精品解析：浙江省绍兴市柯桥区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024学年第一学期九年级期中教学质量调测数学试卷 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷二部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共7页． 试卷Ⅰ（选择题，共30分） 请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和圆的位置关系（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆外 C. 点P在圆上 D. 无法判断 3. 如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则点旋转经过的路线长是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，是半圆的直径，，则的度数是（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 7. 已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 9. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（ ） A. 4或 B. 或 C. 或 D. 10. 如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 试卷Ⅱ（非选择题，共90分） 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知抛物线的开口向上，写出一个满足条件的k值______． 12. 小明随意抛掷一枚点数从，质地均匀的正方体骰子，前面次中有次点朝上，则抛掷第次时，点朝上的概率为____． 13. 将二次函数图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是_____． 14. 如图，，，．将绕点逆时针旋转得，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是_____． 15. 如图，正三角形的边长为，是正三角形外接圆的圆心，以为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为_____． 16. 如图，是⊙O的内接正三角形，点在劣弧上（不与点，重合），连，，，可得．若四边形的面积是：，则此时的长为_____，在这个条件下，设，当为_____时，的值最大． 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 已知二次函数图象经过点，． （1）请求此二次函数的解析式； （2）判断点是否在这个二次函数图象上？请说明理由． 18. 某校在手抄报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、食品安全”三个主题内容，一班推荐李明与张颖参加评比，若他们每人从以下三个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．   （1）李明选择交通安全手抄报的概率为________； （2）用列表法或画树状图法来求李明与张颖选择不同主题手抄报的概率． 19. 如图，是一个高速公路隧道的横截面，若它的形状是圆的一部分，路面米，拱高米． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心； （2）求圆的半径． 20. 如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21 主题 探究滑雪运动员起跳后飞行路线的函数关系 素材1 研究步骤： （1）选定合适位置建立平面直角坐标系，确定x轴、y轴的位置； （2）利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度； （3）数据分析，形成结论． 实验数据：从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组对应数据如表所示： 0 2 4 6 8 10 20.00 21.40 22.40 23.00 23.20 23.00 素材2 根据上述表格绘制图表：从起跳点到最后着陆点的示意图如图所示： 根据提供的素材，解决问题： 任务1： 定函数 根据表中信息，求起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式． 任务2： 求最值 通过分析实验数据，你认为运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是________m； 任务3： 算距离 若运动员最后着陆点的竖直高度为，求运动员最后着陆点与起跳点的水平距离． 22. 在直角三角形中，，，将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，，，分别为，的中点，连接，． 猜想证明： （1）如图1，当恰好经过点B时，与的位置关系是________，数量关系是________． 问题解决： （2）如图2，当恰好经过点B时． ①试猜想与AE的位置关系和数量关系，并说明理由． ②连接，若，请直接写出线段的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）， （1）当时，求该函数图象的顶点坐标． （2）设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求的最大值． （3）已知，当时，该函数有最小值为，求c的值． 24. 如图1，圆内接四边形，为直径，点E在弧上，且满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G． （1）若，请用含的代数式表示． （2）如图2，连结，若．求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，连结，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期九年级期中教学质量调测数学试卷 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷二部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共7页． 试卷Ⅰ（选择题，共30分） 请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 2. 已知半径为，点到圆心的距离为，则点和圆的位置关系（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆外 C. 点P在圆上 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．直接根据点与圆的位置关系进行解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，， ∴点P在圆外， 故选：B． 3. 如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则点旋转经过的路线长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，旋转的性质；根据旋转的性质可得点旋转经过的路线为为半径圆心角为的弧，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：依题意 ∴点旋转经过的路线长是， 故选：C． 4. 一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，分式方程的应用，由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到白色球的概率为， 设白球个数为：个，依题意得 ∴， 解得：， 经检验是原方程的根， 故白球的个数为个． 故选：A． 5. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，根据题意得出，代入方程，因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∴， ∴，， 解得：， 故选：B． 6. 如图，是半圆的直径，，则的度数是（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理，得到，从而得到的度数，进而得到即可． 【详解】解：是半圆的直径，， ∴，， ∵对应的是劣弧，对应的是优弧， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，是解题的关键． 7. 已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征， 根据抛物线解析式推知抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上的点到对称轴距离的大小判定相应的y值的大小． 【详解】解：由二次函数，知该抛物线开口朝上，且对称轴为直线， 点、、在函数图象上， 且 ∴． 故选：B． 8. 如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（ ） A. 4或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，得出，进而根据四边形的邻边之比为：，分类讨论，设点A横坐标为m表示出的坐标，进而即可求解． 【详解】解：依题意是矩形； 把点代入中得， 解得， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵四边形的邻边之比为：时， 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 综上所述线段的长为或 故选：B． 10. 如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，三角形中位线的性质；根据题意，可得在为直径的圆上运动，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接；勾股定理求得，根据，求得的最大值，即可求解． 【详解】如图所示，取中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接； ∵点为坐标平面内一点，， ∴ ∴在为直径的圆上运动， 当点C与点F重合时，最长，即为 ∵点，的坐标分别为，，是的中点，是的中点 当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大， ∴， ∴ ∴ 即点与点重合时，最大，最大值为 故选：D． 试卷Ⅱ（非选择题，共90分） 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知抛物线的开口向上，写出一个满足条件的k值______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数，据此求出k的范围，得到合适的k值． 【详解】解：因为抛物线的开口向上， 所以，即，故的取值范围是， 则k可以取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答此题要掌握二次函数图象的特点． 12. 小明随意抛掷一枚点数从，质地均匀正方体骰子，前面次中有次点朝上，则抛掷第次时，点朝上的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：掷一颗均匀的骰子，一共有6种等可能的情况，其中3点朝上只有一种情况， 所以3点朝上的概率为． 故答案为：． 13. 将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得出答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是， 故答案为：． 14. 如图，，，．将绕点逆时针旋转得，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转可得，得． 【详解】，， ． 将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上， ， ． 故答案为：． 15. 如图，正三角形的边长为，是正三角形外接圆的圆心，以为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，求扇形面积；过点作于点，连接，，根据正三角形的边长为，是正三角形外接圆的圆心，得出，，进而根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接，， ∵是正三角形外接圆的圆心， ∴，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 16. 如图，是⊙O的内接正三角形，点在劣弧上（不与点，重合），连，，，可得．若四边形的面积是：，则此时的长为_____，在这个条件下，设，当为_____时，的值最大． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质，二次函数最值，解直角三角形；作于，于．根据得，根据三角函数得，，得出，即可求得的长；设，则，由，根据二次函数的性质即可求解． 详解】解：如图，作于，于． ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 设，则， ， ， 时，有最大值， ，的值最大． 故答案为：；． 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）请求此二次函数的解析式； （2）判断点是否在这个二次函数的图象上？请说明理由． 【答案】（1） （2）点不在这个二次函数的图象上，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的的值判断即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：点不在这个二次函数的图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数的图象上． 18. 某校在手抄报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、食品安全”三个主题内容，一班推荐李明与张颖参加评比，若他们每人从以下三个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．   （1）李明选择交通安全手抄报的概率为________； （2）用列表法或画树状图法来求李明与张颖选择不同主题手抄报的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单等可能事件的概率，以及列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可． （2）根据题意画树状图得出所有等可能的结果数，以及李明与张颖选择不同小组的结果数，再利用概率公式求解，即可得出答案． 【小问1详解】 解：共三个活动小组， 李明选择交通安全手抄报的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：“交通安全，消防安全、食品安全”三个主题内容，分别用表示； 画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中李明与张颖选择不同小组的结果有6种， 李明与张颖择不同小组的概率为． 19. 如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是圆的一部分，路面米，拱高米． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心； （2）求圆的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，作垂直平分线； （1）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）利用垂径定理求出的长，设米，得到米，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求 【小问2详解】 解：连接，则， 路面米， 米， 设米， 拱高米， 米， ， ， 解得， 圆的半径为米． 20. 如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论； （2）如图，连接、利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接、 ∵，由（1）可知， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键． 21. 主题 探究滑雪运动员起跳后飞行路线的函数关系 素材1 研究步骤： （1）选定合适位置建立平面直角坐标系，确定x轴、y轴的位置； （2）利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度； （3）数据分析，形成结论． 实验数据：从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组对应数据如表所示： 0 2 4 6 8 10 20.00 21.40 22.40 23.00 23.20 23.00 素材2 根据上述表格绘制图表：从起跳点到最后着陆点的示意图如图所示： 根据提供的素材，解决问题： 任务1： 定函数 根据表中信息，求起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式． 任务2： 求最值 通过分析实验数据，你认为运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是________m； 任务3： 算距离 若运动员最后着陆点的竖直高度为，求运动员最后着陆点与起跳点的水平距离． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的性质．正确求出二次函数的解析式是解题关键． 任务1：由表格可知该抛物线对称轴为直线，即为该抛物线顶点，从而可设顶点式，再将，代入求解即可； 任务2：结合（1）可知，即得出答案； 任务3：令，求出x的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】解：任务1：根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数，且当时，；当时，， ∴该抛物线对称轴为直线， ∴为该抛物线顶点， ∴可设抛物线解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 任务2：由（1）可知当时，y取最大值，即， ∴运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是 任务3：令，则， 解得：，（舍）， ∴运动员最后着陆点与起跳点的水平距离为． 22. 在直角三角形中，，，将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，，，分别为，的中点，连接，． 猜想证明： （1）如图1，当恰好经过点B时，与的位置关系是________，数量关系是________． 问题解决： （2）如图2，当恰好经过点B时． ①试猜想与AE的位置关系和数量关系，并说明理由． ②连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；；（2）①； ；② 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，求出，根据等边三角形性质得出，，根据平行线的判定得出结论即可； （2）①根据旋转得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质得出，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，证明四边形为矩形，得出； ②根据勾股定理得出，求出，再根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理得出． 【详解】解：（1）在直角三角形中，，， ∴， ∵将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，恰好经过点B， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）①与的位置关系是，数量关系是． 理由：在直角三角形中，，， ∴， ∵将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，恰好经过点B， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）∵在中，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，， ∴在中，根据勾股定理得：， ∵点E为的中点， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ． ∴线段的长为． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）， （1）当时，求该函数图象的顶点坐标． （2）设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求的最大值． （3）已知，当时，该函数有最小值为，求c的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式即可； （2）将二次函数化为顶点式可得出其顶点为，得出，．根据图象经过点，即得出，从而可求出，结合二次函数的性质求解即可； （3）由题意可求出此时二次函数对称轴为直线，且其图象开口向上．从而可分类讨论当，即时、 当，即时和当，即时，结合二次函数的图象和性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时，该二次函数为：， ∴该函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵该函数图象经过点， ∴，即． ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且； 【小问3详解】 解：当时，原二次函数， ∴该二次函数对称轴为直线，且其图象开口向上． ∵当时，该函数有最小值为， ∴当，即时，当，y有最小值，即，即，不符合题意； 当，即时，当，y有最小值，即， 解得：，，都不符合题意； 当，即时，当，y有最小值，即，即，符合题意． 综上可知c的值为． 24. 如图1，圆内接四边形，为直径，点E在弧上，且满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G． （1）若，请用含的代数式表示． （2）如图2，连结，若．求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，连结，，，求的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）连接，利用证明即可得证； （3）由圆周角定理可得，证明，得出，由（2）可得：，推出，再证明，求出，由勾股定理可得，求出，，从而得出，，再由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$