2025年1月上海市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02

2025年1月上海市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02·参考答案 一、填空题（本题共12小题，每小题3分，共计36分） 1． 2． 3． 4．/0.25 5． 6． 7．/ 8． 9． 10．/ 11． 12． 二、选择题（本大题共14题，每小题3分，共计42分) 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 C D C B B A D C A B 23 24 25 26 C C D D 三、解答题（本题共2小题，共22分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 27．(10分) （1）在四面体中，由，是的中点， 得，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，是二面角的平面角， 在等腰中，，，则， 同理，而，因此是正三角形，， 所以二面角的大小为. 28．（12分） （1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1， 即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]， 由，得， 化简得，即，则∈[﹣1，1]， 所以，函数f（x）的零点为； （2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0； 代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数， 若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0； 又当a＝0时，， 则； 对任意x∈[﹣1，1]都成立， 综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月上海市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02 一、填空题（本题共12小题，每小题3分，共计36分） 1．已知集合， 则 2．已知i为虚数单位，计算： ． 3．已知向量，，则在方向上的数量投影是 . 4．若，则有最大值为 ． 5．表面积为的球的体积为 . 6．在中，，，，则 . 7．如果100件产品中有3件次品，那么返回抽取的2件产品都是次品的概率是 ． 8．若，则 ． 9．上海申花队一线队员共26名球员，其年龄分布茎叶图如图所示：则申花队球员年龄的第75百分位数是 10．函数的零点是 . 11．如图，正方体中，为的中点，为正方形的中心，则直线与侧面所成角的正切值是 . 12．已知，则的解集为 ． 二、选择题（本大题共14题，每小题3分，共计42分) 13．若，且满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 14．已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 15．已知为幂函数，则（    ） A． B． C．4 D． 16．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（    ） A． B． C． D． 17．下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 18．已知，则（    ） A． B． C． D． 19．若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 20．下列不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 21．已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压（单位：kPa）的分组区间为，.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数是（     ）. A．8 B．12 C．16 D．18 23．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   24．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 25．设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上是严格增函数 D．函数在上的值域为 26．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本题共2小题，共22分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 27．如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 28．已知函数． （1）若，求函数f（x）的零点； （2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月上海市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02 一、填空题 1．已知集合， 则 【答案】 【解析】因为， 所以， 故答案为： 2．已知i为虚数单位，计算： ． 【答案】 【解析】 故答案为： 3．已知向量，，则在方向上的数量投影是 . 【答案】 【解析】由向量，， 则，， 又在方向上的数量投影为， 故答案为：. 4．若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【解析】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 5．表面积为的球的体积为 . 【答案】 【解析】设球的半径为，则，可得， 故该球的体积为. 故答案为：. 6．在中，，，，则 . 【答案】 【解析】在中，根据余弦定理可得：， 设，则，整理可得，解得， 故. 故答案为：. 7．如果100件产品中有3件次品，那么返回抽取的2件产品都是次品的概率是 ． 【答案】/ 【解析】由题意得每一次抽到次品的概率都为， 所以返回抽取的2件产品都是次品的概率为. 故答案为： 8．若，则 ． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 9．上海申花队一线队员共26名球员，其年龄分布茎叶图如图所示：则申花队球员年龄的第75百分位数是 【答案】 【解析】，该国家队球员年龄的第75百分位数为第20名球员的年龄为31岁． 故答案为：. 10．函数的零点是 . 【答案】/ 【解析】令， 得， 即函数的零点是. 故答案为：. 11．如图，正方体中，为的中点，为正方形的中心，则直线与侧面所成角的正切值是 . 【答案】 【解析】如图所示，连接， 在正方体中，可得平面， 所以即为与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则， 在直角中，. 故答案为：. 12．已知，则的解集为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数， 函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 不等式，因此， 即，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 二、单选题 13．若，且满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，A选项错误； 当，时，，，，B选项错误； ∵且，∴，C选项正确； 当时，，D选项正确. 故选：C. 14．已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【解析】A选项，、是平面向量的一组基底，故、为不共线的非零向量， 设，故，无解，故、为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故、为不共线的非零向量，B错误； C选项，设， 故，无解，故，为不共线的非零向量，C错误； D选项，，故、共线，故不能作为基底，D正确. 故选：D 15．已知为幂函数，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】因为是幂函数，所以，得， 则，． 故选：C 16．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为， 所以它的一个样本空间为. 故选：B. 17．下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数， 又恒成立，所以在上为减函数，故B正确； 定义域为不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 由正弦函数的单调性可得在为增函数， 又， 所以在区间上是严格增函数，故D错误； 故选：B. 18．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，得，得，即方程的根为. 故选：A. 19．若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与互为相反数，则，即，则. 故选：D. 20．下列不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，令，则，满足，所以其解集不为，故A错误； 对于B，令，则，满足，所以其解集不为，故B错误； 对于D，令，则，满足，所以其解集不为，故D错误； 对于C，由得， 即，解得，故其解集为，故C正确. 故选：C. 21．已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立； 反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立． 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 22．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压（单位：kPa）的分组区间为，.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数是（     ）. A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【解析】由直方图可得第一组与第二组的频率之和为，第一组和第二组共有20人， 所以样本容量为，所以第三组的人数为人， 第三组中没有疗效的有6人，则第三组有疗效的有12人. 故选：B. 23．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 24．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】依题意，设年平均利润为，则（）， 当时， 当且仅当，即时取等号； 当时，则当时取得最大值且， 又，所以当时年平均利润取得最大值. 故选：C 25．设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上是严格增函数 D．函数在上的值域为 【答案】D 【解析】因为， 将函数的图像沿轴向右平移个单位得到， 又，所以为奇函数，故A错误； 因为，所以函数的图像不关于直线对称，故B错误； 当时，因为在上单调递减， 所以函数在上是严格增减函数，故C错误； 当时，所以， 则，即函数在上的值域为，故D正确. 故选：D 26．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 三、解答题 27．如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【解析】（1）在四面体中，由，是的中点， 得，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，是二面角的平面角， 在等腰中，，，则， 同理，而，因此是正三角形，， 所以二面角的大小为. 28．已知函数． （1）若，求函数f（x）的零点； （2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性． 【解析】（1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1， 即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]， 由，得， 化简得，即，则∈[﹣1，1]， 所以，函数f（x）的零点为； （2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0； 代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数， 若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0； 又当a＝0时，， 则； 对任意x∈[﹣1，1]都成立， 综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025年1月上海市普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷02 ( 姓 名： ______ ____________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 一、填空题（本题共12小题，每小题3分，共计36分） ( 1． _______________________ 2． _______________________ 3． _______________________ 4． _______________________ 5． _______________________ 6． _____________________ __ 7． _______________________ 8． _______________________ 9． _______________________ 10． _______________________ 11． _______________________ 12． _______________________ ) ( 二、选择题（本大题共14题，每小题3分，共计42分。) ) ( 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 19 [A] [B] [C] [D] 20 [A] [B] [C] [D] 21 [A] [B] [C] [D] 22 [A] [B] [C] [D] 23 [A] [B] [C] [D] 24 [A] [B] [C] [D] 25 [A] [B] [C] [D] 26 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题（本题共2小题，共22分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 27．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 28．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$