第二章一元二次方程的单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程的单元测试 一、单选题 1．设，是一元二次方程的两根，则（　　） A． B． C． D． 2．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A． B．3 C． D．都不对 3．已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 4．根据下列表格的对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（ ） A． B． C． D．无法判定 5．如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A． B．1 C．1或 D． 7．某超市今年一月份总收入为万元，第一季度总收入为万元，问，月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包．求这个网聊群共有多少个人．设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为 ． 9．已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为 ． 10．已知是方程的解，则 ． 11．已知，，且，则 的值为 ． 12．等腰两边的长是关于的方程的两个实数根，第三边的长为5，则的值为 ． 13．如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 三、解答题 14．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 16．如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求：    (1)几秒后，的面积等于 (2)的面积能否等于？说明理由． 17．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 18．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 19．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从6月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 20．阅读材料． 对式子可以变化如下： 原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)请用配方法求出的最小值 (2)请用配方法求出代数式的最小值 (3)试说明：、取任何实数时，代数式的值总大于8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C D B A A D 1．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可直接得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可得： ， 故选：． 2．C 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 根据题意得到，，即可求得m的范围．要特别注意二次项系数这一条件，当时，方程就是一元一次方程了． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 解得：． 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据表格数据求出对应的的值，进而找到相邻的两个的值，使的值一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由题意，列出表格如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 1.29 2.76 由表格可知，当时，存在一个的值使，即满足方程， 故选B． 5．A 【分析】本题考查了平移，根据实际问题列一元二次方程，利用平移，黑色道路的面积为，剩下道路的面积为，利用草坪的面积为，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，如图， 黑色道路的面积为，剩下道路的面积为， 则， 变形得 ，， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解：根据一元二次方程的解及一元二次方程的定义即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得， 因为，， 所以． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，能够正确提取题干中增长前的量、增长后的量以及掌握增长率问题的公式：增长后的量增长前的量（增长率）是解决本题的关键．注意一季的收入是三个月收入的和． 由题干信息可知：增长前的量为一月份总收入万元；平均每月增长率为．根据增长率问题的公式得到二月份的总收入，再次利用公式求得三月份的总收入．最后根据第一季的总收入为一月、二月、三月的收入之和，列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得： 一月份总收入为：万元． 二月份总收入为： 万元． 三月份总收入为：万元． 故第一季的总收入为：． 故选：D． 8． 【分析】本题考查一元二次方程的应用；解题的关键是明确等量关系，从而构建方程．根据题意明确等量关系：人数（人数），列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 9． 【分析】此题考查了根与系数关系．设另一个根为，根据根与系数关系得到，即可求出另一个根． 【详解】解：设另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴ 解得， 故答案为： 10．/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 11．3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系等知识点，先变形得到，则a和可看作方程的两根，然后根据根与系数的关系求解，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴方程两边同时除以，再乘变形为， ∵， ∴a和可看作方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：3． 12．4或5/5或4 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，先计算的值，再根据一元二次方程的求根公式“”求出方程的根，，，然后根据等腰三角形的性质可得或，解方程即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时，，的三边长为，，，是等腰三角形； 当时，，的三边长为，，，是等腰三角形； 即当或5时，是等腰三角形． 故答案为：4或5． 13．1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 14．(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）用直接开方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可； （4）化成一般式后用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解： ∴， ， 或， 解得，； （3）解： ，，， ， 则， 即，； （4）解：整理为一般式，得：， ， 则． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）根据判别式可知，据此求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴ 16．(1)1 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用： （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解． （2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， ∴， ∴的面积， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去， ∴； （2）解：不能，理由如下： 设秒后，的面积等于， 同（1）得：的面积， 整理，得：， ∵， ∴方程无解， ∴的面积不能等于． 17．(1)证明过程见详解 (2)这个等腰三角形的周长是 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质， （1）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）根据一元二次方程根的情况，分类讨论，当为腰时，，解得，根据解一元二次方程的方法得到两根，再结合等腰三角形的性质进行分析；当为腰时，，同理解得，解一元二次方程得两根，再结合等腰三角形的性质进行分析即可求解． 【详解】（1）证明：关于的方程中，， ∴ ∵， ∴无论取何值，此方程总有实数根； （2）解：是关于的方程的两根， 当是等腰的底边，是腰时，， ∴， 解得，， ∴关于的方程为，即， 解得，， 此时，，不能构成等腰三角形，不符合题意，舍去； 当是等腰的腰，是腰，是底边时，， ∴是关于的方程的一个根， ∴， 解得，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴等腰的边长分别为，能构成等腰三角形； ∴这个等腰三角形的周长是． 18．当羊圈的边的长为20米时，能围成一个面积为的羊圈 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设，则，根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴， 答：当羊圈的边的长为20米时，能围成一个面积为的羊圈． 19．(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题和营销问题．熟练掌握平均增长率公式，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数；营销问题熟练掌握总利润与每件利润和件数的关系，是解决问题的关键． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件列方程求解即可； （2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 20．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （2）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （3）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解： ， ∵，， ∴， ∴、取任何实数时，代数式的值总大于8． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$