么这两个小组都没参加的有17人． A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 4．六（1）班有46人，喜欢打乒乓球的有32人，喜欢打羽毛球的有26人，既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有　　人。 A．11 B．12 C．13 D．14 5．某单位举办设有、、三个项目的趣味运动会，每位员工三个项目都可以报名参加。经统计，共有72名员工报名，其中参加、、三个项目的人数分别为26、32、38，三个项目都参加的有4人，则仅参加一个项目的员工人数是　　 A．48 B．40 C．52 D．44 6．在一次国际会议上，人们发现与会代表中有10人是东欧人，有6人是亚太地区的，会说汉语的有6人。欧美地区的代表占了与会代表总数的以上，而东欧代表占了欧美代表的以上。由此可见，与会代表人数可能是　　 A．22人 B．21人 C．19人 D．18人 7．某班学生从颁奖大会上得知，该班获得奖励的情况如表所示： 人 数 项目 级 别 三好学生 优秀学生干部 优秀团员 市 级 3 2 3 校 级 18 6 12 已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有且只有13人，那么该班获奖励最多的一位同学获得的奖励最多为　　 A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 8．有53人参加了英语兴趣小组和科学兴趣小组，其中参加英语兴趣小组的有32人，参加科学兴趣小组的有28人，英语兴趣小组和科学兴趣小组都参加的有　　人． A．6 B．7 C．8 D．9 二．填空题（共8小题） 9．有两项社团活动，班级30名同学报名参加，每人至少参加一项，其中有的同学参加了科技社团，的同学参加了文艺社团。有 　　人参加了两项社团活动。 10．全班48位同学中有参加音舞类课外兴趣小组活动，有参加书画类课外兴趣小组活动，有5位同学两类课外兴趣小组活动都没有参加，有 　　位同学两类课外兴趣小组活动都参加。 11．（容斥原理）一次数学竞赛有，，三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题。在答对的人中，只答对的比还答对其他题目的多5人；在没答对的人中，答对的是答对的2倍；又知道只答对的等于只答对的与只答对的人数之和，那么答对的最多有 　　人。 12．对120种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是：含甲的62种，含乙的90种，含丙的68种；含甲、乙的48种，含甲、丙的36种，含乙、丙的50种；含甲、乙、丙的25种．问仅含维生素甲的有　 　种． 13．五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有、、、、五个小组，若参加组的有15人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有4人。那么，参加组的有 　　人。 14．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生．参加语文竞赛有120名女生，80名男生．已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是　 　人． 15．六年级三个班共订阅了25种杂志，其中一班订了15种，二班订了16种，三班订了14种，一班和二班相同的有10种，二班和三班相同的有5种，一班和三班相同的有6种，三个班都订的杂志有　　种． 16．在一次考试中，某班数学得100分的有17人，语文得100的有13人，两科都得100分的有7人，两科至少有一科得100分的共有　　人：全班45人中两科都不得100的有　　人． 三．解答题（共9小题） 17．五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？ 18．四、五年级参加植树的共有多少人？ 19．某校六年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数． 20．已知全班共有46人，有35人喜欢打篮球，还有35人喜欢踢足球，还有38人喜欢游泳，还有40人喜欢乒乓球，问四种运动都参加的至少有多少人？（体育项目与原题有出入） 21．某班有36名同学参加一项测试，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。若用长方形面积代表全班人数，大圆的面积代表第一题答对人数，小圆面积代表第二题答对人数，大小圆重叠部分面积代表两题都答对人数，两题都没答对的同学有多少名？ 22．某年级有60人中有的同学爱打乒乓球，的同学爱踢足球，的同学爱打篮球，这三项运动都爱好的有24人，问这个年级最多有多少人这三项运动都不爱好？ 23．六（1）班一次数学测试，语文及格率是，数学及格率是，的人语、数都不及格，语、数两科都及格的有44人，六（1）班共有多少名学生？ 24．某次考试共有5道题，考试结果统计如下：做对第一道题的占总人数的，做对第二道题的占总人数的，做对第三道题的占总人数的，做对第四道题的占总人数的，做对第五道题的占总人数的，如果做对三道以上（包括三道）题目为及格，那么这次考试的及格率至少是百分之几？ 25．科学兴趣小组的同学去采集标本．采集到昆虫标本的有25人，采集到植物标本的有19人，两种标本都采集到的有8人，兴趣小组共有42人．没有采集到标本的有多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$