精品解析：广东省广州市广东番禺中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试题

广东番禺中学2024级高一上学期第一次段考数学试题 命题：袁文华 审题：郑杰津 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则其否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数为幂函数，则该函数为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 5. 已知，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列哪一组中的函数与表示同一个函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为R C. 为增函数 D. 的图象关于坐标原点对称 10. 下列选项错误的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为2 C. 的增区间为 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果集合满足，则满足条件的集合的个数为______（填数字）. 13 已知函数，则______ 14. 我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为______. 四、解答题：本小题共5小题，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为U=R，集合，. （1）分别求，； （2）已知，若，求实数的取值范围. 16 已知，. （1）当时，用单调性定义证明函数的单调性，并求出函数的最小值； （2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； 17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 18. 二次函数最小值为，且关于对称，又. （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围； （3）求函数在区间上的最小值. 19. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立. （1）证明：在上单调递增； （2）解不等式：； （3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东番禺中学2024级高一上学期第一次段考数学试题 命题：袁文华 审题：郑杰津 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法表示全集，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】全集，而，则， 又，所以. 故选：D 2. 已知命题，，则其否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】命题，的否定为，， 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 4. 函数为幂函数，则该函数为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数定义可得，求得解析式即可得出该函数为偶函数； 【详解】由题意知，即， 则该函数为，此时函数定义域为全体实数集， 该函数在定义域内有增有减，不是单调函数； 函数满足，为偶函数. 故选：D 5. 已知，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ABC，由作差法判断D即可得解. 【详解】因为，所以， 由不等式的性质可得，A正确，B错误； 由不等式的性质可得，若，C错误； 若，则，即，D错误. 故选：A 6. 下列哪一组中的函数与表示同一个函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】判断两函数的定义域是否相同，解析式是否一致，即可得解. 【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故B错误； 对于C：的定义域为，，函数解析式不一致， 故不是同一函数，故C错误； 对于D：的定义域为，的定义域为，且， 两函数的定义域相同，函数解析式一致，故是同一函数，故D正确. 故选：D 7. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知的定义域，再根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可． 【详解】因为的定义域是， 所以要使得有意义， 需满足，解得． 则函数的定义域为是 故选：B 8. 若关于x不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据确定的取值范围，初步判断在不等式的解集内，不在不等式的解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果. 【详解】由题意，且，且，解得，则， 设不等式的解集为. 因为时，不成立，所以；因为时，，所以. 又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3. 由. 综上所述. 故选：C 【点睛】关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1，2，3满足不等式后，还要注意0，4不满足原不等式. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为R C. 为增函数 D. 的图象关于坐标原点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分段函数的图象和性质，依次判断选项即可. 【详解】A：由题意知，函数的定义域为，故A正确； B：当时，，当时，， 所以函数的值域为R，故B正确； C：函数在和上单调递增，不是增函数，故C错误； D：如图，函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数，故D正确. 故选：ABD 10. 下列选项错误的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB选项可举出反例；C选项，由基本不等式进行求解，但等号取不到；D选项，换元后，由对勾函数性质进行求解 【详解】A选项，若，此时，A错误； B选项，若，此时，B错误； C选项，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 但无解，故等号取不到，C错误； D选项，令，则， 故， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，D正确. 故选：ABC 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为2 C. 的增区间为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据函数表达式直接求值即可；对于B，当时，，利用基本不等式求出最大值进而得到答案；对于C，先研究函数在上的奇偶性，再在利用定义法求解单调性，结合函数周期性进而得到增区间；对于D，举反例直接说明即可. 【详解】对于A，当时，，此时函数周期为， 故，故A正确； 对于B，当时， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，又因为当时，，函数周期为，所以的最大值为2，故B正确； 对于C，当时，，此时，所以在上为偶函数， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，， 所以，所以， 所以在单调递增， 根据周期性可知，的增区间为，故C正确； 对于D，取，则， 此时，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性、周期性、奇偶性的综合应用.关键点在于利用函数单调性和奇偶性的单调性研究函数，并利用函数的周期性进行巧妙转化进而求解答案.本题考查了逻辑推理能力、转化与化归能力、计算能力，属于中难题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果集合满足，则满足条件的集合的个数为______（填数字）. 【答案】3 【解析】 【分析】由可知集合中必含有元素和，由可知集合为的真子集，由列举法求得集合，即可确定集合的个数. 详解】集合满足， 则集合中必含有元素和，且集合为的真子集， 所以集合可以是，，. 即满足的集合的个数为3个. 故答案为：3 13. 已知函数，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用的解析式，从内而外依次求函数值即可得解. 【详解】因为， 所以，则. 故答案为：. 14. 我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】分别联立方程求得交点坐标，画出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】解：联立，解得， 联立，解得或， 联立，解得或， 作出函数的图象如图： 由图可知，则的最小值为. 故答案为：2. 四、解答题：本小题共5小题，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集U=R，集合，. （1）分别求，； （2）已知，若，求实数取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用集合交集的运算求得，结合，即可求解； （2）由，得到，结合集合间的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由集合，，可得， 又由或. 【小问2详解】 解：由集合， 因为，所以， 又因为，则满足，记得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知，. （1）当时，用单调性定义证明函数的单调性，并求出函数的最小值； （2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； 【答案】（1）证明见解析， （2）. 【解析】 【分析】（1）代入，用函数单调性定义证明，根据单调性可知的最小值在时取到；（2）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解. 【小问1详解】 当时，任取，且， 则 ，，，即， ，，即， 是上的增函数， 当时，取得最小值，且最小值为. 【小问2详解】 对任意恒成立， ，只需恒成立， 设，， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 只需即可，，解得， 实数的取值范围是. 17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 【答案】（1），使用年后，盈利总额开始达到万元以上 （2）使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 【解析】 【分析】（1）先求得与之间的函数关系式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均盈利额的表达式，然后利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值. 【小问1详解】 依题意，， 由，得， 即，解得， 所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上. 【小问2详解】 平均盈利额， 当且仅当时等号成立， 所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 18. 二次函数最小值为，且关于对称，又. （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围； （3）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，代入，求出，得到解析式； （2）转化为对任意的恒成立，设，则只要即可，结合的单调性求出，从而得到答案； （3）由函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性求出最小值，得到答案. 【小问1详解】 由题可设，又，得， 所以； 【小问2详解】 由题有，即对任意的恒成立， 设，则只要即可. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， ，解得； 【小问3详解】 图象的对称轴为直线， 当时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当时，即当时，在上单调递增， 此时. 综上，. 19. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立. （1）证明：在上单调递增； （2）解不等式：； （3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据定义法即可证明函数单调性； （2）利用函数单调性和奇偶性可得，解不等式可得结果； （3）不等式先对所有的得到，再由对所有的恒成立，可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 取任意，且； 由是定义在上的奇函数，可得， 又因为对任意的且时，有成立， 所以，且； 因此可得，即. 所以在上单调递增； 【小问2详解】 由于是定义在上的奇函数，将不等式变形 可得； 由（1）可知函数在上单调递增， 所以不等式需满足， 解不等式可得； 解不等式可得或； 解不等式可得或； 综合可得； 即不等式的解集为 【小问3详解】 由（1）可知，在上的最大值为， 因为对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 即对所有的恒成立， 令，即对所有的恒成立， 所以，即， 解得或或 所以实数的取值范围为或或 【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题经常借助函数单调性求得其最值，转化成不等式恒成立即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$