精品解析：贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期适应性月考（三）数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在区间内可导，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边过点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 7. 某校高二年级有80名同学参加2024年全国高中数学联赛，参赛的男生有45人，女生有35人.根据统计分析，男生成绩的平均数为，方差为，女生成绩的平均数为，方差为，参赛选手总体成绩的方差为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的定义域为 C. 有两个零点 D. 存在等差数列，满足 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 存在，使得的图象左移个单位长度后得到的图象关于原点对称 C. 当时，函数恰有三个零点，，，则的值是 D. 若在上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题：“，”为真命题，则的取值范围是______. 13. 如图，已知为双曲线右支上一点，过分别作双曲线的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，，则四边形的面积为______. 14. 已知，且，，则的值为______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 16. 如图，已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长都是2，过点B，D的平面满足. （1） 作出平面截该正四棱锥所得的截面，要求写出作法并证明； （2）求平面与底面ABCD所成的锐二面角的大小. 17. 已知函数，若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对. （1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）是否存在为函数的“平衡”数对，若存在，求的值，不存在说明理由. 18. 已知椭圆过点，且离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点为椭圆的右焦点，过作两条互相垂直的直线，且分别与椭圆相交得到弦，.设弦，的中点分别为，.证明：直线必过定点. 19. 某校组织了投篮活动帮助高三学生缓解压力，该活动的规则如下：①每个投篮人一次投一球，连续投多次；②当投中2次时，这个投篮人的投篮活动结束.已知某同学一次投篮命中率为，每次投篮之间相互独立.记该同学投篮次数为随机变量. （1）求该同学投篮次数为4次时结束比赛的概率； （2）求该同学投篮次数（不超过）的分布列； （3）在（2）的前提下，若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，即可得交集. 【详解】由题意得，， 则， 即， 故选：B. 2. 若函数在区间内可导，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】， 故选：D. 3. 在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数定义式，及同角三角函数关系式在齐次式中的应用可得解. 【详解】由已知得， 则， 故选：C. 4. 在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦值相等得到或，即可判断. 【详解】由，又， 所以或，为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 5. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由和差角公式将化简可得，，且，再由正弦函数的单调性，即可得到大小关系. 【详解】， ， ， 因为函数在上单调递增，所以， 故选：A. 6. 已知函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在R上单调递增，则在每一段上都单调递增，且在分段处左边函数值小于或等于右边的函数值，据此列式求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，解得，所以. 故选：C. 7. 某校高二年级有80名同学参加2024年全国高中数学联赛，参赛的男生有45人，女生有35人.根据统计分析，男生成绩的平均数为，方差为，女生成绩的平均数为，方差为，参赛选手总体成绩的方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分层方差与整体方差关系，即可得到结果. 【详解】设样本总体均值为，分层方差与整体方差关系： ，因为 所以. 故选：D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据联立直线与抛物线，结合根于系数关系及抛物线定义利用基本不等式可得最值. 【详解】由题意可知， 设直线方程，与抛物线交点，，，， 联立直线与抛物线，得， ，， 又根据抛物线定义可得，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列、等比数列求和公式及，推导出，不妨设，，是不为0的常数，即可表示出，，从而得解. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为等差数列的前项和； 等比数列的前项和； 又，所以等比数列的公比，即. 不妨设，，是不为0的常数， 所以当时， 当时， 则，， 所以，. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的定义域为 C. 有两个零点 D. 存在等差数列，满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由可判断，对于B，由可判断，对于C，由与的图像可判断，对于D，取，可判断. 【详解】对于A，因为，所以的图象关于点对称， A正确； 对于B，由解析式可知：，解得：，所以 的定义域为，B错误； 对于C，令，则，如图，作函数与的图象知有两个交点， 所以有两个零点，C正确； 对于D，当时，， 由，可得：满足题意，D正确， 故选:ACD. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 存在，使得的图象左移个单位长度后得到的图象关于原点对称 C. 当时，函数恰有三个零点，，，则的值是 D. 若在上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由周期为判断；对于B，由平移变换得到，再由求解判断；对于C，由函数，令，求解判断；对于D，令，由求解判断. 【详解】解：因为，所以周期， 对于A，由条件知，周期为，所以，故A错误； 对于B，函数图象左移个单位长度后得到的函数为， 其图象关于原点对称，则，解得，， 又，所以，B正确； 对于C，函数， 令，，可得：，. ，令，可得一条对称轴方程为， 令，可得一条对称轴方程为， 函数恰有三个零点， 可知，关于其中一条对称轴是对称的，即， ，关于其中一条对称轴是对称的，即， 那么，C正确； 对于D，令，由条件得， 解得，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题：“，”为真命题，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】通过，，三类情况讨论即可. 【详解】由题知，，恒成立. 当时，满足题意； 当时，二次函数开口向下，不满足题意；当时，即可，解得. 综上，. 故答案为： 13. 如图，已知为双曲线右支上一点，过分别作双曲线的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，，则四边形的面积为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意写出双曲线的渐近线方程，设，根据点到直线的距离公式求出和，利用面积公式求解即可. 【详解】由知，则，， 所以两条渐近线的方程分别为，， 因为，，且， 所以四边形为矩形， 设，则，， 所以， 因为，所以. 故答案为：2. 14. 已知，且，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用差角正切公式先求出，再求，进而求角即可. 【详解】解：因为，且， 所以. 又因为，所以， 因为，所以，所以. 因为， 所以. 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）增区间为，减区间为. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）求导，根据导数判断函数单调性即可得解. 【小问1详解】 当时，， 则，即， 又， 则切线方程为，即； 【小问2详解】 当时，，， 则，， 令，解得或（舍）， 则 极大值 的增区间为，减区间为. 16. 如图，已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长都是2，过点B，D的平面满足. （1） 作出平面截该正四棱锥所得的截面，要求写出作法并证明； （2）求平面与底面ABCD所成的锐二面角的大小. 【答案】（1） 如图，连接AC交BD于，取线段SC的中点，取线段EC的中点，连接AE，OF. 在正方形ABCD中，，可得， 又，可得 ， 平面ABCD于平面ABCD，. 又，，平面， 平面，平面SAC，则. 又，平面BDF， 平面BDF，故平面BDF即为所求平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于，取线段SC的中点，取线段EC的中点，然后证明 平面BDF； （2）构建空间直角坐标系，然后通过法向量求解锐二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，由题意，则，， 由（1）可知，分别为平面，平面ABCD的法向量. 设平面与底面ABCD所成的锐二面角为， 则，又， 故. 17. 已知函数，若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对. （1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）是否存在为函数的“平衡”数对，若存在，求的值，不存在说明理由. 【答案】（1） 若，假设函数为“可平衡”函数， 则对于定义域内的任意实数成立， 即对于定义域内的任意实数成立， 等价于对任意的实数均成立， 则需使，即， 故存在，使得为“可平衡”函数. （2） 【解析】 【分析】（1） 利用恒等式思想转化为系数为0时恒等于0，从而看是否存在待定系数来说明问题； （2）先利用恒等式转化，再利用新的函数思想来求最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设存在实数，，使得对于定义域内的任意实数， 均有成立，则有 . 由上式对于定义域内的任意实数成立， 所以，即 所以此时存在满足题意， 即此时取值为2. 18. 已知椭圆过点，且离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点为椭圆的右焦点，过作两条互相垂直的直线，且分别与椭圆相交得到弦，.设弦，的中点分别为，.证明：直线必过定点. 【答案】（1） （2） 当直线不垂直于坐标轴时， 设直线的方程为，，， 由，得直线的方程为， 由消去得：， 则，， 故， 于是，由代替，得， 当，即时，直线，过点； 当，即时，直线的斜率为， 直线， 令，， 因此直线恒过点. 当直线，之一垂直于轴，另一条必垂直于轴，直线为轴，过点， 所以直线恒过点. 【解析】 【分析】（1）根据题意确定出与的值，利用离心率公式求出的值，进而求出的值，确定出椭圆方程即可； （2）当直线不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，由，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到坐标，同理表示出，分情况求直线，证明其过定点；当直线，之一垂直于轴，另一条必垂直于轴，也过定点，命题得证. 【小问1详解】 依题意，，且，所以，. 又椭圆：过点，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键是求出的坐标，由此求出直线的方程，进而判断过定点. 19. 某校组织了投篮活动帮助高三学生缓解压力，该活动的规则如下：①每个投篮人一次投一球，连续投多次；②当投中2次时，这个投篮人的投篮活动结束.已知某同学一次投篮命中率为，每次投篮之间相互独立.记该同学投篮次数为随机变量. （1）求该同学投篮次数为4次时结束比赛的概率； （2）求该同学投篮次数（不超过）的分布列； （3）在（2）的前提下，若，求的最小值. 【答案】（1） （2）随机变量的分布列如下表， X 2 3 4 n P （3）4【解析】 【分析】（1）根据题意解独立重复试验即可得到答案； （2）根据题意先求出概率再列出分布列即可； （3）结合（2）化简可得，应用错位相减得出和最后结合数列单调性即可得到最小值. 【小问1详解】 根据题意，该同学投篮次数为4次时结束比赛，即投篮的前三次中只有一次投中，第四次必定投中， 所以投篮次数为4次时结束比赛的概率为. 【小问2详解】 依题意， 投篮次数的可能取值为2，3，4，， ， ， ， ， 随机变量的分布列如下表， X 2 3 4 n P 【小问3详解】 由（2）得：， 化简得， 即. 记①， 则②， 由①-②，可得， 即，解得， 由此可得，，即. 设， 因为，可得数列是递减数列. 又，， 所以整数n的最小值为4. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是错位相减法求出概率和，进而化简结合数列单调性即可解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $