广东省广州市科学城中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

试卷第 1页，共 4页 2024-2025学年高二数学第一学期 10月月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知点 (1, 1, 2)A  关于 z轴的对称点为 B，则 AB 等于（ ） A． 2 2 B． 2 6 C．2 D．3 2 2．已知直线 1l 过 쳌䁠 쳌 쳌h 两点，且 21 ll  ，则直线 2l 的斜率为（ ） A． 3 2 B． 3 2  C． 2 1 D． 2 1  3．在空间四边形 ABCD中，E，F分别为 BC，CD的中点，则 1 ( ) 2 AF AB AC  （ ） A． EF B．BD C． EF D． BD 4．已知点  , 3,5A a  ，  0, ,2B b ，  2,7, 1C  ，若 A，B，C三点共线，则 a，b的值分别是（ ） A． 2 ，3 B． 2 ，2 C．1，3 D． 1 ，2 5．经过点  , 6A m ，  2,3B m 两点的直线的倾斜角是 045 ，则m 的值为（ ） A．4 B．2 C．1 D． 2 6．在所有棱长均为 2的平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 1 60A AB A AD BAD      ，则 1AC 的长为（ ） A． 2 3 B． 2 5 C． 2 6 D．6 7．已知点 A(0，3)，B(3，2)，直线 l过点 쳌 且与线段 AB有公共点，则直线 l的斜率的取值范围是（ ） A．[－2，0)∪(0， 2 1 ] B．(－∞，－ 2 1 ]∪[2，＋∞) C．[－2， 2 1 ] D．(－∞，－2]∪[ 2 1 ，＋∞) 试卷第 2页，共 4页 8．在棱长为 a的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M ，N分别为 1BD ， 1 1BC 的中点，点 P在正方体表面上运动， 且满足MP CN ，则点 P轨迹的长度是（ ） A．    3 3 a B．  2 5 a C．  3 5 a D．4a 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知向量 쳌 쳌 ， 쳌쳌 ， 쳌쳌䁠 ，则（ ） A． B．在上的投影向量为 쳌 쳌 C． D．向量쳌쳌共面 10．已知向量    1,2 , 2 , 2 5, ,1a m m b m m    ，则下列结论正确的是（ ） A．若 a ∥ b，则 3m  B．若 a b ，则 2 5 m   C． a 的最小值为 2 30 5 D． a 的最大值为 4 11．已知四面体 ABCD满足 1AB CD  ， 2BC AD BD AC    ，则（ ） A．直线 AC与 BD所成的角为30 B．直线 AB与CD所成的角为90 C．点M 为直线 AD上的动点，M 到BC距离的最小值为 2 2 D．二面角C AB D  平面角的余弦值为 5 7 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12． 已知 3 3, ,3 2 2 a       ，  1,1, 2b   ，则 2a b  _________. 13．在正方体 ABCD A B C D    中，点 E是上底面 A B C D   的中心，若 AE xAD yAB zAA   ，则实数 x y z   ． 14．在长方体 方体 方体中， 쳌体 ，点 为侧面 内一动点，且满足方 平面 方体，则方的最小值为 ，此时点 到直线方的距离为 . 试卷第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量  1,0,1a   ，  1, 2,0b   （1）求 a与  a b 的夹角； （2）若 2a b 与a tb 垂直，求实数 t的值． 16．（15分） 如图所示，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 E，P分别为CD， 1 1A B 的中点. （1）求证：直线 / /DP 平面 1AB E； （2）求点 A到平面 1BB E的距离. 17．（15分） 已知  4,0A ，  1,2B ，  ,C m m ，  7, 1D  . （1）若直线 AB与CD平行，求m的值； （2）若 ABCV 为直角三角形，求m的值. 试卷第 4页，共 4页 18．（17分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1B B 平面 1, 90 , 1ABC ABC AB BC BB      ，E，F，G分别是 棱 AB，BC， 1BB 上的动点，且 1AE BF BG  ． （1）求证： 1 1AF CG ； （2）若平面 1EGC 与平面 1 1AA B B的夹角的余弦值为 1 3 ，求 BF． 19．（17分） 在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 底面 ABCD，侧面PAD为正三角形， 底面 ABCD为矩形， M 是PD的中点，且PB与平面 ABCD所成角的正弦值为 6 4 . （1）求证： AM 平面 PCD； （2）求直线 AM 与直线 PB所成角的余弦值； （3）求平面 ABM 与平面 PBC所成夹角的正弦值.