4.3对数函数练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.3对数函数 练习 一、单选题 1．设函数，若是奇函数，则（   ） A． B． C．2 D． 2．已知函数，，且，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 4．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．若实数，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 8．关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．以下关于函数性质的描述，正确的是：（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．若，则的反函数为 C．函数的值域为 D．函数在上单调递减 10．函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   11．对于任意的，表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．， D．对于任意的，，不等式恒成立 三、填空题 12．函数，其中是常数，若在有意义，则的取值范围是 . 13．已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ． 14．已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 四、解答题 15．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，，求函数的值域. 16．设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 17．已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 18．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，． (1)求和的解析式，并判断在区间上的单调性（需要证明）； (2)若对，都有，求实数m的取值集合． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B C A C A BCD ABD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据函数解析式及奇函数的性质得解. 【详解】因为， 所以， 又因为是奇函数，所以， 即，所以， 故选：D 2．C 【分析】由题意可先得到和，再代入得到，由选项解析式代入化简，得到结论. 【详解】由题意得：， ∵，∴， ∴， 若，则，舍去； 若，则，舍去； 若，则，成立； 若，则，舍去. 故选：C. 3．B 【分析】利用函数的奇偶性求解. 【详解】根据题意，是定义在上的奇函数， 当时，， 则. 故选：B 4．B 【分析】根据题意分别求出，从而可求解 【详解】由题意可得，故B正确. 故选:B. 5．C 【分析】解不等式化简集合A，求出函数定义域化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由，得，则， 由对数函数的定义域得， 所以. 故选：C 6．A 【分析】通过换底公式得，再结合单调性可以判断b，c的大小，再以“1”作为中间量，可以判断a，b的大小，从而得解. 【详解】设，，则，当且仅当时等号成立，则， 又，，所以 因为，所以， 综上，a，b，c的大小关系是 故选：A 7．C 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D. 【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，，故C不正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：C. 8．A 【分析】由定义域可得定义域，后结合对数函数性质可得答案. 【详解】因的定义域是，则定义域为. 则定义域满足. 故选：A 9．BCD 【分析】求出的定义域可判断A；求出的反函数可判断B；求出函数的值域可判断C；求出函数在上单调性可判断D. 【详解】对于A，若的定义域为，则由得，或， 所以的定义域为，故A错误； 对于B，若，则的反函数为，故B正确； 对于C，因为，所以，所以函数的值域为，故C正确； 对于D，函数在上单调递减，故D正确. 故选：BCD. 10．ABD 【分析】首先根据选项中图象的对称性得出，选项A和B关于原点对称，为奇函数，求出，即可判断；选项C和D关于轴对称，为偶函数，求出，根据值域即可判断． 【详解】A，B选项中，图象关于原点对称， 若为奇函数，则，即， 解得， 当时，， 当，且单调递增， 所以当时，且单调递减，的图象为选项A； 当时，， 当，且单调递增，所以且单调递增， 所以的图象为选项B； 而C，D选项中，图象关于y轴对称， 所以若为偶函数，则，即， 所以； 当时，，，即， 故的图象为选项D，不可能为选项C， 故选：ABD． 11．ACD 【分析】对于A，求的取值范围，根据取整函数的定义分析判断；对于B，先解一元二次不等式，再利用取整函数定义求解；对于C，求的取值范围，根据取整函数的定义判断求解；对于D，根据取整函数的定义结合不等式的性质分析判断. 【详解】对于A，，由，有，则， 得，所以，A选项正确； 对于B，不等式，解得，即，得，B选项错误； 对于C，时，当，，， 当，，， 当，，， ，故C选项正确； 对于D，对于任意的，，，， 不等式，故D选项正确. 故选：ACD. 12． 【分析】将原问题等价于，恒成立，利用分离参数求最值，即可求出的取值范围. 【详解】依题意，问题等价于时，恒成立， 因为恒成立，所以等价于恒成立， 即时，恒成立. 记， 又在为增函数， 所以， 则. 故答案为：. 13． 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 则取值的范围为. 故答案为：. 14． 【分析】根据幂函数和对数函数的单调性即可得到函数值域. 【详解】当，，此时单调递增，则， 当，，此时单调递增，则， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数可得，利用奇函数的定义可求时的表达式，从而得到的解析式. （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调性即可得到结果. 【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，∴. ∵时，， ∴当时，， ∴. （2）由题意得，. 令，问题等价于求，的值域 ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∵，，， ∴，， ∴函数的值域为. 16．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； （2）对任意的、，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在上单调递增， 则，， 所以， 由于在上单调递增， 所以， 要使对任意的、，总存在，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； （3）对任意的，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，， ，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 17．(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用换元法可求值域； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案；②根据①得到，，且满足，即，计算出，又，代入后计算可得结论. 【详解】（1）当，时，，令，则， 则，即，故函数的值域为； （2）当时，， ①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增，其中， 当时，，结合图像可知；    ②由①可知，所以，， 且满足，，即. 又， 所以 ， 因为，所以，， 故.即证出 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 18．(1)；；证明见解析. (2) 【分析】（1）由即可求得函数的解析式，再由函数是上的偶函数，即可得到其解析式，再由函数单调性的定义法即可证明的单调性； （2）根据题意，由偶函数的性质可得，再由函数的奇偶性以及单调性可得，由对数函数的单调性即可求解不等式. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即， 所以，且满足，即； 设，则，即， 又是定义在上的偶函数，则， 所以； 在区间上单调递减. 证明：任取，且， 则 ， 由可得，，，， 所以，即， 所以在区间上单调递减. （2）因为是定义在上的偶函数， 且当时，，其对称轴为， 所以当时，单调递增， 对，都有，即， 由（1）可知，是定义在上的奇函数， 且时，单调递减， 所以， 所以，即或， 当时，即，解得； 当时，即，解得； 综上所述，实数m的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $$