27.6相似三角形有关计算与证明基础性解答题（重难点培优）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

27.6相似三角形有关计算与证明基础性解答题（重难点培优） 一、解答题 1．（21-22九年级上·福建宁德·阶段练习）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，中，点在边上，满足，若，，求的长． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是的中点，点在的延长线上，点在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点C，D在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，交于点F．点E在上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，在边上，，点O是的中点，连接并延长交于，求． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点、分别在边、上，，．若，求的长． 8．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，连接和，，若，，求的长． 9．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 10．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知点D、F在边AC上，点在边AC上，且，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 11．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 12．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，与相交于点，将、、的面积分别记为、、，当时，试探究、、有怎样的等量关系，并说明理由． 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，是上的点，是上一点，且，．求证：． 14．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，D是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 15．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，是等边三角形，点分别在边上，， (1)求证：； (2)若，，则的长． 16．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知：如图，在中，，平分，且．求证：． 17．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在和中，，．求证：    (1) (2) 18．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． (1)求证：； (2)如果．，求的值 19．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形是平行四边形，于点于点． (1)求证： (2)当时，求的长． 20．（24-25九年级上·贵州·期中）如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． (1)求证：； (2)用含x的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，当时，求x的值． 21．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，． (1)求证：； (2)当时，求的值． 22．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在中，． (1)在上求作点，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，求证 23．（24-25九年级上·北京平谷·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．猜想和之间的位置关系，并说明理由．    25．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 26．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，①求的长；②求的长． 28．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． 30．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在四边形中，点在边上，点在边上，且满足，． (1)联结，如果，求证：； (2)在（1）的条件下，如果，，那么________．（用含、的代数式表示） ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.6相似三角形有关计算与证明基础性解答题（重难点培优） 一、解答题 1．（21-22九年级上·福建宁德·阶段练习）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 解得：（负根舍去）． 2．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，中，点在边上，满足，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵ 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是的中点，点在的延长线上，点在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质结合已知可得，即可得证； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）∵ ∴， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点C，D在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定和等边三角形的性质，先证明，然后由为等边三角形可证明，从而可证明． 【详解】证明：为等边三角形， ，， ， ∵，，． ． ． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，交于点F．点E在上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明． （2）根据（1）中，得出，再根据对顶角相等，，证得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵，对顶角相等， ∴， ∴． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，在边上，，点O是的中点，连接并延长交于，求． 【答案】1∶3 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定．过D点作交于F，证明得到，再证明，得到，由，得到． 【详解】解：如图，过D点作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∵， ∴． ∴ 7．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点、分别在边、上，，．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．由，得到，再由即可得到，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 且， ∴， ∴， 又∵， ∴． 8．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，连接和，，若，，求的长． 【答案】1.5 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，则， ∴， ∴． 9．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法与性质． （1）根据，，可得，即可证明； （2）由，得到，即可求解． 【详解】（1）证明： 于点，， ， ， ； （2）解： ， ， ，，， ， ． 10．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知点D、F在边AC上，点在边AC上，且，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线分线段对应成比例，相似三角形的判定和性质： （1）利用平行线分线段成比例的定理以及相似三角形判定及性质即可得证； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴且, ∴, ∴, ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见继续 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 12．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，与相交于点，将、、的面积分别记为、、，当时，试探究、、有怎样的等量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的面积公式及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的面积公式可得，，由可证得，进而可得，于是得证． 【详解】解：，理由如下： 点到、的距离相等， ， 点到、的距离相等， ， ， ， ， ， ． 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，是上的点，是上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是证得． 由已知条件可证得，由相似三角形的性质可得； 【详解】证明： ，， ∴， ； 14．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，D是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 15．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，是等边三角形，点分别在边上，， (1)求证：； (2)若，，则的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）等边三角形的性质，得到，三角形的外角，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知：如图，在中，，平分，且．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质及平分线性质等，熟练掌握相关性质是解题关键． 先根据，判定，再根据相似三角形的性质，得出  ，再根据平分 ，得到，进而得到 ，最后根据 ，得出 即可． 【详解】证明：， ， 又， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 17．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在和中，，．求证：    (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握常见的相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用两角分别相等的两个三角形相似证明，从而得证． （2）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， 又∵， ∴，即， ∴． 18．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． (1)求证：； (2)如果．，求的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），结合（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【详解】（1）证明：∵分别是的高线， ∴． ∵， ∴； （2）在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形是平行四边形，于点于点． (1)求证： (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）先由平行四边形的性质得到，，再由垂直的定义得到，据此可证明得到，即； （2）根据相似三角形的性质可得，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴． 20．（24-25九年级上·贵州·期中）如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． (1)求证：； (2)用含x的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，当时，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），先根据三角形的外角的性质得，再根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），根据相似三角形的对应边成比例可得答案； 对于（3），将数值代入，再计算即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 即， ∴． （3）∵， ∴， 解得或． 21．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，． (1)求证：； (2)当时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据相似比的性质得出，，故可得出，由此即可得出结论； （2）先根据得出，再由得出，故可得出，同理可得，，故可得出根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论． 本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ，即， 同理可得，， ， ， ∴ ∵ ， ． 22．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在中，． (1)在上求作点，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，求证 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用和尺规作图． （1）已知是直角三角形，要使，则也是直角三角形，因此我们需要作点，使得； （2）根据（1）的条件，证明，根据相似三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）当 ，时，． 如图1所示，过点C作，垂足为D，则点D就是所求作的点． （2）∵ , ， , ，                  , 23．（24-25九年级上·北京平谷·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合得到； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 又∵ ∴； （2）解：∵ ∴，即 ∴． 24．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．猜想和之间的位置关系，并说明理由．    【答案】，理由见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，再证明得到，再根据三角形内角和定理证明即可得到结论． 【详解】解：．理由如下： ， ，即， 又， ， ． ， ， ， ，即． 25．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出的长，根据四边形的对边相等可得，即可求解． 【详解】（1）证明：由四边形为平行四边形可知，， ， ， 又， ． （2）解：由（1）得， ， ∵， ， ∴， 在平行四边形中，． 27．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，①求的长；②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①2；② 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和问题，相似三角形的判定与性质． （1）根据等边对等角，角平分线的定义，推出，，即可得证； （2）①根据等腰三角形等角对等边即可求解；②根据相似三角形的性质得到，进而得到代入数据计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴； （2）解：①， ， ， ， ； ②∵，，， ∴，即， ∴（负值舍去）． 28．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的判定证得结论； （2）证明得到求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）证明，得到，即可证明结论； （2）由可得，即可证明相似； （3）根据相似三角形的性质，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ； （2）证明：∵， ， ∵， ， ； （3）解：由（2）得， ， ， ， ， ， ． 30．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在四边形中，点在边上，点在边上，且满足，． (1)联结，如果，求证：； (2)在（1）的条件下，如果，，那么________．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定与性质，熟记相关结论是解题关键． （1）延长交于点，根据可得，结合，可推出，即可求证； （2）由可得，推出，得到，进而得；根据可得，根据即可求解； 【详解】（1）证明：延长交于点，如图所示： ∵， ∴， 即： ∵，． ∴， ∴， 即：， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． ( 28 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$