精品解析：河南省部分学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

大联考2024-2025学年（上）高一年级期中考试数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若幂函数在上单调递减，则实数的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且）在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. （1，4） D. 8. 已知是定义在上偶函数，其图象关于点中心对称，且时，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 如果函数在区间上单调递减，且函数在区间上单调递增，那么称是区间上的“可变函数”，区间叫做的“可变区间”.已知函数，则下列区间为的可变区间的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数定义域为，且是奇函数，函数，且在上单调递增，则下列命题为真命题的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_____. 13. 函数的定义域是_____. 14. 已知，且，则的最小值是_____，此时_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）设：，：，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 已知函数的图象与轴相交于点和，与轴相交于点. （1）求的解析式； （2）若当时，恒成立，求实数取值范围. 17. 锂是最轻的金属元素，被广泛应用于储能、化工、医药、冶金、电子工业等领域.某地有一处锂矿，探明的锂矿石储存量为吨，计划每年开采一些锂矿石，且每年的开采率（即当年开采量占该年年初储存量的比率）保持不变，到今年底为止，该锂矿已经开采了年，在此期间锂矿石开采的总量为吨. （1）求该锂矿每年开采率； （2）为了避免破坏当地的生态环境，锂矿石至少要保留吨不进行开采，则该锂矿今后最多还能开采多少年? 18. 已知是定义域为的奇函数. （1）求的解析式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求的值域. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大联考2024-2025学年（上）高一年级期中考试数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解不等式可得集合，由交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是把条件里的存在量词改为全称量词，否定结论. 【详解】命题“，”的否定为“”. 故选：C. 3. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，若，则，得出，即可求出的范围. 【详解】由，解得，则， 若，则，所以解得 故选：A 4. 若幂函数在上单调递减，则实数的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与单调性，建立方程与不等式，可得答案. 【详解】因为函数是幂函数，且在上单调递减，所以， 由方程，解得或；由不等式，解得， 故. 故选：A. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊点的值进行验证即可得答案. 【详解】解：由题意知，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，排除A； ，排除B；，排除C. 故选：D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化为同底数以后，根据指数函数单调性进行比较，根据，利用指数运算，可比较和的大小. 【详解】因为，，是增函数，所以，因为，所以，所以，即.综上，. 故选：C 7. 已知函数，且）在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. （1，4） D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数和指数函数的单调性来研究分段函数的单调性，特别要注意分段点处的函数值的大小比较. 【详解】因为在上单调递增，所以解得. 故选：B. 8. 已知是定义在上的偶函数，其图象关于点中心对称，且时，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性，建立方程，代入函数解析式可得答案. 【详解】因为的图象关于点对称，所以， 将代入，可得， 由是偶函数，所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性定义及利用解析式直接判断单调性，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，为上的奇函数，在定义域内不单调，A错误； 对于B，的定义域为，，该函数为奇函数， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递增， 函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为R，，是奇函数， 函数，均在上单调递增，则在上单调递增，C正确； 对于D，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：BC 10. 如果函数在区间上单调递减，且函数在区间上单调递增，那么称是区间上的“可变函数”，区间叫做的“可变区间”.已知函数，则下列区间为的可变区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合可变函数的定义，先求的减区间，再求的增区间，然后求出交集就可以判断选项了. 【详解】因为图象的对称轴为直线，所以在区间上单调递减， 又在和上单调递增， 的单调递减区间和的单调递增区间的交集为， 故的可变区间应该是该集合的子集，A，C符合条件. 故选：AC. 11. 已知函数的定义域为，且是奇函数，函数，且在上单调递增，则下列命题为真命题的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，根据是奇函数判断即可； 对B，先推导，再根据单调性判断即可； 对C，先根据单调性可得，再根据判断即可； 对D，数形结合判断与对称轴的大小关系即可. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象关于直线对称， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为的图象关于直线对称， 所以，所以，故C正确； 对于D，因，且， 的图象关于直线对称， 所以，解得，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式及指数幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 13. 函数的定义域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合根号建立不等式，利用分式不等式以及指数函数单调性，可得答案. 【详解】要使有意义，则，，解得. 要使有意义，则，，由函数是增函数，得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知，且，则的最小值是_____，此时_____ 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】根据题目中的等式，利用函数表示或分解因式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】解法一：因为，，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时等号成立，此时. 解法二：由，得，因为，所以， 故， 当且仅当，即，时等号成立，此时. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）设：，：，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由且，可得不等式组，求解即可； （2）根据命题关系转化为集合，的关系，得到不等式组，求解即可. 【小问1详解】 因为且， 所以，即， 解得或， 因为，所以， 即的取值范围是； 【小问2详解】 由已知，得， ， 因为是的必要不充分条件，所以，而， 所以，且等号不能同时成立，解得， 故的取值范围是. 16. 已知函数的图象与轴相交于点和，与轴相交于点. （1）求的解析式； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把方程的根和已知点代入方程，解出各个系数； （2）参变分离，得到，根据恒成立问题，得到的最小值，利用基本不等式求出的最小值，即可得所求范围. 【小问1详解】 由题意得， 解得， 所以； 【小问2详解】 由，整理可得 由条件知当时，恒成立. 因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为， 因恒成立，所以， 即实数的取值范围是. 17. 锂是最轻的金属元素，被广泛应用于储能、化工、医药、冶金、电子工业等领域.某地有一处锂矿，探明的锂矿石储存量为吨，计划每年开采一些锂矿石，且每年的开采率（即当年开采量占该年年初储存量的比率）保持不变，到今年底为止，该锂矿已经开采了年，在此期间锂矿石开采的总量为吨. （1）求该锂矿每年的开采率； （2）为了避免破坏当地的生态环境，锂矿石至少要保留吨不进行开采，则该锂矿今后最多还能开采多少年? 【答案】（1） （2）开采年 【解析】 【分析】（1）设该锂矿每年的开采率为，根据题意可得，求解即可； （2）根据已知题意列不等式，由指数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 设该锂矿每年的开采率为， 锂矿石开采的总量为吨，则剩余的锂矿石为吨， 所以，即， 解得， 故该锂矿每年的开采率为； 【小问2详解】 该锂矿今后继续开采年后，剩余的锂矿石为吨， 由题意知，， 得， 即， 因为是减函数，所以，得， 所以该锂矿今后最多还能开采年. 18. 已知是定义域为的奇函数. （1）求的解析式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数可得，再根据得出，进行的判断即可； （2）先判断的单调性，再根据单调性求解即可. 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数， 所以，所以 又，所以， 所以 因为，所以是奇函数，符合题意 小问2详解】 由（1）知. 任取，设， 因为是增函数，所以，所以，从而， 所以在上单调递减. 因为为奇函数， 所以恒成立， 即恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以，解得. 所以的取值范围为 19. 已知函数. （1）当时，求的值域. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果； （2）根据题意，分，，讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 令，则，， 所以的值域为； 【小问2详解】 令，，则，， 因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增， 只需在上单调递增， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 由是的图象的局部对称点，可得，， 代入整理得，① 令，则，， 代入①式得，， 当时，函数和均单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解；研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$