精品解析： 北京市延庆区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷 八年级数学2024.10 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题：（共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不改变分式值，下列各式中变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式中，计算正确的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ） A B. C. D. 8. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 36的算术平方根是___． 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 11. 当分式的值为时，的值为_______． 12. 比较大小：___________3（填“>”、“=”或“＜”）． 13. 写出的一个同类二次根式_________． 14. 如果，那么的值为______． 15. 已知，为整数，则的值是______． 16. 某学校计划租客车接送名学生和名教师去参加社会大课堂活动，每辆车至少有名教师．现有，，三种型号客车，载客量和租金如下表所示： 型客车 型客车 型客车 载客量（单位：人辆） 租金（单位：元辆） 请你写出一个满足乘坐需求的租车方案______；租车总费用最少需要______元． 三、解答题（共68分，17-18题，每小题8分；19-24题，每小题5分；25题6分；26-27题，每小题5分；28题6分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 乙同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误． （1）请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程： 22. 解分式方程：． 23. 解分式方程：． 24. 先化简，再求值：，其中． 25. 为了提高生产效率，宏达公司对生产线进行了技术更新．更新技术后平均每天比更新技术前多生产万件产品，更新技术后生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，求更新技术后每天生产多少万件产品？ 26. 阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，其中，都是整数，直接写出的值． 27. 对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： （1）分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； （2）已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 28. 对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． （1）已知，，求，的“友好数”； （2）已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷 八年级数学2024.10 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题：（共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义时，分母不等于零． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．中被开方数被开方数中不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意， B．中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意， C．，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意， D．，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意， 故选：A． 3. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别及求算术平方根，无理数是指无限不循环小数，由此判断即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故该选项不符合题意， B．是分数，属于有理数，故该选项不符合题意， C．，是整数，属于有理数，故该选项不符合题意， D．是开方开不尽的数，属于无理数，故该选项符合题意． 故选：D． 4. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质对各选项进行判断即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项化简正确，符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 故选：． 5. 不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于的整式，分式值不变，即可得出答案，掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项变形错误，不符合题意； 、，原选项变形错误，不符合题意； 、，原选项变形错误，不符合题意； 、，原选项变形正确，符合题意； 故选：． 6. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项排除即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不可以合并，原选项不符合题意； 、与不可以合并，原选项不符合题意； 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 7. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴、勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．由数轴可知正方形的边长为1，由勾股定理即可得出正方形的对角线长为，根据以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧可得出，则可得出点A表示的数． 【详解】解：由图可知正方形的边长为1， ∴正方形的对角线长为：， ∵以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧， ∴， ∴点A表示的数是， 故选：B． 8. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2 xm/min，根据时间=路程÷速度，结合乙组到达顶峰所用时间比甲组少15 min，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2m/min， 依题意得： 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键. 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 36的算术平方根是___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据算术平方根可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴36的算术平方根是6； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键． 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 11. 当分式的值为时，的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为的条件，熟练掌握分式为零时必须同时满足分子为零且分母不为零是解题关键．根据分式值为的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：． 故答案为： 12. 比较大小：___________3（填“>”、“=”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故答案为： 【点睛】此题考查了实数的大小比较，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 13. 写出的一个同类二次根式_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：的同类二次根式为． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 14. 如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，有理数减法，根据几个非负数的和为，那么这几个非负数的值都为求出的值，再根据有理数的减法运算计算即可，熟练掌握非负数的性质和有理数减法法则是解题的关键． 详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 已知，为整数，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】估算出在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， ， ∵为整数， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查无理数的估算，估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键． 16. 某学校计划租客车接送名学生和名教师去参加社会大课堂活动，每辆车至少有名教师．现有，，三种型号的客车，载客量和租金如下表所示： 型客车 型客车 型客车 载客量（单位：人辆） 租金（单位：元辆） 请你写出一个满足乘坐需求的租车方案______；租车总费用最少需要______元． 【答案】 ①. 辆客车（答案不唯一） ②. 租客车辆， 客车辆 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，由题意可知，最多租辆客车，从而写出满足乘坐需求的租车方案即可，按租丙客车的数量讨论，设甲客车租x辆，分别列不等式求解，再计算满足需求的租车方案的总费用，即可得到答案，正确理解题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：∵每辆车至少有名教师， ∴最多租辆客车， ∵总人数为(人) ， 若全租客车，符合题意, 则满足乘坐需求的租车方案为辆客车， 故答案为：辆客车 (答案不唯一) ； 若租客车辆，则客车没有租， 此时乘坐人数为满足题意， 租车总费用为: 元； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得： ∴的取值为或， 当时，即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 当时， 即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得：， ∴的取值为或， 当时，即租客车辆，客车辆， 客车辆， 租车总费用为: （元）； 当时， 即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得：， ∴取值为， 当时，即租客车辆， 客车辆， 租车总费用为: （元）； 当租客车少于辆时，均不满足需求， 则租车总费用最少的租车方案为租客车辆， 客车辆， 故答案为：租客车辆， 客车辆． 三、解答题（共68分，17-18题，每小题8分；19-24题，每小题5分；25题6分；26-27题，每小题5分；28题6分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法及二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据二次根式乘法法则计算即可得答案； （2）先化简各二次根式，再根据二次根式加减法混合运算法则计算即可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则及完全平方公式是解题关键． （1）先计算算术平方根、绝对值及立方根，再计算加减即可得答案； （2）利用完全平方公式，根据二次根式混合运算法则计算即可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式混合运算，根据同分母的分式的加减，进行计算，再约分即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据异分母分式的加减法法则把括号内的分式通分计算，再利用平方差公式、完全平方公式及分式乘法法则约分计算即可得答案． 【详解】解： ． 21. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 乙同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误． （1）请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程： 【答案】（1）甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得． 【小问1详解】 我选择甲同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是通分时第一个分式的分子少乘了x-1； 或我选择乙同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是直接去掉分母； 故答案为：甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）； 【小问2详解】 (选甲为例） = = = 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 22. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题只需按照求分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后进行检验即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并得， 系数化为1，得： 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是： 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 23. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】等式双方同乘最简公分母，再合并同类项化简即可. 【详解】解：去分母得： 经检验：是原分式方程的解. 【点睛】本题考查了解分式方程的能力，掌握化解过程是解题关键，记住结果要检验. 24. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先对括号内进行通分，然后将除法转化为乘法进行约分，即可得到化简后的结果，最后代入求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 25. 为了提高生产效率，宏达公司对生产线进行了技术更新．更新技术后平均每天比更新技术前多生产万件产品，更新技术后生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，求更新技术后每天生产多少万件产品？ 【答案】更新技术后每天生产万件产品． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系，列出方程是解题关键．设更新技术后每天生产万件产品，则更新技术前每天生产万件产品，根据“更新技术后生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同”列出分式方程，解方程即可得答案． 【详解】解：设更新技术后每天生产万件产品，则更新技术前每天生产万件产品， ∵更新技术后生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同， ∴， 解得：． 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 答：更新技术后每天生产万件产品． 26. 阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： = ． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 27. 对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： （1）分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； （2）已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；②的值为或或或 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法运算，正确利用“凑分母”的方法将分式变形是解题关键． （1）把变形为，再把前面的分式分母提取公因式并约分，即可得答案； （2）①把表示成整式与分式和的形式，根据为整式，得出变形后的分式为0，根据分式值为0，分子为0即可得答案； ②根据的值及①中变形结果得出，根据的结果也为整数得出是整数，根据为整数得出或，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ， ∵分式可以表示成的形式，且为整式， ∴． 【小问2详解】 解：① ， ∵可以表示成一个整式， ∴， ∴， 解得：． ②∵， ∴， ∵的结果为整数， ∴是整数， ∵为整数， ∴或 解得：或或或， ∴的值为或或或． 28. 对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． （1）已知，，求，的“友好数”； （2）已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】（1）， （2）；． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$