山西省长治市2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

秘密★启用前 2024-2025学年高三备考核心模拟中期考试 数学参考答案详解及评分说明 数学试题答案 第1页（共6页） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 . 1. C 【解析】由A ⊆ B，得 1 ∈ B，所以 a + 1 = 1或 a2 = 1.当 a + 1 = 1时，a = 0，此时B = {1，0，3}，满足条件A ⊆ B；当 a2 = 1 时，得a = 1或a = -1.当a = 1时，集合A中两个元素相同，不满足集合元素的互异性；当a = -1时，B = {0，1，3}，不满 足条件A ⊆ B.故a = 0. 2. B 【解析】由x2 > 2024不能得到x2 > 2025，但由x2 > 2025可得出x2 > 2024，故p是q的必要不充分条件 . 3. A 【解析】由 zi = 3 + i，得 z = 3 + ii = (3 + i) ( − i) − i2 = 1 − 3i. 4. A 【解析】因为nb =（-n，n），又a ⊥ nb，n ≠ 0，所以(1,m ) ⋅ ( -n, n ) = -n + mn = n (m - 1) = 0，得到m = 1. 5. C 【解析】由 1 + x 1 − x > 0，得x∈（-1，1），又x ≠ π 2 + kπ, k ∈ Z，所以 f ( x )的定义域为（-1，1）. 又 f ( -x ) = tan (-x ) ⋅ ln 1 - x1 + x = (-tanx ) ⋅ ( -ln 1 + x 1 - x ) = tanx ⋅ ln 1 + x 1 - x = f ( x ), 所以函数 f ( x )为偶函数，图象关于y轴对称，故B错误； 因为 ln 1 + x1 - x = ln (-1 + 2 1 - x )，且当x ∈（0，1）时，ln 1 + x 1 - x > 0, tanx > 0，所以 f ( x ) > 0，且在（0，1）内单调递增，故A、D 错误 . 6. A 【解析】设圆锥的母线长为 l，因为216° = 6π5 ，由扇形的弧长公式得 6π 5 l = 6π，解得 l = 5. 圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球，如图为圆锥的轴截面图，且内切球球心O一定在圆 锥的高SC上 .设内切球的半径为 r，OC = OD = r，在Rt△SBC中，SB = 5，BC = 3，得SC = 4.因为 Rt△SBC∽Rt△SOD，得 SO = SB BC ⋅ OD = 53 r，由 SO + OC = 4，得 5 3 r + r = 4，解得 r = 3 2，故所求 球的体积V = 43 πr3 = 4 3 π( 3 2 ) 3 = 9π 2 . 7. D 【解析】30 × 80% = 24.按照从大到小的顺序排列：84，84，73，70，67，63，62，62…，所以按从小到大的顺序排列的第 24个数为62，所以所求的80%分位数为（62 + 63）÷ 2 = 62.5. （第6题答图） S A C D B O 数学试题答案 第2页（共6页） 8. B 【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn = na1 + n (n - 1)2 d，所以数列{ Sn n }为等差数列，即有2Sm m = Sm - 2 m - 2 + Sm + 2 m + 2，代入得 44 m = 10 m - 2 + 36 m + 2，化简得m2 - 26m + 88 = 0，解得m = 22或m = 4，m所有取值的和等于26. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 . 9. ABD 【解析】因为0 < a = 0.20.3 < 1，b = ln0.2 < 0，c = log2e > 1.所以 c > a > b，bc < 0.所以A、D正确，C错误 .因为b = ln0.2 < 0 < 1，a > 0，所以ab < a，所以B正确 . 10. ABD 【解析】对于选项A，cos( π3 - α ) = cos [ π 2 - ( π 6 + α ) ] = sin ( π 6 + α ) = 3 5，A正确； 对于选项 B，sin ( π6 - 2α ) = sin [ π 2 - ( π 3 + 2α ) ] = cos( π 3 + 2α ) = cos [ 2 ( π 6 + α ) ] = 1 - 2sin2 ( π 6 + α ) = 7 25，选项 B 正确； 对于选项C，sin ( 5π6 - α ) = sin [ π - ( π 6 + α ) ] = sin ( π 6 + α ) = 3 5，故选项C错误； 对于选项D，由α ∈ (-π2 , π 2 )，得- π 3 < π 6 + α < 2π 3 ，又因为 sin 2π 3 = 3 2 > 3 5，sin π 6 = 1 2 < 3 5，所以 π 6 < π 6 + α < π 2， 所以 cos( π6 + α ) = 4 5，所以 sinα = sin [ ( π 6 + α ) - π 6 ] = sin ( π 6 + α )cos π 6 - cos( π 6 + α )sin π 6 = 3 3 - 4 10 ，故选项D 正确 . 11. AB 【解析】f ′( x ) = x2 - ax + (a2 - 3).因为函数 f ( x )在 x = 1处有极值，则 f ′(1) = 0，解得 a = 2或 a = -1.当 a = 2时， f ′( x ) = x2 - 2x + 1 = ( x - 1)2 ≥ 0，不满足条件；当a = -1时，f ′( x ) = x2 + x - 2 = ( x - 1) ( x + 2)，当 x > 1时，f ′（x）> 0， 当-2 < x < 1时，f ′（x）< 0，即 x = 1是 f ( x )的极小值点，满足条件，故选项A正确；当 x = -2时，f ( x )有极大值，极大 值为 f ( -2) = 163 ，故选项B正确；当x = 1时，f ( x )有极小值，极小值为 f (1) = 5 6，所以 f ( x )有且仅有一个零点，故选 项C错误；由 f（a）= f（-1），f（a + 1）= f（0），而函数 f ( x )在（-2，1）上单调递减，得 f（a）>（a + 1），故选项D错误 . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 . 12. [ π2 , 2π 3 ]和[ 7π 6 , 3π 2 ]（写成开区间或者半开半闭区间也正确） 【解析】由2kπ ≤ 2x − π3 ≤ π + 2kπ，得 π 6 + kπ ≤ x ≤ 2π 3 + kπ, k ∈ Z， ∵x ∈ [ π2 , 3π 2 ]，∴ f ( x )的单调递减区间为[ π 2 , 2π 3 ]和[ 7π 6 , 3π 2 ]. 数学试题答案 第3页（共6页） 13. 12e 【解析】设直线与曲线 y = f ( x )相切于点P（x1，y1），与曲线 y = g（x）相切于点Q（x2，y2），由 f ′（x）= 1x得切线方程为 y - lnx1 = 1x1 ( x - x1 )，又由切线过点（0, - 1 2），所以 - 1 2 - lnx1 = 1 x1 (0 - x1 )，化简得 lnx1 = 12，解得 x1 = e，所以切 线方程为y = 1e x - 1 2.由g′（x）= 2ax得 ì í î ï ï ï ï 2ax2 = 1e , ax2 2 = 1e x2 - 1 2 , 解得a = 12e. 14. AB（2分） 916（３分） 【解析】因为A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，所以这对夫妻子女血型的基因类型有： 父母血型的基因类型组合 ai × bi ai × bb aa × bi aa × bb 子女血型的基因类型 ab ab ab ab ai ab ai ab bi bi ab ab ii bi ai ab 以上16种情况是等可能的，构成了该事件的样本空间 .其中基本事件，即基因类型 ab共有9个，所以子女的血型 中概率最大的是AB型，概率值为 916. 四、解答题：本题共5小题，共77分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.解：（1）集合M = {n|an= bn，n ∈ N*}，则集合M中元素个数的最大值为1. ……………………………………… 2分 设 cn = an - bn，n ∈ N*， 因为数列{an}为单调递增数列，{bn}为单调递减数列， 可知数列{cn}为单调递增数列 . …………………………………………………………………………………… 4分 所以 cn = an-bn至多有一个零点 . 即集合M = {n|an= bn，n ∈ N*}中至多有1个元素，故所求最大值为1. …………………………………………… 6分 （2）数列{bn}不是等差数列 . ……………………………………………………………………………………… 7分 据题意，显然有an ≠ 0. …………………………………………………………………………………………… 8分 当{an}不是常数列时，不妨设数列{an}中连续3项依次为a，b，c， 则a ≠ c，2b = a + c. ① …………………………………………………………………………………………… 10分 则对应的数列{bn}中连续的3项依次为 1a， 1 b ， 1 c ， 欲使其成为等差数列，则需要21 b = 1 a + 1 c . ……………………………………………………………………… 11分 利用①，化简得b² = ac，即（a - c）² = 0，即需有a = c，与a ≠ c矛盾 . 所以{bn}不是等差数列 . ………………………………………………………………………………………… 13分 16.解：（1）由 a - b3 sinB + sinC = c sinA + sinB及正弦定理得 a - b 3 b + c = c a + b， 即b2 + c2 - a2 = - 3 bc， ………………………………………………………………………………………… 2分 又由余弦定理得a2 = b2 + c2 - 2bccosA，…………………………………………………………………………… 3分 所以cosA = - 32 ，………………………………………………………………………………………………… 5分 又A ∈（0，π）， 所以A = 5π6 . ……………………………………………………………………………………………………… 7分 （2）∠DAC = ∠BAC − ∠BAD = π3，记∠ADC = α，则∠ADB = π - α； 因为2CD = 3BD，所以设BD = 2m，CD = 3m（m > 0）. 在Rt△ABD中，sin (π - α ) = c2m，即 sinα = c 2m . ………………………………………………………………… 9分 在△ADC中，ACsinα = CD sin∠CAD，………………………………………………………………………………… 10分 所以 b sinα = 3m 3 2 ，即 sinα = b2 3 m . 所以 c 2m = b 2 3 m，得b = 3 c. ………………………………………………………………………………… 12分 在△ABC中，由余弦定理，有25m2 = 3c2 + c2 - 2 ⋅ 3 c ⋅ c ⋅ ( - 32 )， 整理得25m2 = 7c2，即 c m = 57，………………………………………………………………………………… 14分 所以 sinα = c2m = 5 7 14 . ………………………………………………………………………………………… 15分 17.解：（1）证明：连接C1D. ∵CC1 = AA1 = 2 2，CD = 2，DP = 2， ∴CC1 CD = CD DP . 又∠C1CD = ∠CDP = 90°， ∴△C1CD∽△CDP， ∴∠DCP + ∠CDC1 = ∠DCP + ∠CPD = 90°， ∴CP ⊥ DC1. ∵AB1∥DC1，∴CP ⊥ AB1. ………………………………………………………………………… 2分 ∵CD = AC = 2，AD = 2 2， ∴AC2 + CD2 = AD2，得AC ⊥ CD. ………………………………………………………………………………… 4分 又∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱， ∴CC1 ⊥底面ABCD，∴CC1 ⊥ AC.又CD ∩ CC1 = C， 数学试题答案 第4页（共6页） ∴AC ⊥平面CDD1C1. …………………………………………………………………………………………… 5分 ∵CP ⊂平面CDD1C1， ∴AC ⊥ CP.又AC ∩ AB1 = A， …………………………………………………………………………………… 6分 ∴CP ⊥平面ACB1. ……………………………………………………………………………………………… 7分 （2）由（1）得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 . … 8分 则A（0，0，0），C（0，2，0），B1（2，0，2 2），P（-2，2， 2），   CP = (-2, 0, 2 )， AP = (-2, 2, 2 )， AB1 = (2, 0, 2 2 ). ………………………… 9分 设平面PAB1的法向量为n =（x，y，z），则由 {   AP ⋅ n = 0   AB1 ⋅ n = 0得{-2x + 2y + 2 z = 0,2x + 2 2 z = 0, 取n =（-2，-3， 2）.……………………… 11分 由（1）得平面AB1C的法向量为 CP = (-2, 0, 2 )，……………………………… 12分 则cos  CP ,n =   CP ⋅ n |   CP | ⋅ |n| = 10 5 ，……………………………………………………………………………… 14分 又因为二面角P-AB1-C为锐二面角， 所以二面角P-AB1-C的余弦值为 105 .………………………………………………………………………… 15分 18.解：（1）当a = 1时，f ′( x ) = xex - 2x = x (ex - 2)， ………………………………………………………………… 1分 由 f ′（x）< 0，得0 < x < ln2；f ′（x）> 0，得x < 0或x > ln2. 所以函数 f ( x )在（0，ln2）上单调递减 ，在［-1，0），（ln2，1］上单调递增 . ………………………………………… 3分 因为 f (0 ) = -1, f (1) = -1,所以函数 f ( x )在区间［-1，1］上的最大值为-1； …………………………………… 4分 f ( -1) = - 2e - 1, f ( ln2) = 2 ( ln2 - 1) - ( ln2)2, …………………………………………………………………… 5分 f ( -1) - f ( ln2) = ( ln2)2 - 2ln2 + 1 - 2e = ( ln2 - 1)2 - 2 e = ( ln 2 e )2 - 2 e， ………………………………………… 6分 因为 1 e < 2 e < 1，所以- 1 2 < ln 2 e < 0，则( ln 2 e ) 2 < 1 4 < 2 e，得 f ( -1) - f ( ln2) < 0，……………………………… 7分 所以函数 f ( x )在区间［-1，1］上的最小值为- 2e - 1， 综上，函数 f（x）在区间［-1，1］上的最大值为-1，最小值为- 2e - 1. ……………………………………………… 8分 （2）令g ( x ) = f ′( x ) = axex - 2x，则使 f ′（x）≥ -1恒成立的必要条件是 f ′（1）≥ -1，则a ≥ 1e . …………………… 9分 由g′( x ) = a ( x + 1)ex - 2，令h ( x ) = g′( x )，则h′( x ) = a ( x + 2)ex， 因为a > 0， 由h′( x ) > 0，得x > -2，由h′( x ) < 0，得x < -2， 所以g′( x )在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，+∞）上单调递增 .…………………………………………………… 10分 B1 A1 D1 D CB A x y z C1 P （第17题答图） 数学试题答案 第5页（共6页） 因为当x < -1时，a（x + 1）< 0，所以g′( x ) < 0，g′( x )在（-∞，-2）上没有零点 . 又因为g′(2) = 3ae2 - 2 ≥ 3e - 2 > 0，所以存在x0 ∈ (-1, 2)，使得g′( x0 ) = 0. 故g ( x )在（-∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增 .………………………………………………………… 12分 要使 f ′（x）≥ -1，只需g ( x0 ) ≥ -1，即ax0ex0 - 2x0 ≥ -1，………………………………………………………… 13分 又因为g′( x0 ) = a ( x0 + 1)ex0 - 2 = 0，得a = 2( x0 + 1)ex0， 代入ax0ex0 - 2x0 ≥ -1中，解得- 12 ≤ x0 ≤ 1. …………………………………………………………………… 15分 由a = 2( x0 + 1)ex0 得 1 e ≤ a ≤ 4 e. 所以a的取值范围为[ 1e ,4 e ]. ………………………………………………………………………………… 17分 19.解：（1）因为y = coshx = ex + e-x2 ，所以该函数定义域为R. 因为y′ = ex - e-x2 为增函数，且当x = 0时，y′ = 0，………………………………………………………………… 1分 所以当x ∈ (-∞, 0 )时，y′ < 0，y = coshx单调递减； 当x ∈ (0, + ∞ )时，y′ > 0，y = coshx单调递增 . …………………………………………………………………… 3分 当x = 0时，y = coshx取得最小值1，没有最大值 . ……………………………………………………………… 4分 （2）函数 f ( x )的定义域为（0，2），猜想其对称中心的横坐标为1. ……………………………………………… 5分 又因为 f ( x ) + f (2 - x ) = ex - 1 - e1- x2 + ln x 2 - x + e1- x - ex - 1 2 + ln 2 - x x = 0，…………………………………… 8分 所以曲线y = f ( x )是中心对称图形，且对称中心是（1，0）. ……………………………………………………… 9分 （3）（ⅰ）①由题意知，cosh2x - sinh2x = ( ex + e-x2 )2 − ( ex − e-x 2 )2 = e2x + 2 + e-2x 4 − e2x − 2 + e-2x 4 = 1； …… 10分 ②由题意知，cosh2x + sinh2x= ( ex + e-x2 )2 + ( ex − e-x 2 )2 = e2x + 2 + e-2x 4 + e2x − 2 + e-2x 4 = e2x + e-2x 2 = cosh2x. … 11分 （ⅱ）由（ⅰ）知 cosh2x = 2cosh2x - 1，又因为a > 1， 所以可设a1= a = cosht（a > 1），………………………………………………………………………………… 12分 则a2 = 2a21 − 1 = 2cosh2 t − 1 = cosh2t， a3 = cosh (22 t )， 可知an = cosh (2n − 1 t ). …………………………………………………………………………………………… 14分 ∴a2025 = cosh (22024 t ) = 53. 记22024 t = u，则 e u + e-u 2 = 5 3，解得e u = 13或3，u = ln 3或 - ln3，则 t = ± ln 3 22024 . ………………………………… 16分 ∴a = 12 [ (eln 3 ) 1 22024 + (eln 3 )- 122024 ] = 12 (3 1 22024 + 3 -1 22024 ).………………………………………………………………… 17分 数学试题答案 第6页（共6页） 数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页） 秘密★启用前 姓名 准考证号 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 . 1.设集合A = {1, a }，B = { a + 1, a2, 3 }，若A ⊆ B，则a = A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 2.已知条件 p：x2 > 2024与 q：x2 > 2025，那么 p是 q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.复数 z满足 zi = 3 + i（i为虚数单位），则 z = A. 1 - 3i B. 1 + 3i C. -1 - 3i D. -1 + 3i 4.已知向量a =（1，m），b =（-1，1），若a ⊥ nb，n ≠ 0，则m = A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 5.函数 f ( x ) = tanx ln 1 + x1 - x的大致图象是 y xO y xO B y xO C y x O DA 6.已知圆锥底面半径为 3，侧面展开图扇形的圆心角为 216°，则该圆锥内半径最大的球 的体积是 A. 9π2 B. 125π 6 C. 32π 3 D. 256π 81 7.某市九月份30天的空气质量指数如下： 54 63 40 51 62 55 53 59 84 62 57 73 52 58 44 52 17 70 50 18 67 58 30 44 61 29 46 60 31 84 则将该市空气质量指数按照从低到高的顺序排列，其80%分位数是 A. 61 B. 62 C. 61.5 D. 62.5 8.已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 Sm-2 = 20，Sm = 44，Sm + 2 = 72，则m的所有取值的 和等于 A. 24 B. 26 C. 37 D. 44 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分 .在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求 .全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 . 9.已知a = 0.20.3，b = ln0.2，c = log2e，则 A. a > b B. ab < a C. a > c D. bc < 0 10.已知 sin ( )π6 + α = 35，则下列说法正确的是 A. cos ( )π3 - α = 35 B. sin ( )π6 - 2α = 725 C.若α ∈ ( )0, π2 ，则 sin ( )5π6 - α = - 35 D.若α ∈ ( )-π2 , π2 ，则 sinα = 3 3 - 410 11.已知函数 f ( x ) = 13 x3 - 1 2 ax2 + (a2 - 3) x + 2在 x = 1处有极值，则 A. a = -1 B. f ( x )的极大值为 163 C. f ( x )有三个零点 D. f (a ) < f (a + 1) 数 数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 . 12.已知函数 f ( x ) = cos ( )2x − π3 , x ∈ éëê ùûúπ2 , 3π2 ，则函数 f ( x )的单调递减区间为 ▲ . 13.已知函数 f ( x ) = lnx，g ( x ) = ax2，存在直线过点 ( )0, - 12 与曲线 y = f ( x )和 y = g ( x )都 相切，则a = ▲ . 14.人类四种血型与基因类型的对应关系为：O型对应基因类型 ii，A型对应基因类型 ai 或 aa，B型对应基因类型 bi或 bb，AB型对应基因类型 ab.其中 a和 b是显性基因，i是 隐性基因 .一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则其子女的血型中最可能出现 的是 ▲ 型，概率值为 ▲ .（第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.（13分） 已知数列{an}与{bn}是两个不同的数列 . （1）设数列{an}为单调递增数列，{bn}为单调递减数列，记集合M = {n|an = bn，n ∈ N*}， 求集合M中元素个数的最大值； （2）若{an}为等差数列，且不是常数列，bn = 1an，判断{bn}是否为等差数列 . 16.（15分） 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 a - b3 sinB + sinC = c sinA + sinB . （1）求A； （2）若D是BC边上一点，且AB ⊥ AD，2CD = 3BD，求 sin∠ADC的值 . 17.（15分） 如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中底面 ABCD为平行四边形， AB = AC = 2，AD = AA1 = 2 2，P是棱DD1的中点 . （1）证明：CP ⊥平面ACB1； （2）求二面角P-AB1-C的余弦值 . 18.（17分） 已知 f ( x ) = a ( x - 1)ex - x2. （1）当a = 1时，求函数 f ( x )在区间［-1，1］上的最值； （2）若 f ′( x ) ≥ -1恒成立，求a的取值范围 . 19.（17分） 悬链线，也称为悬垂线或悬链曲线，是在均匀重力场中，将一条柔软且不可伸长 的绳索两端固定时所形成的曲线，这种曲线的形状类似于一条链子自然悬挂时 的轮廓 . 后人给出了悬链线的函数表达式 φ ( x ) = acosh x a ，其中 a为悬链线系数， coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式 coshx= ex + e-x2 . 双曲正弦函数的表达式 为 sinhx= ex − e-x2 . （1）讨论 y = coshx的单调性并求其最值； （2）若函数 f ( x ) = sinh ( x - 1) + ln x2 - x，证明：曲线 y = f ( x )是中心对称图形； （3）（ⅰ）证明：①cosh2x - sinh2x = 1；②cosh2x = sinh2x + cosh2x； （ⅱ）已知正项数列{an}（n ∈ N*）满足 a1 = a > 1，an+1 = 2a2n − 1，直接写出其通项公 式；判断是否存在实数 a，使得 a2025= 53，若存在，求出 a的值；若不存在，请说明 理由 . 数 B1 A1 D1 D CB A （第17题图） P C1