专题03 整式的乘除（三大题型+优选提升题，60题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

专题03 整式的乘除（三大题型+优选提升题，60题） 整式的乘法 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果等式成立，那么m和n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 5．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 6．（23-24七年级上·上海松江·期末）若，，则 ． 7．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 8．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 9．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）乘积的计算结果是 ． 10．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）比较大小： ． 11．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）已知：，，化简的结果是 ． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 13．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片 张． 14．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，那么 ． 15．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果，那么多项式等于 ． 16．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果，那么 ． 17．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 18．（23-24七年级上·上海·期末）若多项式，则 ． 19．（23-24七年级上·上海长宁·期末）计算： ． 20．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．    (1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 乘法公式 21．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）若二次三项式是完全平方式，则k的值是（　　） A．6 B． C． D． 22．（23-24七年级上·上海·期末）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级上·上海宝山·期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级上·上海青浦·期末）若是完全平方式，则k的值为 ． 25．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）若，则p的值是 ． 26．（23-24七年级上·上海金山·期末）如果是完全平方式，那么的值是 ． 27．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 28．（23-24七年级上·上海宝山·期末）已知，，那么 ．（用含、的代数式表示） 29．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）（1）已知：、满足，求的值． （2）已知：，，求的值． 30．（23-24七年级上·上海崇明·期末）计算：． 31．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算：． 32．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）将完全平方公式：、进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，， 所以，， 所以，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为________； (2)①若，则________； ②若，则________； (3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 33．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算：． 34．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 35．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算： 整式的除法 36．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 37．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）下列说法正确的是(       ) A．是四次三项式 B．若，，则 C．是完全平方式 D．把分式的分子和分母中的和同时扩大2倍，分式的值不变 38．（23-24七年级上·上海·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）在等式（______）中，括号内的代数式是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 41．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 42．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ． 43．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 44．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 45．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果，那么 ． 46．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂． (1) (2)． 47．（23-24七年级上·上海崇明·期末）计算：． 48．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算：． 49．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算：； 50．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 四、填空题 51．（23-24七年级上·上海·期末）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 52．（23-24七年级上·上海静安·期末）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1） ． （2） ． 五、解答题 53．（23-24七年级上·上海·期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，　　　． (2)的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； (3)利用上面的规律计算：． (4)今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 54．（23-24七年级上·上海崇明·期末）阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 55．（23-24七年级上·上海普陀·期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 56．（23-24七年级上·上海黄浦·期末）综合与实践 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 57．（23-24七年级上·上海松江·期末）方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值： (1)填空： ； ； ； 由此可得 ； (2)计算： ； (3)根据以上结论，计算： 58．（23-24七年级上·上海青浦·期末）已知整数a，b，c满足，试求a，b，c可能的值． 59．（23-24七年级上·上海静安·期末）阅读并思考： 计算时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：47接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (1)依此方法计算49： 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式． ． (3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性． (4)写出利用这个公式计算的过程． (5)计算也有一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 写出上述过程所依据的计算公式_______________________． (6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性． 60．（23-24七年级上·上海青浦·期末）（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式的乘除（三大题型+优选提升题，60题） 整式的乘法 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果等式成立，那么m和n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了整式乘法，根据多项式乘多项式法则将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出m、n的值是解本题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选B． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解： 故选：． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据已知条件式得到，进而推出，则，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四个选项中只有C选项的关系式错误，符合题意； 故选C． 4．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．直接根据积的乘方法则进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 5．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法，先单项式乘以多项式展开，再进行加减运算，掌握法则“用单项式分别乘以多项式的每一项，将所得的和相加．”是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案：． 6．（23-24七年级上·上海松江·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了运算公式的逆用，掌握，是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 7．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式运算法则，准确计算． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）乘积的计算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式的运算法则展开，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 10．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据幂的乘方的性质，可得，，比较2187和2018的大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 11．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）已知：，，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用．先算乘法，再变形，最后整体代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；因此此题可根据积的乘方的逆用进行求解． 【详解】解：原式； 故答案为． 13．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片 张． 【答案】10 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据大长方形的面积及A、B、C三类纸片的面积可进行求解． 【详解】解：长为、宽为的长方形的面积为， 正方形A的面积为，正方形B的面积为，长方形C的面积为， ∴需要A、B类纸片各6张，C类纸片10张； 故答案为10． 14．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的基本法则是解题的关键．转化成以2为底的幂的乘法，根据指数相等建立等式计算． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：3． 15．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果，那么多项式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以单项式； 将两边同时乘，计算即可． 【详解】解：将两边同时乘， ， 故答案为：． 16．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．（23-24七年级上·上海·期末）若多项式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先按照多项式乘以多项式得出a，b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， 故答案为：． 19．（23-24七年级上·上海长宁·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 先将化为，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 20．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．    (1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，涉及到正方形、圆的面积公式，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）阴影部分的面积梯形的面积三角形的面积正方形的面积扇形的面积； （2）当，时，代入（1）中代数式计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ； （2）当，时，原式． 乘法公式 21．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）若二次三项式是完全平方式，则k的值是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据所给多项式可以确定两平方项分别为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵，是完全平方式， ∴， 解得． 故选：C． 22．（23-24七年级上·上海·期末）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式． 【详解】解： ． 故选：D． 23．（23-24七年级上·上海宝山·期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的特征：； 根据完全平方公式逐个判断即可． 【详解】解：A.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； B.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； C.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； D.，能用完全平方公式进行计算，故本选项正确； 故选：D． 24．（23-24七年级上·上海青浦·期末）若是完全平方式，则k的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查根据完全平方公式求解未知数，理解题意，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 这里首末两项是和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和3的积的2倍，故． 【详解】解：由题意可知，中间一项为加上或减去和3的积的2倍， ， 故答案为：． 25．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）若，则p的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 已知等式左边利用平方差公式化简，再利用多项式相等的条件求出p的值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：0． 26．（23-24七年级上·上海金山·期末）如果是完全平方式，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式的定义，根据完全平方式的定义解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴，即 故答案为：. 27．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的运算，将原式进行正确的变形是解题的关键．将原式变形后利用乘法公式简便计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 28．（23-24七年级上·上海宝山·期末）已知，，那么 ．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键；先根据条件，再根据，即可求解． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为： 29．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）（1）已知：、满足，求的值． （2）已知：，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查完全平方公式变形求值； （1）配方后利用非负数的性质求解即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴． 30．（23-24七年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 31．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式的方法，以及平方差公式的应用．根据多项式乘多项式的方法，以及平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 32．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）将完全平方公式：、进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，， 所以，， 所以，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为________； (2)①若，则________； ②若，则________； (3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)7 (2)①53；②24 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值： （1）先求出，再由，即可得到 （2）①先求出，则，再由，即可得到；②先求出，则，再由，即可得到； （3）设大正方形，小正方形的边长分别是a，b，根据题意得到，，则，求出，则阴影的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；； （3）解：设大正方形，小正方形的边长分别是a，b， ，， ，， ， ， ∴阴影的面积． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． 33．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式：；完全平方公式：； 先将后两个括号利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ． 34．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式乘法公式的混合运算，首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后合并同类项即可．解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 【详解】解： ． 35．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式乘法公式的混合运算，首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后合并同类项即可．解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 【详解】 ． 整式的除法 36．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的计算，分式的变形．熟练掌握幂的乘方，同底数幂除法，分式的基本性质，是解决问题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂除法法则，分式的基本性质变形分式，逐一判断，即得． 【详解】A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项正确； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意， 故选：B． 37．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）下列说法正确的是(       ) A．是四次三项式 B．若，，则 C．是完全平方式 D．把分式的分子和分母中的和同时扩大2倍，分式的值不变 【答案】C 【分析】本题考查多项式的定义，幂的乘方和同底数幂的除法，完全平方式，分式的性质等知识，根据多项式的定义判断A选项，根据幂的乘方和同底数幂的除法判断B选项，根据完全平方式的定义判断C选项，利用分式的性质判断D，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A、是两次多项式，此选项错误，不符合题意； B、由于，，故，此选项错误，不符合题意； C、，是完全平方式，此选项正确，符合题意； D、把分式的分子和分母中的和同时扩大2倍，可得：，故分式的值扩大两倍，此选项错误，不符合题意；． 故选：C． 38．（23-24七年级上·上海·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，不是同类项，不能合并，故C不符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：B． 39．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）在等式（______）中，括号内的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，根据乘法和除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可． 【详解】解： ， 故选C． 40．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，运用多项式除以单项式法则运算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 41．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，把多项式的每一项分别除以单项式即可，熟记运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 故答案为： 42．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．根据整式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 43．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法．根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 44．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 45．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方．同底数幂相除：底数不变，指数相减；幂的乘方：底数不变，指数相乘．由此列出关于k的一元一次方程，即可求出k的值． 【详解】解：， ， 解得， 故答案为：2． 46．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查负整数指数幂，解题的关键是明确幂的乘方、同底数幂的乘法和除法． （1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法、负整数指数幂进行计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的除法、负整数指数幂进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．（23-24七年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握积的乘方和幂的乘方、单项式乘以单项式，多项式除以单项式法则是解题的关键； 先运算括号内的整式，再根据多项式除以单项式法则计算求解即可； 【详解】解： 48．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查积的乘方、单项式乘除法运算，掌握运算法则是解题关键，根据积的乘方、单项式乘除法的运算方法，即可解答． 【详解】解：原式 ． 49．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．先算积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘多项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 50．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 四、填空题 51．（23-24七年级上·上海·期末）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 【答案】/ 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 52．（23-24七年级上·上海静安·期末）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1） ． （2） ． 【答案】 220 333300 【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案； （2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 原式 ， 故答案为：220； （2）， ， 原式 ， 故答案为：333300． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． 五、解答题 53．（23-24七年级上·上海·期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，　　　． (2)的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； (3)利用上面的规律计算：． (4)今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 【答案】(1) (2)8， (3) (4)如果今天是星期五，过了天后是星期六． 【分析】此题主要了考查了杨辉三角的规律探索以及应用能力，关键是能根据完全平方式准确理解并运用杨辉三角． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，，代入计算即可得到答案． （4）根据，可得出都能被7整除，则除以7余1，则可得出答案． 【详解】（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    ， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… ∴共项，所有项系数的和为， ∴共8项，所有项系数的和为， 故答案为：8，； （3）解：由题意可知 ， ∴可取，， 即原式； （4）解：今天是星期五，过了天后是星期六， ∵（a，b，c，d，e，为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴如果今天是星期五，过了天后是星期六． 54．（23-24七年级上·上海崇明·期末）阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)0 (3) 【分析】（1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）设，， 则， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 55．（23-24七年级上·上海普陀·期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【答案】(1)， (2) (3)1，3，2 (4)①，；② 【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. 【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 56．（23-24七年级上·上海黄浦·期末）综合与实践 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）利用多项式乘多项式的法则运算，观察各项的系数即可求解； （）利用图大正方形的面积等于部分面积之和解答即可求解； （）把，代入（）中的关系式，求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴需要种纸片张，种纸片张，种纸片张，三种纸片共张， 故答案为：； （）∵图大正方形的面积等于部分面积之和， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵，，， ∴， ∴， ∴， 即直角三角形的面积为． 57．（23-24七年级上·上海松江·期末）方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值： (1)填空： ； ； ； 由此可得 ； (2)计算： ； (3)根据以上结论，计算： 【答案】(1)，，，； (2)； (3)． 【分析】（）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可； （）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断． 【详解】（1）， ， ， 由此可得：， 故答案为：，，，； （2）， 故答案为：； （3）， , ， ． 【点睛】此题考查了多项式的乘法、平方差公式以及探索数字规律，弄清题意，找出题目中因式多项式与乘积多项式之间的特征关系律是解题的关键． 58．（23-24七年级上·上海青浦·期末）已知整数a，b，c满足，试求a，b，c可能的值． 【答案】 【分析】移项，配成完全平方式，利用平方的非负性，计算即可． 【详解】因为， 所以 所以， 所以， 因为，且a，b，c都是整数， 所以， 解得， 所以． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，非负数性质的应用，熟练掌握完全平方公式和平方的非负性是解题的关键． 59．（23-24七年级上·上海静安·期末）阅读并思考： 计算时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：47接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (1)依此方法计算49： 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式． ． (3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性． (4)写出利用这个公式计算的过程． (5)计算也有一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 写出上述过程所依据的计算公式_______________________． (6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性． 【答案】(1)25，1，1 (2)25，， (3)见详解 (4)见详解 (5) (6)见详解 【分析】（1）根据山桂娜同学的简便运算步骤解答即可； （2）根据（1）的规律书写公式即可； （3）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（2）中公式的正确性； （4）利用（2）中得到的公式求解即可； （5）分析的简单运算，书写计算公式即可； （6）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（5）中公式的正确性． 【详解】（1）解：根据题意，计算49： 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． 故答案为：25，1，1； （2）根据山桂娜同学的方法，填写出正确的计算公式如下： ． 故答案为：25，，； （3）∵， ， ∴公式正确； （4） ； （5）计算的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 结合上述计算过程，可书写计算公式为． 故答案为：； （6）∵ ， 又∵ ， ∴公式是正确的． 【点睛】本题主要考查了数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、整式混合运算等知识，理解题意，正确书写简便运算公式是解题关键． 60．（23-24七年级上·上海青浦·期末）（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①平方差公式或完全平方公式或或（写出1种即可）；②一，丢了括号或去括号时符号出错（合理即可）；③-16 【分析】（1）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）①平方差公式或完全平方公式； ②根据去括号法则可知第一步出现了错误； ③根据整式的混合运算顺序解答即可． 【详解】解：（1）原式 （2）①第一步运算用到了乘法公式或； 故答案为：或． ②以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：一；去括号时符号错误． ③ 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$