浙江省杭州市观成教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市观成教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（　　） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 2．（3分）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M 3．（3分）已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，则（　　） A．AC：BD＝3：2 B．BD：BF＝2：5 C．CD：EF＝2：3 D．CE：AC＝2：5 4．（3分）如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　） A． B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD 5．（3分）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（2，c）是抛物线y＝kx2+2kx+4（k＞0）上的三点，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 6．（3分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，如果a＜0，b＞0，c＜0，那么它的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（3分）如图，在⊙O中，C是上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，点C，D在半圆O上，，AD，BC相交于点E，的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 　 　． 12．（3分）如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为 　 　． 13．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝　 　°． 14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x 0 2 4 y 10 10 20 则4a﹣2b+c＝ 　 　． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是边AB上的中线，G为△ABC的重心，过点G作GN∥BC交AB于点N，那么△OGN的面积是 　 　． 16．（3分）已知关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常数），设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，某学习小组通过画图，探索，得到以下结论：①函数y0，y1，y2都是二次函数；②满足y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜1；③不论k取何实数，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的图象都经过点（1，0）和点（﹣1，2）；④当x＞1时满足y2＞y1＞y0，则以上结论正确的是　 　． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（6分）计算： （1）已知比例式3：x＝2：5，求x的值． （2）已知线段a＝4.5，线段b＝2，求线段a，b的比例中项线段c． 18．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（1，0） （1）求二次函数的表达式． （2）将二次函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出顶点坐标． 19．（8分）某大剧院有A，B，C三个完全相同的入口，D，E两个完全相同的出口，小明周末要去大剧院观看话剧表演，随机选择一个入口，结束后任选一个出口离开． （1）请用树状图或列表的方法，表示小明进出大剧院的所有可能路线； （2）求小明从B入口进入大剧院的概率． 20．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE． （1）求证：△ABD∽△ADE； （2）若CD＝3，CE＝，求AC的长． 21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE． （1）求证：CD⊥AB； （2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长． 22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元． （1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件； （2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（12分）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0）， ①b的值是 　 　，点B的坐标是 　 　； ②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围． 24．（12分）如图，半圆O的直径AB＝6．点C在半圆O上，连结AC，BC，过点O作OD∥AC分别交BC，于点E，D，连结AD交BC于点F． （1）求证：点D是的中点； （2）当△BOE与△FDE相似时，求线段OE的长． （3）将点O绕点F顺时针旋转90°到点G．当点G在线段AC上，求线段OE的长． 2024-2025学年浙江省杭州市观成教育集团九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（　　） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【答案】A 【分析】利用概率的意义结合具体的选项进行判断即可． 【解答】解：明天下雨的概率是85%，说明明天下雨的可能性比较大，但也可能下雨，也可能不下雨， 因此选项A符合题意， 故选：A． 2．（3分）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M 【答案】C 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 3．（3分）已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，则（　　） A．AC：BD＝3：2 B．BD：BF＝2：5 C．CD：EF＝2：3 D．CE：AC＝2：5 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到比例式BD：DF＝AC：CE，进而判断即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴BD：DF＝AC：CE＝2：3， ∴BD：BF＝2：5， 故选：B． 4．（3分）如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　） A． B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD 【答案】C 【分析】根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵OB⊥AC， ∴，故A正确，不符合题意； ∵BC＝CD， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD，故B正确，不符合题意； ∴AC＝BD， ∴AC＝BD＜BC+CD＝2CD，故C错误，符合题意； ∵OB＝OD，BC＝CD， ∴OC⊥BD，故D正确，不符合题意； 故选：C． 5．（3分）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（2，c）是抛物线y＝kx2+2kx+4（k＞0）上的三点，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【答案】A 【分析】求得抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【解答】解：∵y＝kx2+2kx+4（k＞0）， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∵点B（﹣1，b）在对称轴上，点C（3，c）最远， ∴b＜a＜c． 故选：A． 6．（3分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 红 黄 红 （红，红） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，黄） 共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：A． 7．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12， A．因为，对应边，， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似， 故此选项不符合题意； B．因为，对应边，又∠A＝∠A， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似， 故此选项符合题意； C．因为，对应边， 即：， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似， 故此选项不符合题意； D．因为，对应边，， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似， 故此选项不符合题意； 故选：B． 8．（3分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，如果a＜0，b＞0，c＜0，那么它的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c，a＜0，b＞0，c＜0和二次函数的性质，可知该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一定不经过第二象限． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，a＜0，b＞0，c＜0， ∴该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下， ∴该函数图象存在三种情况，如图所示， ∴它的图象一定不经过第二象限， 故选：B． 9．（3分）如图，在⊙O中，C是上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OD，根据垂直定义可得∠BOA＝90°，从而可得∠BOC＝90°﹣∠AOC，再根据等腰三角形的性质可得∠D＝∠C，然后根据已知和等量代换可得OD＝DE，从而可得∠DEO＝∠DOE＝，再利用三角形是外角性质可得∠DEO＝∠C+∠BOC，最后利用等量代换进行计算，即可解答． 【解答】解：连接OD， ∵OA⊥OB， ∴∠BOA＝90°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣∠AOC， ∵OD＝OC， ∴∠D＝∠C， ∵OD＝OA，OA＝DE， ∴OD＝DE， ∴∠DEO＝∠DOE＝＝， ∵∠DEO是△EOC的一个外角， ∴∠DEO＝∠C+∠BOC， ∴＝∠C+90°﹣∠AOC， ∴3∠C＝2∠AOC， ∴∠C＝∠AOC， 故选：C． 10．（3分）如图，点C，D在半圆O上，，AD，BC相交于点E，的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接AC，连接OD交BC于M，先证明AC＝BC，OD⊥BC，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，进而证明△ABC是等腰直角三角形，推出∠ABC＝45°，进一步证明△OBM是等腰直角三角形，则OM＝BM，设AC＝BC＝2a，则OM＝BM＝a，，，证明△ACE∽△DME，即可得到． 【解答】解：如图所示，连接AC，连接OD交BC于M， ∵， ∴AC＝BC，OD⊥BC，， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴△OBM是等腰直角三角形， ∴OM＝BM， 设AC＝BC＝2a， ∴OM＝BM＝a， ∴， ∴， ∵∠C＝90°，OD⊥BC， ∴AC∥OD， ∴△ACE∽△DME， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 　　． 【答案】． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：∵有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8，其中该卡片上的数是4的整数倍的数是4，8， ∴该卡片上的数是4的整数倍的概率是＝， 故答案为：． 12．（3分）如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为 　4π　． 【答案】4π． 【分析】把已知数据代入弧长公式计算即可． 【解答】解：由题意得弧AB的长为 ， 故答案为：4π． 13．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝　62　°． 【答案】62． 【分析】连接OC，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠BOC的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【解答】解：连接OC， ∵OB＝OC，∠OBC＝28°， ∴∠OCB＝∠OBC＝28°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝124°， ∴， 故答案为：62． 14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x 0 2 4 y 10 10 20 则4a﹣2b+c＝ 　20　． 【答案】20． 【分析】由表中数据得到点（0，10）和（2，10）为抛物线上的对称点，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，则x＝﹣2和x＝4对应的函数值都为20，即4a﹣2b+c＝20． 【解答】解：由表中数据得到点（0，10）和（2，10）为抛物线上的对称点， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∴x＝﹣2和x＝4对应的函数值都为20， 故4a﹣2b+c＝20． 故答案为：20． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是边AB上的中线，G为△ABC的重心，过点G作GN∥BC交AB于点N，那么△OGN的面积是 　0.5　． 【答案】0.5． 【分析】先证△ABC∽△OBE，由CO是边AB上的中线，可得OE的长，再证△ONG∽△OBC，根据G为△ABC的重心，可得△ONG与△OBC的面积比，可得△OGN的面积． 【解答】解： 过O作OE⊥BC，交BC于E， ∴∠ACB＝∠OEB＝90°， ∵∠ABC＝∠OBE， ∴△ABC∽△OBE， ∴＝＝， ∵CO是边AB上的中线， ∴＝， ∵AC＝3，BC＝6， ∴OE＝1.5，BE＝3， ＝4.5， ∵GN∥BC， ∴∠ONG＝∠OBC，∠OGN＝∠OCB， ∴△ONG∽△OBC， ∴（）2＝， ∵G为△ABC的重心， ∴＝， ∴＝， ∴S△ONG＝0.5， 故答案为：0.5． 16．（3分）已知关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常数），设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，某学习小组通过画图，探索，得到以下结论：①函数y0，y1，y2都是二次函数；②满足y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜1；③不论k取何实数，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的图象都经过点（1，0）和点（﹣1，2）；④当x＞1时满足y2＞y1＞y0，则以上结论正确的是　②③④　． 【答案】见试题解答内容 【分析】将k＝0，1，2代入可判定①，解不等式可判定②④，经过定点（1，0），（﹣1，2）可知k的系数为0，则可判定③． 【解答】解：当k分别取0，1，2时，所对应的函数解析式分别为： y0＝﹣x2﹣x+2， y1＝﹣x+1， y2＝x2﹣x， 由上可知，①错误； 若y1＞y2，则﹣x+1＞x2﹣x， ∴x2＜1， 即﹣1＜x＜1． 则②正确； ∵关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]＝（x2﹣1）k﹣x2﹣x+2， ∴当x＝±1时，函数值与k无关， 即当x＝1，y＝0， 当x＝﹣1，y＝2， ∴过定点（1，0），（﹣1，2）， 则③正确； 若﹣x+1＞﹣x2﹣x+2， ∴x＞1或x＜﹣1； 若x2﹣x＞﹣x+1， ∴x＞1或x＜﹣1， ∴当x＞1时，y2＞y1＞y0； 则④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（6分）计算： （1）已知比例式3：x＝2：5，求x的值． （2）已知线段a＝4.5，线段b＝2，求线段a，b的比例中项线段c． 【答案】（1）； （2）3． 【分析】（1）根据所给比例式，结合外项之积等于内项之积即可解决问题． （2）根据比例中项的定义，得出a，b，c之间的关系，再结合a，b的长度即可解决问题． 【解答】解：（1）由3：x＝2：5得， 2x＝3×5， 解得x＝， 故x的值是． （2）因为线段c是线段a和线段b的比例中项， 所以c2＝ab． 又因为线段a＝4.5，线段b＝2， 所以c2＝4.5×2＝9， 所以c＝3（舍负）， 故线段a，b的比例中项线段c为3． 18．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（1，0） （1）求二次函数的表达式． （2）将二次函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出顶点坐标． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）y＝（x+1）2﹣4，顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 【分析】（1）将点（0，﹣3），（1，0）代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式． （2）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（1，0）， ∴，解得：， ∴y＝x2+2x﹣3； （2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 19．（8分）某大剧院有A，B，C三个完全相同的入口，D，E两个完全相同的出口，小明周末要去大剧院观看话剧表演，随机选择一个入口，结束后任选一个出口离开． （1）请用树状图或列表的方法，表示小明进出大剧院的所有可能路线； （2）求小明从B入口进入大剧院的概率． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）画树状图，即可解决问题； （2）直接由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）画树状图如下： 所有等可能的结果有6种，即A﹣D、A﹣E、B﹣D、B﹣E、C﹣D、C﹣E； （2）∵大剧院有A，B，C三个完全相同的入口， ∴小明从B入口进入大剧院的概率为． 20．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE． （1）求证：△ABD∽△ADE； （2）若CD＝3，CE＝，求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由AD是∠BAC的角平分线可得出∠BAD＝∠EAD，由AD2＝AE•AB可得出＝，进而即可证出△ABD∽△ADE； （2）由△ABD∽△ADE可得出∠ADB＝∠AED，根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠CDE＝∠CAD，结合公共角相等可得出△DCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质即可求出AC的长度． 【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠EAD． ∵AD2＝AE•AB， ∴＝， ∴△ABD∽△ADE； （2）解：∵△ABD∽△ADE， ∴∠ADB＝∠AED． ∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD． 又∵∠DCE＝∠ACD， △DCE∽△ACD， ∴＝，即＝， ∴AC＝4． 21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE． （1）求证：CD⊥AB； （2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长． 【答案】（1）见解析； （2）AC＝． 【分析】（1）证明∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，即可得到∠CDE＝90°，由此得出CD⊥AB； （2）求出AB和BC的长，即可求出AC的长． 【解答】（1）证明：∵FA＝FE， ∴∠FAE＝∠AEF， ∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角， ∴∠FAE＝∠BCE， ∵∠AEF＝∠CEB， ∴∠CEB＝∠BCE， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE， ∴BE＝BC， ∵AF＝EF，FM⊥AB， ∴MA＝ME＝2，AE＝4， ∴圆的半径OA＝OB＝AE﹣OE＝3， ∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2， 在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°， ∴． 22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元． （1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件； （2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为200件； （2）商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元； （3）销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元． 【分析】（1）根据题意，可以列出算式250﹣（30﹣25）×10，然后计算即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意，可以写出利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式，即可求得W的最大值． 【解答】解：（1）由题意可得， 当销售价为每件30元时，每天的销售量为：250﹣（30﹣25）×10＝200（件）， 答：当销售价为每件30元时，每天的销售量为200件； （2）设销售单价应定为x元， 由题意可得，（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000， 解得x1＝30，x2＝40， 答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元； （3）由题意可得， W＝（x﹣20）×[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣35）2+2250， ∴当x＝35时，W取得最大值，此时W＝2250， 答：销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元． 23．（12分）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0）， ①b的值是 　﹣2　，点B的坐标是 　（﹣1，0）　； ②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）代入可得b，进而得二次函数解析式，从而可以求出B； ②依据题意，由①令y＝0，y＝5分别求出对应自变量进而可以得解； （2）依据题意，由不等式变形得x2+bx﹣3﹣t＞0，对于一切实数成立，即对函数y＝x2+bx﹣3﹣t与x轴无交点，可得Δ＜0，进而可以得解； （3）依据题意可得抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，从而求出b，进而得二次函数解析式，再由自变量x的取值范围是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范围． 【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）， ∴9+3b﹣3＝0． ∴b＝﹣2． ∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3． 令y＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0． ∴解得，x＝﹣1或x＝3． ∴B（﹣1，0）． 故答案为：﹣2；（﹣1，0）． ②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5， ∴x＝4或x＝﹣2． 又∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上． ∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分， ∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4． （2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立， 即x2+bx﹣3＞t恒成立． 即x2+bx﹣3﹣t＞0． ∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上， ∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0． ∴t＜﹣． （3）由题意，抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称， ∴对称轴x＝﹣＝． ∴b＝﹣3． ∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣． ∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5． 由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2， ∴m＜﹣． 24．（12分）如图，半圆O的直径AB＝6．点C在半圆O上，连结AC，BC，过点O作OD∥AC分别交BC，于点E，D，连结AD交BC于点F． （1）求证：点D是的中点； （2）当△BOE与△FDE相似时，求线段OE的长． （3）将点O绕点F顺时针旋转90°到点G．当点G在线段AC上，求线段OE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1.8． 【分析】（1）利用圆周角定理得到AC⊥BC，利用平行线的性质和垂径定理解答即可得出结论； （2）利用相似三角形的性质得到∠B＝∠D，利用同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠CAD＝DAB＝∠B＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质解答即可； （3）画出图形，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到CG＝EF，CF＝OE，设OE＝CF＝x，则AC＝2x，DE＝OD﹣OE＝3﹣x，利用相似三角形的判定与性质求得EF，BE，再利用勾股定理列出方程解答即可． 【解答】（ 1 ）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠C＝ 90°， ∴AC⊥BC． ∵OD∥AC， ∴OD⊥BC， ∴， ∴点D是的中点； （ 2 ）解：当△BOE与△FDE相似时，分两种情况： ①当∠DOB＝∠D时，不符合题意，舍去． ②当∠B＝∠D时， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠D， ∴∠OAD＝∠B， ∴， ∵， ∴， ∴∠CAD＝DAB＝∠B＝30°， ∵OD⊥BC， ∴OE＝OB＝AB＝． 即线段OE的长为； （3）解：如图： 由（ 1 ）知，∠C＝∠OEF＝ 90°， ∴∠CFG+∠CGF＝90°． 由旋转的性质可知：∠OFG＝ 90°，OF＝GF， ∴∠CFG+∠OFE ＝ 90°， ∴∠CGF＝EFO． 在△FCG和△OEF中， ， ∴△FCG≌△OEF（AAS）， ∴CG＝EF，CF＝OE． 由 ①得：OD∥AC， ∵OA＝OB， ∴OE为△BAC的中位线， ∴AC＝2OE． 设OE＝CF＝x，则AC＝2x，DE＝OD﹣OE＝3﹣x． ∵OD∥AC， ∴△FCA∽△FED， ∴， ∴． ∴EF＝． ∴BE＝CE＝CF+EF＝x+＝， ∵OE2+BE2＝OB2， ∴， 解得：x＝ 1.8或x＝﹣3（负数不合题意，舍去）， ∴OE＝1.8． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$