精品解析： 上海市浦东新区多校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年上海市浦东新区多校联考八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，与不是同类二次根式（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形对应角相等 C. 两个全等三角形的面积相等 D. 两直线平行，内错角相等 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 如果有意义，那么a的取值范围是_______． 8. 化简：_______． 9. 分母有理化：_______． 10. 不等式x﹣＞x的解集是__． 11. 如果与是同类二次根式，那么_______． 12. 方程的根是_______． 13. 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 14. 在实数范围内因式分解：______. 15. 当_______时，关于x的方程有两个相等的实数根． 16. 为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为_______． 17. 如图，已知中，，D是边上一点，，垂足为点E，，垂足为点D，交边于点F，当，则_______度． 18. 如图，已知在中，点D在内部，且，点E是、角平分线的交点，若，则_______．（用含的式子表示） 三、解答题（19题12分；20题12分；21题至24题每题6分；25题10分；共58分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知，，求的值． 22. 在长为40米，宽为30米的矩形景观水池的外围四周铺设一个宽均等的绿化带，且绿化带和景观水池的面积之比为，求绿化带的宽． 23. 如图，已知在中，平分，，交延长线交于点E，F是的中点，求证：． 24. 已知如图，，相交于点F，求证： 25. （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市浦东新区多校联考八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式．二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：D． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可得解 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 下列二次根式中，与不是同类二次根式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式性质化简后，根据同类二次根式的定义进行选择即可． 【详解】A、，与是同类二次根式，故A不符合题意； B、，与是同类二次根式，故B不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C符合题意； D、，与是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式），二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义，对二次根式进行化简，是解题的关键． 4. 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故A不符合题意； B、中含有分式，不是整式，不是一元二次方程，故B不符合题意； C、是一元二次方程，故C符合题意； D、不是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：C． 5. 关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握公式是解题的关键．根据题意得到进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： 解得， 故选B． 6. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形对应角相等 C. 两个全等三角形的面积相等 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，熟练掌握命题与逆命题的概念和相关定理是解题的关键． 交换原命题的题设和结论部分得到四个命题的逆命题，然后根据对顶角的定义、平行线的判定、全等三角形的判定进行判定即可． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； B、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意； C、两个全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 如果有意义，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，由题意得出，求解即可，熟练掌握二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 8. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 分母有理化：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，分子分母同乘计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 不等式x﹣＞x的解集是__． 【答案】## 【解析】 【分析】移项，合并同类项，系数化成1，再分母有理化即可． 【详解】解：移项得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式．注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1．注意分母有理化． 11. 如果与是同类二次根式，那么_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义、二次根式有意义的条件，根据题意得出，求解即可得出的值，再结合二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】解：由已知，得， 解得或1， 当时，，不合题意， ∴． 故答案为：1． 12. 方程的根是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 所以，， 故答案为：，． 13. 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】把x=0代入方程即可得到一个关于m的方程，即可求得m的值． 【详解】根据题意得：m2+2m-3=0且m-1≠0 解得：m=-3 故答案是：-3． 14. 在实数范围内因式分解：______. 【答案】 【解析】 【分析】先在实数范围内提公因式得：，然后利用配方法以及平方差公式将括号里的进行因式分解变形得出答案 【详解】===== 故答案为 【点睛】本题主要考查了因式分解的基本方法，熟练掌握相关方法是关键 15. 当_______时，关于x的方程有两个相等的实数根． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，将根的判别式转化为方程是解题的关键．由于方程有两个相等的实数根，则方程为一元二次方程，令根的判别式，解方程即可． 【详解】解：原方程可变形为． ∵方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：5． 16. 为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，检验后可得出结论． 【详解】解：设这个百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴这个百分率为． 故答案为：． 17. 如图，已知中，，D是边上一点，，垂足为点E，，垂足为点D，交边于点F，当，则_______度． 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线的定义，由三角形内角和定理得出，由垂线的定义得出，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：160． 18. 如图，已知在中，点D在内部，且，点E是、角平分线的交点，若，则_______．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、等边对等角，延长到J．由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，再由角平分线的定义可得，，有三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，延长到J． ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵点E是、角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（19题12分；20题12分；21题至24题每题6分；25题10分；共58分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）y 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）先化简二次根式和计算二次根式除法，再计算二次根式加减法即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）将原方程整理为，运用因式分解法求解即可； （2）按照移项，配方的步骤将原方程转化为，运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，． 21. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先化简a和b，求出，，代入化简后的式子计算即可，熟练掌握其相应的运算法则是解决此题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ∴ ． 22. 在长为40米，宽为30米的矩形景观水池的外围四周铺设一个宽均等的绿化带，且绿化带和景观水池的面积之比为，求绿化带的宽． 【答案】绿花带的宽为5米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题意列出方程是解本题的关键． 设绿花带的宽为x米，算出矩形景观水池的面积，从而得出绿化带的面积，根据面积公式，即可列出方程，从而求出符合条件的解． 【详解】解：设绿花带的宽为x米． 矩形景观水池的面积：（平方米）， 绿化带的面积：（平方米）， ∴， 解得：或（舍去）， ∴绿花带的宽为5米． 23. 如图，已知在中，平分，，交延长线交于点E，F是的中点，求证：． 【答案】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定、平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 由平分，得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 24. 已知如图，，相交于点F，求证： 【答案】 证明：连接． ∵， ∴， 即． 在中， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴． ∵， ∴， 即 ． ∴． 【解析】 【分析】连接，由已知条件证得，从而证得．要证，可利用等式性质来证得． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证得而得到 是解题的关键． 25. （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明． 【答案】（1），，，； （2），，理由如下： 延长至H，使，连接，如图2所示： 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 延长交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系即可得到结论； （2）延长至H，使，连接，由（1）可得，由全等三角形的性质得出，，证出，证明，得出，，推出．延长交于G，求出，即可得解． 【详解】解：（1）延长到E，使得， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：，，，； （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $