第一章特殊平行四边形的单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形的单元测试 一、单选题 1．下列条件中，不能判定平行四边形是矩形的是（） A． B． C． D． 2．下列说法：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；④两条对角线相等的四边形是矩形；正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 3．如图，中，D为中点，．若，，则的长度（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 4．如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．正方形，…按如图所示的方式放置．点，…和点，…分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是（      ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以，为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，的值为（    ） A．30 B．9 C．15 D．10 二、填空题 7．如图，在中，是斜边上的中线，，则 ． 8．如图，四边形中，，，，，则的长为 ． 9．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 ． 10．如图，正方形的边长为3，E在上，且，点P是上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题 11．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．如图，在菱形中，对角线，交于点，交延长线于，交延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 13．如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)与有什么数量关系，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请说出理由． 14．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，，求的长． 15．如图，已知点，过点作轴于点，点是轴上的一个动点，连接，以为斜边在的上方构造等腰，连接． (1)当的坐标为时，点C 的坐标是 ； (2)当点在轴正半轴上运动的时候，点是否在一直线上运动，如果是，请求出点所在直线的解析式；如果不是，请说明理由； (3)在B点的运动过程中，当值最小时，求此时B点的坐标． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B C C A A 1．A 【分析】本题考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．根据矩形的判定逐个判断即可． 【详解】解：A、不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意； B、，，所以，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意； C、，对角线相等，可推出平行四边形是矩形，不符合题意； D、，所以，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意． 故选：A 2．B 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理即可一一判断； 【详解】若四边形中，，，如图， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 所以一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，① 正确； 一组对边相等且平行，并有一个角是直角的四边形是矩形，②错误； 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半，③正确； 两条对角线相等的平行四边形是矩形，④错误． 故选B． 3．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出长，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， ， ，为中点， ， ， 由勾股定理得：． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，设，则在中，利用勾股定理可求出x的值． 【详解】解：∵在长方形中，、， ∴，， 又∵将沿直线折叠， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得， 即的长为5． 故选：C． 5．A 【分析】此题考查正方形的性质，待定系数法求一次函数，由图和条件可知，由此可以求出直线为，的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标，因为的横坐标数列为，所以纵坐标为，最后根据规律就可以求出的坐标，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【详解】解：点，， ， 代入直线可得，解得 直线为， ， 四边形正方形为正方形， ， 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， … 以此类推可得，的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标 ， 故选：A． 6．A 【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解． 本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键． 【详解】解：连接、，    ∵点A的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形． ∴， ∴，， 依题意，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．70 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可解得的值，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，可证明，即可获得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：70． 8． 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．延长，，过点A作于点E，过点D作于点F，过点A作于点G，则四边形为矩形，,，因为为直角三角形，所以，在直角和直角中，利用勾股定理即可求，，，． 【详解】解：延长，，过点A作于点E，过点D作于点F，过点A作于点G，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质和勾股定理得出，进而利用面积公式解答即可． 【详解】四边形是菱形 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称及勾股定理，要求 的最小值，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化的值，根据两点之间线段最短可得就是的最小值，求出的值即得出的最小值． 【详解】解：连接， 点C关于的对称点为点A， ， 根据两点之间线段最短可得就是的最小值， 正方形的边长为3， ， 的最小值是， 故答案为：． 11．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形内角和定理，正方形的性质，勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （）由正方形的性质得出，，得出，由证明，即可得出结论； （）由（）得，由勾股定理得出，在中，由三角形面积即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得：， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴． 12．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再由勾股定理得，则，然后由勾股定理得即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键． 13．(1)，理由见解析 (2)当时，四边形是菱形， 理由见解析 【分析】（1）由得出，再根据已知条件即可证明． （2）当时，四边形是菱形．先证明四边形是平行四边形，再证明即可． 【详解】（1）解： ，理由如下： 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：当时，四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质、勾股定理、三角形全等的判断和性质等知识点，是正确做出辅助线、构成全等三角形是解题的关键． （1）如图：过点E作于点Q，作于点P，证明得到，可说明为菱形，根据，即可证明结论； （2）根据正方形性质得出，，，根据勾股定理求出，再证明可得、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图：过点E作于点Q，作于点P，则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为菱形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）解：如图：连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴． 15．(1)； (2)是，； (3) 【分析】（1） 设点，点，过点作轴的平行线交过点作轴的平行线于点，交的延长线于点，证明≌，利用全等三角形的性质求解即可． （2）根据（1）的解答回答即可． （3）证明在直线上，同理可得：在负半轴上运动时，在直线上运动，记直线与轴的交点为，当运动到时，最小，求解，过，分别作轴的平行线，交于，与轴交于，可得，，同理可得：，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：设点，点， 过点作轴的平行线交过点于轴的平行线于点，交的延长线于点， ，， ， ，， ， ，， ∵，点，点，四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴且，即点的坐标为， 当点时，即，则， 解得，， 故答案为． （2）解：点在一直线上运动，理由： 由（1）知，点，且，即点所在直线的解析式为； （3）解：如图，∵点所在直线的解析式为，，轴， ∴， ∴在直线上， 同理可得：在负半轴上运动时，在直线上运动，记直线与轴的交点为， ∴， ∴， ∴当运动到时，最小， ∴， ∴， 过，分别作轴的平行线，交于，与轴交于， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，一次函数的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 答案第12页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$