精品解析：四川省宜宾市三中教育集团2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

宜宾市三中教育集团20242025学年秋期高2023级半期质量检测 数学学科 （全卷满分150分，完成时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 12 4. 若正方体的棱长为3，则点B与到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆 的蒙日圆有且仅有两个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程表示曲线，则下列结论正确的是 （ ） A. 若曲线是圆，则该圆的半径为 B. 若曲线是椭圆，则且 C. 若曲线是双曲线，则或 D. 若曲线是双曲线，则焦距为定值 10. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（ ） A. 平面EAD 平面FCB B. 平面EAD 平面ECB C. 异面直线与所成的角为 D. 若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.(注意: 在试题卷上作答无效) 12. 已知直线，，若，则实数_______ 13. 过点的直线与曲线相交于 两点，为坐标原点，则面积的最大值为_________. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知平面内两点，． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程． （2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 16. 已知椭圆的焦点是，，且，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值. 17. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当四边形PAMB的面积为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D． （1）求证：平面BDE； （2）若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值； （3）在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市三中教育集团20242025学年秋期高2023级半期质量检测 数学学科 （全卷满分150分，完成时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点求出直线斜率即可得解. 【详解】设倾斜角为，因为，所以，又，所以. 故选：D 2. 已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得， 因此，该双曲线的方程为. 故选：C. 3. 已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 故选：D. 4. 若正方体的棱长为3，则点B与到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三棱锥等体积法，列式求解. 【详解】设点到平面的距离为，由正方体棱长为3， 所以，则， ， 由，得， 即，解得. 所以点到平面的距离为. 故选：A. 5. 已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为； 点和到直线的距离相等可知， 解得或. 故选：C 6. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆 的蒙日圆有且仅有两个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据蒙日圆的定义求出椭圆的蒙日圆，再利用两圆的位置关系求解. 【详解】根据题意，椭圆的蒙日圆方程为，圆心为，半径为2， 因为圆与只有两个交点，即两圆相交， ，解得. 所以的取值范围为. 故选：C. 7. 已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出点的轨迹方程，设过点的直线与椭圆交于，，求出所以直线的斜率，求出直线的方程. 【详解】设，则， 所以点的轨迹方程为， 设过点的直线与椭圆交于，， 所以，所以， 因为为中点，所以，， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：B. 8. 已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的对称性可得，结合椭圆的定义和勾股定理求得答案. 【详解】如图，由得，，所以是直角三角形， 又由椭圆是中心对称图形，可知四边形是平行四边形，即， 又，，则，， 又因为，是直角三角形， 所以，即，即， 所以． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程表示曲线，则下列结论正确的是 （ ） A. 若曲线是圆，则该圆的半径为 B. 若曲线是椭圆，则且 C. 若曲线是双曲线，则或 D. 若曲线是双曲线，则焦距为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据描述列不等式组求出，可得圆的方程，即可判断A；根据描述列不等式组即可判断B，C；分两种情况分别求出焦距即可判断D. 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得， 所以方程为，所以圆的半径为，故A正确； 对于B，若曲线是椭圆，则， 解得且，故B正确； 对于C，若曲线是双曲线，则， 解得或，故C正确； 对于D，若曲线是双曲线，则或， 当时，，， 所以焦距为， 当时，，， 所以焦距为， 所以焦距不是定值，故D不正确. 故选：ABC. 10. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，求出的最小值，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则， 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为，B对； 对于C选项，当取最小值时，， 因为直线的斜率为，则，此时，直线的方程为， 联立可得，此时，点，线段的中点为， 因为，且， 所以，四边形为正方形，此时，， 且直线过线段的中点，则直线的方程为，即，C对； 对于D选项，设， 因为，则， 因为，则，且为的中点， 所以，，且， 当时，取最小值，此时，， 故，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法 （1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式. 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（ ） A. 平面EAD 平面FCB B. 平面EAD 平面ECB C. 异面直线与所成的角为 D. 若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明，根据面面平行的判定定理即可判断A；分别取AD、BC中点M、N，连接MN，由，可得平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行，证得，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角，利用余弦定理判断是否为直角，即可判断B；利用平行直线得出异面直线所成的角，然后利用正三角形可判断C；利用空间向量法求角判断D 【详解】连接AC、BD、EF， 根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF，的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以， 又平面EAD，平面EAD，，所以FC//平面EAD， 平面EAD，平面EAD，所以平面EAD， FB//平面EAD，FC//平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F， 所以平面EAD//平面FCB，故A对； 分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O， 由，平面BCE，平面BCE，所以AD平面BCE， 又平面ADE，则平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行， 因为都是等边三角形，所以， 所以，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角， 设，则，，， 所以，故B错误； 由EF与AC垂直相交，且长度相等，则四边形AECF是正方形，所以， 则直线与所成的角即为BF与CF所成角， 正中，，故异面直线与所成的角为，故C对； 根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令， 则， 所以， 设平面FAD的一个法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面FAD的一个法向量为， 因为点P为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线AP与平面FAD 成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围，故D对； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.(注意: 在试题卷上作答无效) 12. 已知直线，，若，则实数_______ 【答案】0或1 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解. 【详解】， ，即，解得或1. 故答案为：0或1. 13. 过点的直线与曲线相交于 两点，为坐标原点，则面积的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由图可知，直线与曲线相交于两点，则直线的斜率，设：，计算出，即可求出面积的最大值. 【详解】如图所示： 若直线与曲线相交于两点，则直线的斜率， 设：，则点到的距离， 又， 当且仅当时，即时，所以当时，取得最大值， 故答案为： 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解该双曲线的渐近线方程即可. 【详解】 由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为：与， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以， 即双曲线的渐近线方程为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知平面内两点，． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程． （2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可； （2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可． 【小问1详解】 由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． 【小问2详解】 的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 16. 已知椭圆的焦点是，，且，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，进而得到，求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据根的判别式得到，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式表达出弦长，得到方程，检验后求出答案 【小问1详解】 由题意得：，，解得， 故， 故椭圆C的方程为； 【小问2详解】 联立与得，， ，解得， 设，则， 故 ， 又， 所以，解得，满足， 故实数的值为 17. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当四边形PAMB的面积为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）设，解方程，即得解； （2）求出圆N方程：，解方程即得解. 【小问1详解】 由题可知，圆M的半径，设， 因为PA是圆M的一条切线，所以， 四边形面积= ，于是， 所以， 解得或， 所以点P的坐标为或． 【小问2详解】 设，因为， 所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 其方程为， 即， 由，解得或， 所以圆过定点，． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D． （1）求证：平面BDE； （2）若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明； （2）利用空间向量的坐标运算求出二面角的余弦值求解. 【小问1详解】 连接, 因为为等边三角形，D是线段AC的中点，所以， 又因为平面，平面，所以, ,平面,所以平面, 平面,所以， 由题设可知，四边形为菱形，所以, 因为D，E分别是线段AC，的中点，所以, 所以， 又因为平面BDE,所以平面BDE. 【小问2详解】 以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则, 设， 则所以 平面的一个法向量, 设平面的一个法向量为, 所以，设，则， 所以， 设， 所以， 因为，所以二次函数在单调递增， 所以，所以， 所以锐二面角的余弦值的取值范围． 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值； （3）在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆长轴以及直线的倾斜角即可得椭圆方程； （2）找出点关于原点的对称点，利用对称性联立直线和椭圆方程整理表达式可得结果； （3）将四边形面积等价转化为三角形面积，求得面积表达式利用基本不等式计算可得结果. 【小问1详解】 由长轴长为，可得，. 因为点上顶点，直线的倾斜角为， 所以中，，则， 又，则. 椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，，，， 设关于原点的对称点，如下图所示： 由对称性可知三点共线，且. 设代入椭圆方程整理可得， 易知， 且，； 所以， 又， 所以. 【小问3详解】 四边形为梯形，由对称性可知四边形的面积与的面积相等， 点到直线的距离为， 易知， 所以， 令，则 所以，当且仅当，即时等号成立； 四边形的的面积的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平行关系充分利用对称性，将四边形面积转化为三角形面积，得出面积表达式再利用基本不等式求得面积取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $