第26讲三角函数的应用（3个知识点+3种题型+1个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第26讲三角函数的应用 （3个知识点+3种题型+1个易错点+过关检测） 知识点1：y=Asin（ωx+φ），x∈[0，＋∞）（其中A＞0，ω＞0）中各量的物理意义 简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0，x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离. (1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； (2)往复运动一次所需的时间T=称为这个运动的周期； (3)单位时间内往复运动的次数f==称为运动的频率； (4)ωx+φ称为相位，x=0时的相位φ称为初相位. 知识点2：应用三角函数解决实际问题 解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意：读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题. (2)建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型. (3)求解函数模型：利用所学的三角函数知识解得到的三角函数模型，求得结果. (4)得出结论：将所得结果翻译成实际问题的答案，并检验. 知识点3：函数拟合获得模型的方法、步骤 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤 (1)根据原始数据绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式． (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 题型1：三角函数模型在物理中的应用 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【变式1】（2021高一上·江苏·专题练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（    ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）在两个弹簧上各挂一个质量分别为和的小球，它们做上、下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移（cm）和（cm）分别由下列两式确定：，．则在时间时，与的大小关系是 ． 【变式3】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 题型2：三角函数在实际生活中的应用 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（    ） A．甲 B．戊 C．丙 D．丁 【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位：℃），如图．根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系式为 ．    【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如表所示： 日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日 日期位置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 存活时间y小时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 (1)试选用一个形如的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式； (2)用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时． 题型3：三角函数模型的拟合问题 【例题3】（高一·全国·单元测试）当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表. （月份） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8 （1）根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型； （2）当自然气温不低于13.7℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间. 【变式1】（22-23高一·全国·随堂练习）北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间． (1)在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型； (2)某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？ 【变式2】（20-21高一·江苏·课后作业）下表是某地一年中10d（天）的白昼时间. 日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 白昼时间/h 5.59 10.23 12.38 16.39 7.26 日期 6月21日 8月14日 9月23日 10月25日 11月21日 白昼时间/h 19.40 16.34 12.01 8.48 6.13 （1）以日期在365d（天）中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，描出这些数据的散点图； （2）选用一个三角函数来近似描述白昼时间与日期序号之间的函数关系； （3）用（2）中的函数模型估计该地7月8日的白昼时间. 【变式3】（22-23高一上·河北邢台·期末）某地农业检测机构统计发现：该地区近几年的活鸡收购价格（元/斤）每年四个季度会重复出现，但活鸡养殖成本（元/斤）逐季递增.下表是该地区今年四个季度的统计情况： 季度 第1季度 第2季度 第3季度 第4季度 收购价格 8 10 8 6 养殖成本 3 4 现打算从以下两个函数模型：①；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年活鸡收购价格与第季度之间的函数关系､养殖成本与第季度之间的函数关系（从今年第1季度为第1个季度开始计算）. （数据参考：取.） (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型的解析式. (2)若活鸡的收购价格高于养殖成本，则该地区活鸡养殖户盈利，若活鸡的收购价格低于养殖成本，则该地区活鸡养殖户亏损.按照你选定的函数模型，帮助该机构估计一下，明年四个季度该地区活鸡养殖户是盈利还是亏损？ 易错点：确定φ的值时因选用的点不当而致错 【例题1】（23-24高一上·山东聊城·期末）如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C．1s D． 【变式2】（高一·全国·课后作业）下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为 . 【变式3】如图所示，大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m）． （1）求函数h＝f（t）的关系式． （2）画出函数h＝f（t）的图象． 一、单选题 1．（23-24高一上·天津滨海新·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.由于受潮汐的影响，某港口一天中各时刻的水位高低相差很大.如图，已知该港口某天从8时至14时的水深（单位：）与时刻的关系可用函数近似刻画，其中，，.据此可估计该港口当天9时的水深为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京密云·期末）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏连云港·期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（    ） A．50 B．70 C．90 D．130 4．（23-24高一上·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23高一上·浙江·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮的转盘直径为110米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为80米，摩天轮匀速逆时针旋转，每30分钟转一圈．若摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下列说法中错误的是（    ） A．经过10分钟，点P上升了82.5米 B．在第20分钟和第40分钟时点P距离地面的高度相同 C．摩天轮旋转一周的过程中，点P距离地面的高度不低于55米的时间大于20分钟 D．点P从第5分钟至第10分钟上升的高度是其从第10分钟到第15分钟上升的高度的2倍 6．（23-24高一上·全国·课后作业）车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F （单位：辆/分钟）与时间t （单位：分钟）的函数关系式为，则车流量增加的时间段是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东烟台·期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 8．（23-24高一上·陕西榆林·期末）如图，一个大风车的半径是，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）弹簧振子以O为平衡位置，在两点间做简谐振动，相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点，下列说法正确的有（    ） A．振动的振幅为10cm B．周期s C．弹簧振子在5s内通过的位移为200cm D．弹簧振子在5s内通过的路程为200cm 10．（23-24高一上·福建泉州·期末）生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量在8月份随时间（单位：日，）的变化近似地满足函数，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则（    ） A． B． C．8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少 D．8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天 11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（    ）    A．该函数的最小正周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线 C．该函数的解析式是 D．该市这一天中午12时天气的温度大约是 三、填空题 12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 时，游客流量最大． 13．（23-24高一上·湖北武汉·期末）某公园有一座摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米，匀速运行一周大约分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时，他距地面大约为 米 14．（24-25高一上·全国·课后作业）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系． 时刻 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为 m． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知不等臂跷跷板长为3米.跷跷板的支撑点O到地面的距离米.当跷跷板的一个端点A碰到地面时（如图1），与直线的夹角的度数为30°.    (1)当的另一个端点B碰到地面时（如图2），跷跷板与直线的夹角的正弦值是多少？ (2)当的另一个端点B碰到地面时（如图2），点A到直线的距离是多少米？ 16．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为. (1)在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段. 17．（24-25高一上·全国·课前预习）某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 18．（24-25高一上·全国·课前预习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，时间与小球相对平衡位置（即静止时的位置）的高度之间的函数关系式是，．    (1)以为横坐标，为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)小球开始振动的位置在哪里？小球最高点、最低点的位置及各自到平衡位置的距离分别是多少？ (3)小球经过多长时间往复振动一次？小球内能振动多少次？小球在什么时间内是升高状态？ 19．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如左图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如右图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【注】可能用到的基本事实有：对于锐角越大，则越大，反之亦然；对任意两个锐角，总有成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26讲三角函数的应用 （3个知识点+3种题型+1个易错点+过关检测） 知识点1：y=Asin（ωx+φ），x∈[0，＋∞）（其中A＞0，ω＞0）中各量的物理意义 简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0，x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离. (1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； (2)往复运动一次所需的时间T=称为这个运动的周期； (3)单位时间内往复运动的次数f==称为运动的频率； (4)ωx+φ称为相位，x=0时的相位φ称为初相位. 知识点2：应用三角函数解决实际问题 解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意：读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题. (2)建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型. (3)求解函数模型：利用所学的三角函数知识解得到的三角函数模型，求得结果. (4)得出结论：将所得结果翻译成实际问题的答案，并检验. 知识点3：函数拟合获得模型的方法、步骤 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤 (1)根据原始数据绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式． (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 题型1：三角函数模型在物理中的应用 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【答案】D 【分析】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可. 【详解】由题意得，， 故函数的周期为，，可得， 令，解得， 故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故选：D. 【变式1】（2021高一上·江苏·专题练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（    ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 【答案】D 【分析】对于A,把代入已知函数，求得值即可得初始位置； 对于B,由解析式可得振幅，即为所求； 对于C,由函数的解析式及周期公式即可求解； 对于D,由频率与周期的关系即可求解． 【详解】对于A,由题意可得当时，， 故小球在开始振动时的位置在；故A正确； 对于B,由解析式可得振幅,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为； 故B正确； 对于C,可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确； 对于D,由C可知，，可得频率为（），即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确. 故选：D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）在两个弹簧上各挂一个质量分别为和的小球，它们做上、下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移（cm）和（cm）分别由下列两式确定：，．则在时间时，与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用给定的关系式，求出时与的值，即可进行大小比较. 【详解】当时，， ，所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 【答案】(1)，. (2)次. 【分析】（1）根据最高点与最低点间距离和两次到达最高点的最短时间可分别得到A和最小正周期T，由此可得解析式； （2）由频率与周期的关系即可直接得答案. 【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以. 因为在时，小球位于最高点，所以，解得，. 因为，所以. 所以，. （2）小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动次. 题型2：三角函数在实际生活中的应用 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（    ） A．甲 B．戊 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】最小值和最大值之间的横坐标相差周期，由此可以知道答案. 【详解】因为最小值和最大值之间的横坐标相差周期， 而乙在最低点， 所以经过周期后，乙点与丁点相同. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法设出函数解析式后，由题意可得函数周期、最大最小值等，即可计算出函数中相应系数，即可得解. 【详解】根据题意可设，则．旋转一周， ． 最大值与最小值分别为14，2， ，解得． ． 故选：D． 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位：℃），如图．根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系式为 ．    【答案】 【分析】根据最高点以及最低点的纵坐标，可得，由横坐标可得，进而可得，代入最高点的坐标即可求解 【详解】若以1月份为最低气温15，8月份为最高气温27， 则可得 故， 将最高点代入可得,故， 解得，由于，则, 所以函数解析式为． 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如表所示： 日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日 日期位置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 存活时间y小时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 (1)试选用一个形如的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式； (2)用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时． 【答案】(1) (2)121天 【分析】（1）假设函数模型，利用三角函数的图象与性质计算参数即可； （2）根据（1）的结论，利用正弦函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）设细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足 ， 由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， ∴，故， 又，故， 又，∴． 当时，， ∴， ∴． （2）由得， 又， ∴， 可得， 易知， ∴这种细菌一年中大约有121天的存活时间大于15.9小时． 题型3：三角函数模型的拟合问题 【例题3】（高一·全国·单元测试）当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表. （月份） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8 （1）根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型； （2）当自然气温不低于13.7℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间. 【答案】（1）；（2）每年的十一月初至第二年的四月末 【解析】（1）作出散点图，得到曲线后，根据周期变化特点可考虑用余弦型函数模型；结合图象可求得解析式； （2）令可求得的取值，从而可确定最佳旅游时间. 【详解】（1）以月份为横轴，气温为纵轴作出散点图，并以光滑的曲线连接各散点，得到如图所示的曲线 由于各地月平均气温是以个月为周期变化的，故依散点图所绘制的图象，可以考虑用来模拟 由最高气温为，最低气温为得：， 又     又时，y取最大值，则     为惠灵顿市的常年气温函数模型 （2）当时，或 说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于，是惠灵顿市的最佳旅游时间 【点睛】本题考查三角函数的实际应用问题，关键是能够建立起合适的函数模型，进而通过三角函数图象求解析式的方法求得拟合的函数模型. 【变式1】（22-23高一·全国·随堂练习）北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间． (1)在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型； (2)某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？ 【答案】(1)详见解析 (2)6：10前 【分析】根据有关数据，把数据转化为散点图，根据散点图的变化规律确定模拟函数，并做出预测. 【详解】（1） 日期 1月1日 2月1日 3月1日 4月1日 5月1日 6月1日 日出时间 6:50 6:40 6:30 6:20 6:10 6:05 日落时间 5:30 5:40 5:50 6:00 6:05 7:00 日期 7月1日 8月1日 9月1日 10月1日 11月1日 12月1日 日出时间 6:00 6:10 6:20 6:30 6:40 6:50 日落时间 7:10 7:00 6:50 6:40 6:30 6:20 散点图如下：   该图象近似看作正弦型函数的模型. （2）从所得表格可以看出，在五月份的时候，日出时间在6：10，而天安门升旗时间是日出的时候，所以某同学想看升旗的话，应该在6：10前到达天安门广场. 【变式2】（20-21高一·江苏·课后作业）下表是某地一年中10d（天）的白昼时间. 日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 白昼时间/h 5.59 10.23 12.38 16.39 7.26 日期 6月21日 8月14日 9月23日 10月25日 11月21日 白昼时间/h 19.40 16.34 12.01 8.48 6.13 （1）以日期在365d（天）中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，描出这些数据的散点图； （2）选用一个三角函数来近似描述白昼时间与日期序号之间的函数关系； （3）用（2）中的函数模型估计该地7月8日的白昼时间. 【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据所给数据将日期转化为实数，画出散点图； （2）不妨设白昼时间与日期序号之间的函数关系是，依题意求出，，，，即可得到函数解析式； （3）易知7月8日时，代入（2）中函数解析式，计算可得； 【详解】解：（1）根据已知横坐标依次为1,59,80,117,172,226,266,298,325，散点图如下所示：    （2）不妨设白昼时间与日期序号之间的函数关系是，则，，，所以，即，且当时，解得，所以 （3）易知7月8日时，所以 故该地7月8日的白昼时间约为 【变式3】（22-23高一上·河北邢台·期末）某地农业检测机构统计发现：该地区近几年的活鸡收购价格（元/斤）每年四个季度会重复出现，但活鸡养殖成本（元/斤）逐季递增.下表是该地区今年四个季度的统计情况： 季度 第1季度 第2季度 第3季度 第4季度 收购价格 8 10 8 6 养殖成本 3 4 现打算从以下两个函数模型：①；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年活鸡收购价格与第季度之间的函数关系､养殖成本与第季度之间的函数关系（从今年第1季度为第1个季度开始计算）. （数据参考：取.） (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型的解析式. (2)若活鸡的收购价格高于养殖成本，则该地区活鸡养殖户盈利，若活鸡的收购价格低于养殖成本，则该地区活鸡养殖户亏损.按照你选定的函数模型，帮助该机构估计一下，明年四个季度该地区活鸡养殖户是盈利还是亏损？ 【答案】(1)模型①为，模型②为； (2)估计明年四个季度该地区活鸡养殖户都会盈利. 【分析】（1）分析表中数字变化情况，即可得出函数模型. 模型①中，根据表中数据可得出，.进而由最值解出、的值，代入点可求出；模型②中，将表中的两个点的坐标代入，联立即可得出； （2）根据（1）中求出的函数解析式，将、、、，分别代入即可得出明年各个季度的养殖成本与收购价格，比较大小即可得出答案. 【详解】（1）由表中数据可知，收购价格随月份变化上下波动，应选择模型①； 由表中数据可知，收养殖成本随月份缓慢上升，应选择模型②. 对于模型①，由点及可得该函数周期为， 则由，可得. 又该函数最大值为10以及最小值为6可得，，解得. 所以. 将代入可得， 所以， 又，所以，所以模型①为. 对于模型②，的图象过点，. 所以，解得. 所以模型②为. （2）由（1）设，. 若，则盈利，若，则亏损. 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则. 这说明明年四个季度的收购价格都高于养殖成本，所以估计明年四个季度该地区活鸡养殖户都会盈利. 易错点：确定φ的值时因选用的点不当而致错 【例题1】（23-24高一上·山东聊城·期末）如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式. 【详解】设， 由题意可知，，，解得，， 函数的最小正周期为， 则， 当时，，可得， 又因为，则，故， 故选：A. 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C．1s D． 【答案】D 【分析】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可. 【详解】由题意得，，故函数的周期为，，可得，令，解得，故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故选：D 【变式2】（高一·全国·课后作业）下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为 . 【答案】 【解析】根据函数图像求出，再求出，将特殊点代入函数解析式求出，即可求得函数解析式. 【详解】解析根据题图设，则，∴，∴. 将点作为“五点法”作图中的第一点， ∴，∴， ∴，. 故答案为： 【点睛】本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，根据最值求出A，根据周期求出，再代入特殊点求出，即可求得函数解析式，属于基础题. 【变式3】如图所示，大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m）． （1）求函数h＝f（t）的关系式． （2）画出函数h＝f（t）的图象． 【答案】（1）h＝﹣2cos（）+2.5；（2）见解析 【分析】（1）以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为Y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2m，圆上最低点与地面距离为0.5m，12s秒转动一圈，我们易得到到h与t间的函数关系式； （2）结合（1）中三角函数的解析式，再根据解析式画出函数的图象． 【详解】（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ﹣， 故点B的坐标为（2cos，2sin）， ∴h＝2.5+2sin＝﹣2cos（）+2.5． （2）图象如图： 【点睛】本题考查的是在实际问题中建立三角函数模型，将现实问题转化为数学问题，是解答的关键，属于中档题． 一、单选题 1．（23-24高一上·天津滨海新·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.由于受潮汐的影响，某港口一天中各时刻的水位高低相差很大.如图，已知该港口某天从8时至14时的水深（单位：）与时刻的关系可用函数近似刻画，其中，，.据此可估计该港口当天9时的水深为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象可得函数的表达式为，即可代入求解. 【详解】根据图象可得，解得：， 故， 当时，，故， 进而可得，由于，所以， 故， 当时，则， 故选：C 2．（23-24高一上·北京密云·期末）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入解析式得到，得到解析式，代入求出答案. 【详解】将代入中得， ，即， 因为，所以，所以，解得， 故， 当时，. 故选：D 3．（23-24高一上·江苏连云港·期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（    ） A．50 B．70 C．90 D．130 【答案】B 【分析】根据频率公式进行计算. 【详解】由题意得，此人每分钟心跳的次数为. 故选：B 4．（23-24高一上·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点的纵坐标为，即距地面的高度函数求解． 【详解】由题意得，而是以为始边，为终边的角， 由在内转过的角为，可知以为始边， 为终边的角为，则点的纵坐标为， 所以点距地面的高度为， 故选：A. 5．（22-23高一上·浙江·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮的转盘直径为110米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为80米，摩天轮匀速逆时针旋转，每30分钟转一圈．若摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下列说法中错误的是（    ） A．经过10分钟，点P上升了82.5米 B．在第20分钟和第40分钟时点P距离地面的高度相同 C．摩天轮旋转一周的过程中，点P距离地面的高度不低于55米的时间大于20分钟 D．点P从第5分钟至第10分钟上升的高度是其从第10分钟到第15分钟上升的高度的2倍 【答案】C 【分析】由已知得出时间与高度的关系式：，利用该关系式代入求值即可. 【详解】解：由已知得点从最低处开始，转动时间与其距地面高度的关系可以用正弦型函数表示. ∵每30分钟转一圈，故周期； ∵摩天轮直径110米，故振幅，摩天轮中心距地面80米，则， 又可知代入可得：. 故： A项：经过10分钟，，故点P上升了82.5米，正确； B项：经过10分钟和40分钟，而40分钟比10分钟多一周期，∴都上升了82.5米，故高度相同，正确； C项：当旋转5分钟时，，此时与底面距离52.5米，从而高度低于55米的时间大于10分钟，即不低于55米的时间小于20分钟，故错误； D项：，显然正确． 故选：C 6．（23-24高一上·全国·课后作业）车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F （单位：辆/分钟）与时间t （单位：分钟）的函数关系式为，则车流量增加的时间段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的单调递增区间，根据选项进行判断即可. 【详解】令，得， 因为， 所以当 时，函数 的单调递增区间为； 当 时，函数的单调递增区间为． 因为， 所以车流量在时间段 内是增加的， 故选：C. 7．（23-24高一上·山东烟台·期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【答案】D 【分析】根据题设可得且，结合图分析各项的正误. 【详解】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且， 所以，A错； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错； 当，则，C错； ，D对. 故选：D 8．（23-24高一上·陕西榆林·期末）如图，一个大风车的半径是，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，结合解直角三角形以及角速度求得P离地面的距离h与时间t之间的函数关系. 【详解】以最低点的切线作为 x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 风车上翼片端点P所在位置可由函数，来刻画，而且， 又设P的初始位置在最低点，即， 在中，，所以， 又，，， 则. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）弹簧振子以O为平衡位置，在两点间做简谐振动，相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点，下列说法正确的有（    ） A．振动的振幅为10cm B．周期s C．弹簧振子在5s内通过的位移为200cm D．弹簧振子在5s内通过的路程为200cm 【答案】ABD 【分析】利用简谐运动中振幅、周期、位移等概念一一分析即可. 【详解】由题意知振幅的2倍为，则振幅为10cm，故A正确； 0.5s振子首次到达C点，即，所以，故B正确； 所以5s内振子通过的路程为，故D正确； 5s对应5个周期，所以振子又回到B点，位移为0cm，故C错误. 故选：ABD 10．（23-24高一上·福建泉州·期末）生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量在8月份随时间（单位：日，）的变化近似地满足函数，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则（    ） A． B． C．8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少 D．8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天 【答案】AD 【分析】根据题意可得函数最小正周期，即可求得，判断A；结合函数的最值可确定的值，判断B；结合函数的单调性以及周期，可判断C；根据函数最小值求出，可得函数解析式，由题意列出不等式，求得t的范围，结合k的取值，即可判断D. 【详解】不妨设8月1日时为，则设T为最小正周期，则， 即，A正确； 又，B错误； 因为函数的最小正周期为12，所以种群数量从8月13日至19日逐渐增加， 从8月19日至25日逐渐减少，C错误； 由以上分析可知， 当时，y取到最小值100，即， 故， 则， 令，则， 则，即， 故或或，共13天，D正确， 故选：AD 11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（    ）    A．该函数的最小正周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线 C．该函数的解析式是 D．该市这一天中午12时天气的温度大约是 【答案】ABD 【分析】由函数的最大值和最小值求出和，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论． 【详解】解：根据函数的部分图象， 可得函数的最大值为，最小值为， 所以，， ， ． 结合五点法作图，可得，，， ， 该函数的解析式是，故C错误； 故函数的最小正周期为，故选项A正确； 令，求得，为最大值，故该函数图象的一条对称轴是直线，故选项B正确． 令，求得度，故选项D正确， 故选：ABD． 三、填空题 12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 时，游客流量最大． 【答案】8 【分析】根据余弦函数性质求出函数的最大值及取最大值时的值，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以当，即时，取最大值， 所以时，取最大值， 又游客流量越大所需服务工作的人数越多， 所以时，游客流量最大． 13．（23-24高一上·湖北武汉·期末）某公园有一座摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米，匀速运行一周大约分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时，他距地面大约为 米 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出某人第分钟时所在位置关于的解析式，利用函数解析式求出时的值即可． 【详解】解：如图设为地面，圆为摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米， 则摩天轮的最低点离地面米，即， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时所在位置的高度为， 则， 由题意，， 则， 所以， 当时，． 故答案为：． 14．（24-25高一上·全国·课后作业）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系． 时刻 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为 m． 【答案】4 【分析】由表中的数据可得，可求出，由最大值和最小值可求出，从而可求出函数关系式，然后将代入可求得答案. 【详解】由题意得函数（其中）的周期为， 所以，得， 由表中数据可知最大值为7，最小值为3，则，解得， 所以， 所以该港口在11:00的水深为． 故答案为：4. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知不等臂跷跷板长为3米.跷跷板的支撑点O到地面的距离米.当跷跷板的一个端点A碰到地面时（如图1），与直线的夹角的度数为30°.    (1)当的另一个端点B碰到地面时（如图2），跷跷板与直线的夹角的正弦值是多少？ (2)当的另一个端点B碰到地面时（如图2），点A到直线的距离是多少米？ 【答案】(1) (2)1米. 【分析】（1）由锐角三角形三角函数定义求得正弦值； （2）利用三角函数值相等即可求得距离. 【详解】（1）在中， ∵，，米， ∴（米）， ∴（米）. 在中， ∵，米，米， ∴. （2）如图，过点A向直线作垂线，垂足为M，    在中， ∵，，米， ∴（米）， 故点A到直线的距离是1米. 16．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为. (1)在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数的最大值和最小值可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，求出该函数的最小正周期，可得出的值，再由，结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）在时，解不等式即可得出结论. 【详解】（1）解：由题意知的最大值为，最小值为， 所以，，解得， 由题意可知，函数的最小正周期为， 则，所以. 当时，，即，可得， 又，所以，所以，. （2）解：令，得. 由，得，所以，解得， 即在水轮转动的一圈内，点在水面下方的时段是秒到秒. 17．（24-25高一上·全国·课前预习）某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 【答案】，． 【分析】由振子振动的物理学原理判断位移关于时间的函数解析式为，根据表格数据作出散点图，依次确定的值即得函数解析式. 【详解】振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知， 其位移y随时间t的变化规律可以用函数来刻画． 根据已知数据作出散点图，如图所示． 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此； 振子振动的周期为，即，解得； 再由初始状态（）振子的位移为，可得，解得. 所以振子的位移关于时间的函数解析式为，． 18．（24-25高一上·全国·课前预习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，时间与小球相对平衡位置（即静止时的位置）的高度之间的函数关系式是，．    (1)以为横坐标，为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)小球开始振动的位置在哪里？小球最高点、最低点的位置及各自到平衡位置的距离分别是多少？ (3)小球经过多长时间往复振动一次？小球内能振动多少次？小球在什么时间内是升高状态？ 【答案】(1)作图见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据函数的解析式，利用“五点作图法”即可作出其一个周期上的图象； （2）根据函数的最大值和最小值，即可求得答案； （3）求出函数的周期，即得小球往复振动一次的时间，根据函数的频率为周期的倒数，即得小球内能振动的次数，结合图象可判断升高状态的时间段. 【详解】（1）画出函数的简图（长度为一个周期）． ①列表： t 0 2 0 0 ②描点． ③连线：用平滑曲线依次连接各点即得一个周期内的简图，如图所示．    （2）当时，，即小球开始振动时的位置为． 当时，；当时，， 即最高点位置为，，最低点位置为； 最高点、最低点到平衡位置的距离均为2cm． （3）小球往复振动一次所需时间即周期． 小球1s内振动的次数为频率（次）． 小球在或（，）内是升高状态． 19．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如左图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如右图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【注】可能用到的基本事实有：对于锐角越大，则越大，反之亦然；对任意两个锐角，总有成立. 【答案】(1)159米 (2)米 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$