专题09 一次函数应用题分类训练（5种类型50道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版）

专题09 一次函数应用题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 一次函数行程问题】 1 【题型2 一次函数最大利润】 5 【题型3 一次函数动点几何】 7 【题型4 一次函数方案问题】 12 【题型5 一次函数水费和电费】 15 【题型1 一次函数行程问题】 1．，两地相距千米，图中折线表示某骑车人离地的距离与时间的函数关系．有一辆客车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计 (1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米． (2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？ (3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象． 2．小明家距离学校8千米，今天早晨，小明骑车上学途中，自行车出现故障，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他增加速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象（如图），该图描绘了小明行的路程s与他所用的时间t之间的关系． 请根据图象，解答下列问题： (1)小明行了_____千米时，自行车出现故障；小明共用了_____分钟到学校； (2)小明修车用了多长时间？ (3)如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟？ 3．一辆汽车在某一直路上行驶，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：    (1)汽车共行驶了 千米． (2)汽车在行驶途中停留了 小时． (3)汽车到达离出发地最远的地方后返回，若返回时速度和段速度相同，则返回到出发地用了多长时间． 4．如图是甲骑自行车与乙骑摩托车，分别从A，B两地向C地（A，B，C在同一直线上）行驶过程中离B地的距离S（千米）与行驶时间t（小时）的关系图，请你根据图中给出的信息解答下列问题： (1)甲在行驶过程中的速度为______千米/小时；乙在行驶过程中的速度为______千米/小时； (2)求出在乙到达C地前，甲乙两人相距10千米时t的值． 5．随着移动互联网的快速发展，、摩拜等互联网共享单车应运而生并快速发展．小军骑着摩拜单车，爸爸骑着摩托车，沿着相同路线由地到地，下面图象表示的是两人由地到达地，行驶过程中路程（千米）和时间（分钟）之间的变化情况，根据图象，回答下列问题． (1)地与地之间的距离是______； (2)小军比爸爸晚到地______分钟； (3)行驶过程中，爸爸骑车速度为每分钟______千米，小军骑车速度为每分钟______千米． (4)若两人都在同一条直线上行驶，爸爸出发后经过多少分钟，两人相距千米． 6．下图表示甲（实线）、乙（虚线）两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．根据图象回答问题： (1)写出点A、B的坐标． (2)甲花多少时间跑完全程？ (3)求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ 7．如图，分别表示甲步行与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程与时间的关系，观察图象并回答下列问题： (1)乙出发时，乙与甲相距____千米； (2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为____小时； (3)乙从出发起，经过______小时与甲相遇； (4)甲行走的平均速度是多少千米/小时？ (5)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？ 8．如图，甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两地相距 千米；两车 小时后相遇；从乙地到甲地，普通列车用了 小时． (2)求直线的解析式． (3)普通列车和动车的速度分别是多少？ (4)求点的坐标，并解释点的实际意义． 9．甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 10．小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． (2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 【题型2 一次函数最大利润】 11．某经销葡萄的水果店既可以批发，也兼顾零售．店家规定当顾客一次性购买葡萄超过5箱时，就可以享受批发价．市场调查显示，这两种销售方式中，每箱葡萄所获利润的情况如下表所示： 销售方式 每箱所获利润（元） 批 发 30 零 售 60 (1)现该水果店计划销售1000箱葡萄，并规定零售葡萄的数量不超过200箱．若设批发了a箱葡萄，销售1000箱葡萄的总利润为w元，根据题意，列出w与a的函数解析式，并求出自变量a的取值范围； (2)忽略其他影响因素，当葡萄零售和批发分别销售多少箱时，才能使售完这1000箱葡萄的总利润最大？并求出最大利润． 12．某玩具商家安排采购员小雷从厂家购进A、B两款玩具，这两款玩具的进价和售价如表： 品名 A B 进价（元/个） 90 75 售价（元/个） 120 100 (1)第一次小雷用8400元购进了A、B两款玩具共100个，求A、B两款玩具各购进多少个？ (2)第二次小雷在进货时，厂家规定玩具A的进货数量不得超过玩具B进货数量的两倍，小雷计划购进两种玩具共150个，设小雷购进A款玩具m个（），售完两款玩具共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润． 13．某商场计划购进A，B两款计算器共100个，两款计算器的进价、售价如下表所示． 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 30 45 B款 50 70 (1)若商场的进货总金额恰好为3500元，分别求购进两款计算器的个数． (2)若商场规定购进B款计算器的数量不超过A款计算器数量的3倍，应怎样进货才能使商场销售完这批计算器的利润最大?并求出最大利润． 14．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 15．2024年是中国农历甲辰龙年．春节前，市面上流行A和B两款“龙公仔”玩偶，某商场计划购进A和B两款玩偶共50个，经过调查，得知购进1个A款玩偶和购进2个B款玩偶共需200元，购进2个A款玩偶和购进3个B款玩偶共需330元． (1)A，B两款玩偶的进价分别为多少元？ (2)该商场将A款玩偶的售价定为80元，B款玩偶的售价定为100元，且计划购进A款玩偶的数量不少于B款玩偶数量的一半(A、B两款都买)，问商场应如何进货才能使这两款玩偶全部售完后获得的利润最大，最大利润为多少元？ 16．4月23日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求量不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进A，B两种新书进行销售，已知每本A种图书的进价比B种图书贵10元，用1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同． (1)求A，B两种图书每本的进价． (2)已知A种图书的售价为每本60元，B种图书的售价为每本45元，该书店决定购进这两种图书共100本，且用于购买这100本图书的资金不超过3600元，若A，B两种图书全部卖完，那么该书店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？ 17．某商店决定购进两种北京冬奥会纪念品．若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要1000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要550元． (1)求购进两种纪念品的单价； (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，销售每件种纪念品可获利润20元，每件种纪念品可获利润30元．考虑市场需求，购进种纪念品不少于20件，怎样进货获利最大？求出最大利润． 18．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 19．某服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．现计划购进两种服装共100件，设购买甲种服装x件，购进这100件服装的费用为y元． (1)写出y（元）与x（件）之间的函数关系式； (2)若购进甲种服装不少于70件，且购进这100件服装的费用不得超过7600元，试求出甲种服装购进多少件时该服装店才能获得最大利润？最大利润是多少？ 20．“蓉宝”是成都2023年大运会吉祥物．大运会来临之际，“蓉宝”系列玩偶畅销全国．某礼品店在玩偶加工厂选中A，B两种玩偶，决定从该加工厂进货并销售，礼品店用1400元购进了A型玩偶15个和B型玩偶10个，已知购进1个A型玩偶和2个B型玩偶共需136元，销售每个A型玩偶可获利32元，每个B型玩偶可获利12元． (1)求两种玩偶的进货价分别为多少？ (2)礼品店第二次计划购进两种玩偶共50个，其中A型玩偶个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少元？ 【题型3 一次函数动点几何】 21．如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为． (1)求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出的面积为6时的值． 22．如图，四边形中，，．动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度从D，C同时出发，点P沿方向运动，到达C点停止运动，点Q沿折线方向运动，到达A点停止运动，连接，设点P、点Q的运动时间为t秒，四边形的面积为y． (1)请直接写出y关于时间t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出四边形的面积小于11时t的范围． 23．如图已知的面积是平方厘米，厘米，在边上有一动点，连接，设厘米，平方厘米． (1)写出与之间的关系式 (2)用表格表示当从变到时每次增加，的相应值 (3)当每增加时，如何变化说明你的理由 24．如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒1的速度沿折线运动，到点D时停止运动．设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积时，自变量x的取值范围为_____________________． 25．如图①，四边形中，，． (1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到点D停止．设运动时间为a，的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，求t的值． 26．如图， 在长方形中， ，点 是对角线 的中点．动点 从点出发，沿方向以的速度向点 匀速运动；同时动点从点出发，沿 方向以 的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 并延长交于点 ， 连接 并延长交 于点， 设运动时间为 ． 解答下列问题： (1) 的长为 ， 的长为 ； (2)当 为等腰直角三角形时，求的值； (3)设四边形 的面积为 求与之间的关系式． 27．如图，在矩形中，，，动点E从点B出发，沿着匀速运动到点D时停止运动，设点E的运动路程为x，的面积为y．    (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积为时，则自变量x的取值范围为______． 28．已知正方形中，，．动点以每秒1个单位速度从点出发沿折线—方向运动，动点同时以每秒2个单位速度从点出发沿正方形的边——方向顺时针作折线运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为． (1)当运动时间为 秒时，点与点相遇； (2)当秒时，求的面积 ； (3)用S表示的面积，求S与t的函数关系式； (4)当 秒时，的面积是面积的． 29．如图，中，，，，点D为上一点，且，动点E从D点出发，E沿折线运动，当E点到达B点时停止运动，设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积大于4的x的取值范围． 30．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为． (1) ______； (2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围； (3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【题型4 一次函数方案问题】 31．周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在千克以内按原价收费，超过千克，前千克按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元； (1)分别求出关于的函数表达式； (2)当张洋的采摘量为多少千克时，选择甲方案和乙方案的费用相同． 32．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蓅菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元．方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． (1)若需要这种规格的纸箱个，请分别写出两种方案中所需费用（元）与（个）之间的函数表达式； (2)在（1）的条件下，需要制作多少个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同． 33．为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材共300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案（只能选择其中一种）． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折； 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折； 设购买甲种器材件，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)请你计算当该校购买多少件甲种器材时，选择两种方案支付的费用一样． 34．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元，（元与（盒之间的函数关系式． (2)如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 35．周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 36．某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． (1)请直接写出m，n的值． (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？ 37．某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：      (1)该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； (2)点B的实际意义是什么？ (3)求y与x之间的关系式； (4)目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 38．暑期将至，某游泳馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次游泳费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳费用按八折优惠． 设某学生暑期游泳x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示． (1)由图象可得， ________； (2)求和的关系式； (3)请问该学生选择哪种方案更优惠？ 39．某体育用品专卖店为了对某新品牌的羽毛球拍进行促销，推出两种优惠方案．方案一：买一支球拍赠送一打羽毛球；方案二，按购买金额打九折付款．已知羽毛球拍每支售价60元，羽毛球每打售价10元，校羽毛球队欲购买球拍20支，羽毛球x打（）供训练使用． (1)写出每种优惠方案实际付款金额y（元）与x（打）之间的函数关系式； (2)若只能按一种方案购买，比较购买100打的羽毛球，按哪种方案付款更合算； (3)若专卖店允许以任意选择一种优惠方案购买，也可以用两种方案混合购买，请就购买球拍20支和羽毛球50打设计一种最省钱的购买方法． 40．某校将举办一年一度的运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒乒乓球标价25元．体育用品店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打九折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠方案实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式； (2)如果学校需要购买20盒乒乓球，选择哪种优惠方案更省钱？ 【题型5 一次函数水费和电费】 41．某县为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题． (1)用水量不超过时每吨水收费多少元？ (2)当用水量超过且不超过时，求y与x之间的函数关系式； (3)已知某户居民上月水费为55元，求这户居民上月用水多少吨． 42．为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准： 月用水量 水费 不超过5吨 每吨2.4元 超过5吨 超过的部分按每吨4元收费 (1)该市某户居民5月份用水吨，应交水费y元，写出y与x之间的关系式． (2)如果某户居民某月交了20元水费，你能算出该月这户居民用了多少吨水吗？ 43．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨． (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． (3)若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 44．“国家实行计划用水，厉行节约用水”．为鼓励市民节约用水，某市自来水公司对单位和个人按用水量分段计水价收费，该市自来水公司针对单位用水规定用水计划：每月单位计划用水标准为3 000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费． (1)写出单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式； ①用水量小于或等于3 000吨时，___________； ②用水量大于3 000吨时，___________． (2)九月份甲单位用水2 800吨，水费是___________元；乙单位用水3 200吨，水费是___________元． (3)若十月份丙单位缴水费1 540元，则该单位该月用水多少吨？ 45．为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，某高档小区对直饮水采用价格调控手段以期待达到节水的目的，如图是此小区对居民直饮水某月用水量吨与水费元的关系的图象（水费按月结算）．    (1)填空： 价格表 每月用水量 单价 不超出6吨的部分 ________元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 ________元/吨 超出10吨的部分 ________元/吨 (2)若某户居民9月份用水量为9.5时，求该用户9月份水费； (3)若某户居民11月用水（吨）（），用含的代数式表示该户居民11月共应交水费（元）． 46．为促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户居民每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系． (1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，请填写下表： 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量（度） (2)求第二档每月电费（元）与用电量（度）之间的函数关系式； (3)在每月用电量超过230 度时，每多用1 度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，需缴纳电费153元，求m的值． 47．电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月电量分段收费的办法，已知某户居民每月应缴电费（元）与用电量（度）的函数图象是一条折线（如图），根据图象解答下列问题：    (1)当该用户某月用电50度，则应缴费______元． (2)求与之间的函数关系式； 48．某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度元计费． (1)设每月用电x度时，应交电费y元，当和时，分别写出y关于x的关系式； (2)小王家第一季度交纳电费如下表所示： 月份 一月份 二月份 三月份 交费金额 76元 63元 45元6角 问小王家第一季度共用电多少度？ 49．某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦·时，统计为整数） 单价（单位：元） 180及以内 181~400（含181、400） 401及以上 (1)张大爷10月份用电150千瓦·时，需交电费________元，张大爷11月份交了162元电费，那么他用了________千瓦·时的电． (2)若张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，设10月份用电量为x千瓦时，10月份用电量少于11月，张大爷两个月共需交电费y元，求出y与x的函数关系式． (3)张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，两个月共交电费元，10月份用电量少于11月，求10月份用电量． 50．某市电力公司为鼓励居民节约用电，采用分档计费的方法计算电费，各档次计费方法如下表∶ 档次 标准 第一档 每月用电不超过210度时，按0.6元/度计费 第二档 每月用电超过210度但不超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度的部分按0.7元/度计费 第三档 每月用电超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度但不超过400度的部分按0.7元/度计费，超出400度的部分按0.9元/度计费 (1)小明家5月用电200度，需交电费 元； (2)若设某月用电量为x()度，应交电费为y元，求y与x之间的关系式； (3)若小明家8月交电费268元，求小明家8月用了多少度电？ 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 一次函数应用题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 一次函数行程问题】 1 【题型2 一次函数最大利润】 12 【题型3 一次函数动点几何】 22 【题型4 一次函数方案问题】 39 【题型5 一次函数水费和电费】 49 【题型1 一次函数行程问题】 1．，两地相距千米，图中折线表示某骑车人离地的距离与时间的函数关系．有一辆客车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计 (1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米． (2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？ (3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象． 【答案】(1)2；； (2)千米小时 (3)见解析 【分析】本题考查了函数图象，路程和时间速度公式等． （1）路程不变的过程就是休息的过程，结合函数图象可得出点至点之间骑车人骑了千米； （2）根据路程等于速度乘以时间进行计算即可； （3）计算出时，时客车与地的路程，利用两点法继而得到图象． 【详解】（1）解：通过图象可知骑行人休息了两次，共休息了2小时，点至点之间骑车人骑了千米， 故答案为：2；；； （2）解：平均速度千米小时， 答：骑车人返回家时的平均速度是千米小时； （3）解：9点时客车从出发，此时距离地千米， 时，客车到达地，千米， 时，客车又到达地，千米， 如图所示： ． 2．小明家距离学校8千米，今天早晨，小明骑车上学途中，自行车出现故障，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他增加速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象（如图），该图描绘了小明行的路程s与他所用的时间t之间的关系． 请根据图象，解答下列问题： (1)小明行了_____千米时，自行车出现故障；小明共用了_____分钟到学校； (2)小明修车用了多长时间？ (3)如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟？ 【答案】(1)3，30 (2)5分钟 (3)早到分钟 【分析】本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，解题的关键是准确识图，从图象获取必要的信息． （1）根据自行车出现故障后路程不变解答；路程等于8千米时的时间即为用的时间； （2）修车的时间等于路程不变的时间； （3）利用“速度路程时间”分别列式计算即可得解． 【详解】（1）解：根据图象可得：小明行了3千米时，自行车出现故障；小明共用了30分钟到学校． 故答案为：3，30； （2）解：根据图象可得：（分钟）； 答：小明修车用了5分钟； （3）解：修车前速度：(千米/分)， （分钟）， （分钟）， 答：他比实际情况早到分钟． 3．一辆汽车在某一直路上行驶，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：    (1)汽车共行驶了 千米． (2)汽车在行驶途中停留了 小时． (3)汽车到达离出发地最远的地方后返回，若返回时速度和段速度相同，则返回到出发地用了多长时间． 【答案】(1)240 (2)0.5 (3)小时 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程、函数图象的横坐标得出时间是解题关键． （1）观察函数图象的纵坐标，可得汽车行驶的路程； （2）观察函数图象，可得平行于t轴的线段； （3）观察函数图象的纵坐标，可得到达最远地方的距离，求出段的速度，可得答案． 【详解】（1）由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是千米， 故答案为：240； （2）由横坐标看出，，汽车在行驶途中停留了0.5小时， 故答案为：0.5； （3）线段上的速度为：（千米/小时），（小时）， 故返回到出发地用了小时． 4．如图是甲骑自行车与乙骑摩托车，分别从A，B两地向C地（A，B，C在同一直线上）行驶过程中离B地的距离S（千米）与行驶时间t（小时）的关系图，请你根据图中给出的信息解答下列问题： (1)甲在行驶过程中的速度为______千米/小时；乙在行驶过程中的速度为______千米/小时； (2)求出在乙到达C地前，甲乙两人相距10千米时t的值． 【答案】(1)10,40 (2)或 【分析】：（1）根据图象信息，利用路程除以时间求出速度； （2）分相遇前和相遇后两种情况列方程解答． 此题考查了函数图象的识别，一元一次方程的应用，正确理解函数图象得到相关信息是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知，甲用6小时行驶，乙用小时行驶， ∴甲在行驶过程中的速度为； 乙在行驶过程中的速度为； 故答案为：10，40． （2）解：设甲出发后，甲乙两人相距， 当甲在乙的前方时，根据题意，得， 解得； 当甲在乙的后方时，根据题意，得， 解得； 当乙已经到达C点，甲离C点还剩，根据题意，得， 解得； 故乙到达C地前，甲乙两人相距10千米时t的值为或． 5．随着移动互联网的快速发展，、摩拜等互联网共享单车应运而生并快速发展．小军骑着摩拜单车，爸爸骑着摩托车，沿着相同路线由地到地，下面图象表示的是两人由地到达地，行驶过程中路程（千米）和时间（分钟）之间的变化情况，根据图象，回答下列问题． (1)地与地之间的距离是______； (2)小军比爸爸晚到地______分钟； (3)行驶过程中，爸爸骑车速度为每分钟______千米，小军骑车速度为每分钟______千米． (4)若两人都在同一条直线上行驶，爸爸出发后经过多少分钟，两人相距千米． 【答案】(1)千米 (2) (3)， (4)或或 【分析】本题主要考查了函数的图象，一元一次方程的应用，解一元一次方程等知识点，应用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． （1）根据图象的纵轴即可得地与地之间的距离； （2）观察图象可直接得解； （3）根据两个图象的横纵坐标的关系即可求解； （4）分爸爸出发后、相遇后、以及爸爸已经到地，小军离地还有千米三种情况列方程或列式计算解答即可． 【详解】（1）解：根据图象可知： 地与地之间的距离为千米， 故答案为：千米； （2）解：根据图象可知： 小军比爸爸晚到地分钟， 故答案为：； （3）解：（千米分钟）， （千米分钟）， 爸爸骑车速度为千米分钟，小军骑车速度为千米分钟， 故答案为：，； （4）解：分三种情况： 第一种情况：爸爸出发后，两人相距千米， 设小军爸爸出发后经过分钟，两人相距千米，则有： ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 第二种情况：相遇后，两人相距千米， 设小军爸爸出发后经过分钟，两人相距千米，则有： ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 第三种情况：爸爸已经到地，小军离地还有千米， （分钟）， （分钟）； 答：爸爸出发后经过或或分钟，两人相距千米． 6．下图表示甲（实线）、乙（虚线）两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．根据图象回答问题： (1)写出点A、B的坐标． (2)甲花多少时间跑完全程？ (3)求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)甲花分钟跑完全程 (3)比赛开始分钟时，两人第一次相遇 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象即可得出答案； （3）先计算出甲从第15分钟到第33分钟的速度，由图象得出当行驶千米时，两人第一次相遇，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：点的坐标为，点的坐标为； （2）解：由图象可得：甲花分钟跑完全程； （3）解：由图象可得：甲从第15分钟到第33分钟由千米行驶到千米， ∴甲的速度为（千米/分钟）， ∴甲从5千米位置行驶到千米位置时要（分钟）， ∴（分钟）， ∴比赛开始分钟时，两人第一次相遇． 7．如图，分别表示甲步行与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程与时间的关系，观察图象并回答下列问题： (1)乙出发时，乙与甲相距____千米； (2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为____小时； (3)乙从出发起，经过______小时与甲相遇； (4)甲行走的平均速度是多少千米/小时？ (5)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？ 【答案】(1)10 (2)1 (3)3 (4)甲行走的平均速度是千米/小时 (5)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样，理由见解析 【分析】此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力，以及路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用图中信息解决问题． （1）根据时甲乙两人的路程差即为两人的距离解答即可； （2）根据s不变的时间即为修车时间解答即可； （3）根据两人的函数图象的交点即为相遇，写出时间即可； （4）根据图象利用速度与时间路程的关系解答即可； （5）根据图象利用速度与时间路程的关系解答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙出发时，乙与甲相距10千米． 故答案为：10； （2）解：由图象可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为小时， 故答案为：1； （3）解：由图象可知，乙从出发起，经过3小时与甲相遇． 故答案为：3； （4）解：甲行走的平均速度是千米/小时． 答：甲行走的平均速度是千米/小时； （5）解：乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样.理由如下： 乙骑自行车出故障前的速度=15千米/小时． 与修车后的速度=10千米/小时． 因为， 所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样． 8．如图，甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两地相距 千米；两车 小时后相遇；从乙地到甲地，普通列车用了 小时． (2)求直线的解析式． (3)普通列车和动车的速度分别是多少？ (4)求点的坐标，并解释点的实际意义． 【答案】(1)，， (2) (3)普通列车和动车的速度分别是千米时和千米时 (4)点的坐标是，实际意义是：此时动车从甲地到达乙地 【分析】（1）当时，两车之间的距离为甲、乙两地之间的距离；当两车之间的距离为的时刻即两车相遇；普通列车在图象上于点所在的时刻到达乙地； （2）设直线的解析式为，将坐标和代入，利用待定系数法求解即可； （3）先求出普通列车的速度，再根据两车相遇时的条件求出动车的速度； （4）点表示动车从甲地到达乙地，根据动车的速度可求出的值，此时普通列车距离乙地的距离为的值． 本题考查一次函数的应用，通过图象分析两车的行驶过程是正确解答本题的关键． 【详解】（1）当时，两车之间的距离为甲、乙两地之间的距离， 甲、乙两地相距千米． 当时，两车之间的距离为， 两车小时后相遇． 根据函数图象可知，当时，普通列车到达甲地， 从乙地到甲地，普通列车用了小时． 故答案为：，，． （2）设直线的解析式为，将坐标和代入， 得，解得， 直线的解析式为． （3）普通列车的速度是千米时， 动车的速度是千米时． 普通列车和动车的速度分别是千米时和千米时． （4）设． ，， 点的坐标是． 根据图象可知，点的实际意义是：此时动车从甲地到达乙地． 9．甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，两直线交点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图像可得，甲车出发后，到达离A地的B地，可以求出甲车的速度，然后表示函数关系式即可； （2）根据点M的意义即可求得答案； （3）先求得停留半小时后的坐标，根据返回时的速度相等，列方程即可求得答案． 【详解】（1）解：甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：令，则， 解得：， 故答案为：； （3）解：乙车的速度为千米/时， 则， 解得：， ∴距离地距离为千米， 故答案为：． 10．小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． (2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 【答案】(1)0.125；0.5 (2) 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系： （1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：玲玲的速度为：千米/分钟， 小华返回学校的速度为：千米/分钟． 故答案为：0.125；0.5； （2）由题意，得：， 解得：． 【题型2 一次函数最大利润】 11．某经销葡萄的水果店既可以批发，也兼顾零售．店家规定当顾客一次性购买葡萄超过5箱时，就可以享受批发价．市场调查显示，这两种销售方式中，每箱葡萄所获利润的情况如下表所示： 销售方式 每箱所获利润（元） 批 发 30 零 售 60 (1)现该水果店计划销售1000箱葡萄，并规定零售葡萄的数量不超过200箱．若设批发了a箱葡萄，销售1000箱葡萄的总利润为w元，根据题意，列出w与a的函数解析式，并求出自变量a的取值范围； (2)忽略其他影响因素，当葡萄零售和批发分别销售多少箱时，才能使售完这1000箱葡萄的总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当零售葡萄200箱，批发800箱时，才能使售完这1000箱葡萄的总利润最大，最大总利润是36000元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据批发和零售的利润总利润列出函数解析式，并根据零售葡萄的数量不超过200箱求出的取值范围； （2）利用函数的性质求最值即可． 【详解】（1）由题意，得， 与的函数关系式为； 零售葡萄的数量不超过200箱， ， 解得， 的取值范围是， 故答案为：；； （2）在中， 随的增大而减小， ， 当时，最大，最大值为36000， 此时，， 答：当零售200箱，批发800箱葡萄时，才能使售完这1000箱葡萄的总利润最大，最大总利润是36000元． 12．某玩具商家安排采购员小雷从厂家购进A、B两款玩具，这两款玩具的进价和售价如表： 品名 A B 进价（元/个） 90 75 售价（元/个） 120 100 (1)第一次小雷用8400元购进了A、B两款玩具共100个，求A、B两款玩具各购进多少个？ (2)第二次小雷在进货时，厂家规定玩具A的进货数量不得超过玩具B进货数量的两倍，小雷计划购进两种玩具共150个，设小雷购进A款玩具m个（），售完两款玩具共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润． 【答案】(1)购进A款玩具60个、B款玩具40个 (2)购进A款玩具100个、B款玩具50个才能获得最大利润，最大利润是4250元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的实际应用： （1）设购进A款玩具x个，则购进B款玩具个．根据题意，列出方程，即可求解； （2）设小雷购进A款玩具m个，则小雷购进B款玩具个．根据题意，列出不等式，求出m的取值范围，再求出W关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设购进A款玩具x个，则购进B款玩具个．根据题意，得： ， 解得， （个）， ∴购进A款玩具60个、B款玩具40个． （2）解：设小雷购进A款玩具m个，则小雷购进B款玩具个．根据题意，得： ， 解得：． ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∵， ∴当时，W值最大，， （个）， ∴购进A款玩具100个、B款玩具50个才能获得最大利润，最大利润是4250元． 13．某商场计划购进A，B两款计算器共100个，两款计算器的进价、售价如下表所示． 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 30 45 B款 50 70 (1)若商场的进货总金额恰好为3500元，分别求购进两款计算器的个数． (2)若商场规定购进B款计算器的数量不超过A款计算器数量的3倍，应怎样进货才能使商场销售完这批计算器的利润最大?并求出最大利润． 【答案】(1)购进A款计算器75个，购进B款计算器25个 (2)A款计算器购进25个，B款计算器购进75个时，商场销售完这批计算器的利润最大，最大利润为1875元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找到等量关系或不等关系，列出方程组、函数式或不等式是解题的关键． （1）设购进A、B两款计算器的个数分别为x个、y个，根据总数100个，进货总金额3500元，列出二元一次方程组并求解即可； （2）购进A款计算器a个，购进B款计算器个，根据购进B款计算器的数量不超过A款计算器数量的3倍，列出不等式可求得a的范围；设商场销售完这批计算器的利润为w元，根据两款计算器利润和为总利润，得到函数关系式，即可求得最大利润． 【详解】（1）解：设购进A、B两款计算器的个数分别为x个、y个， 由题意得：， 解得：， 答：购进A款计算器75个，购进B款计算器25个； （2）解：购进A款计算器a个，购进B款计算器个， 由题意得：， 解得：， 显然，即； 设商场销售完这批计算器的利润为w元，则， 整理得：， ，， w随a的增大而减小， 即当时，w取得最大值，且最大值为1875； 答：A款计算器购进25个，B款计算器购进75个时，商场销售完这批计算器的利润最大，最大利润为1875元． 14．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元 (2)共有3种购买方案 (3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元； （2）解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个． 由题意得：， 解得：， 和均为正整数， ，62，64， ，7，4， 共有3种购买方案． （3）设商家获得总利润为y元， ， ， ， 随x的增大而减小， 当时，， 答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元． 15．2024年是中国农历甲辰龙年．春节前，市面上流行A和B两款“龙公仔”玩偶，某商场计划购进A和B两款玩偶共50个，经过调查，得知购进1个A款玩偶和购进2个B款玩偶共需200元，购进2个A款玩偶和购进3个B款玩偶共需330元． (1)A，B两款玩偶的进价分别为多少元？ (2)该商场将A款玩偶的售价定为80元，B款玩偶的售价定为100元，且计划购进A款玩偶的数量不少于B款玩偶数量的一半(A、B两款都买)，问商场应如何进货才能使这两款玩偶全部售完后获得的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1)A款玩偶的进价是60元，B款玩偶的进价是70元 (2)商场应购进A款玩偶17个，B款玩偶33个，才能使这两款玩偶全部售完后获得的利润最大，最大利润为1330元 【分析】本题考查二元一次方程组、不等式和一次函数的应用等知识，根据题意列方程和函数解析式是解题的关键． （1）设设款玩偶的进价是元，款玩偶的进价是元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设商场应购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据购进A款玩偶的数量不少于B款玩偶数量的一半求出a的取值范围，设商场将两款玩偶全部售完后获得的利润为元，再列出w和a的关系式，再利用一次函数的性质求解即可； 【详解】（1）设款玩偶的进价是元，款玩偶的进价是元． 根据题意，得解得 答：A款玩偶的进价是60元，B款玩偶的进价是70元． （2）设商场应购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个． 购进A款玩偶的数量不少于B款玩偶数量的一半， ，解得 ． 设商场将两款玩偶全部售完后获得的利润为元． 由题意，得． 随的增大而减小． ，且为正整数， 的最小值为17． 当时，取得最大值， 此时． 答：商场应购进A款玩偶17个，B款玩偶33个，才能使这两款玩偶全部售完后获得的利润最大，最大利润为1330元． 16．4月23日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求量不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进A，B两种新书进行销售，已知每本A种图书的进价比B种图书贵10元，用1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同． (1)求A，B两种图书每本的进价． (2)已知A种图书的售价为每本60元，B种图书的售价为每本45元，该书店决定购进这两种图书共100本，且用于购买这100本图书的资金不超过3600元，若A，B两种图书全部卖完，那么该书店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种图书每本的进价为40元，B种图书每本的进价为30元 (2)购进A种图书60本，B种图书40本时书店获利最大，最大利润为1800元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．解题的关键是： （1）设A种图书每本的进价为x元，则B种图书每本的进价为元，根据“1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同”正确列出分式方程； （2）设该书店购进A种图书m本，找出数量关系，正确列出一元一次不等式求出自变量的取值范围，设获利为w元，则，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）设A种图书每本的进价为x元，则B种图书每本的进价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ． 答：A种图书每本的进价为40元，B种图书每本的进价为30元． （2）设该书店购进A种图书m本，则购进B种图书本． 根据题意，得，解得． 设获利为w元．根据题意，得． ，随m的增大而增大． 当时，w有最大值，最大值为． 答：购进A种图书60本，B种图书40本时书店获利最大，最大利润为1800元． 17．某商店决定购进两种北京冬奥会纪念品．若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要1000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要550元． (1)求购进两种纪念品的单价； (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，销售每件种纪念品可获利润20元，每件种纪念品可获利润30元．考虑市场需求，购进种纪念品不少于20件，怎样进货获利最大？求出最大利润． 【答案】(1)A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元 (2)当购进A纪念品20件，B纪念品80件时，获得的总利润最大，最大值为2800元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用． （1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设购买A纪念品a件，则购买B纪念品件，总利润为W，根据利润单件利润数量列出W关于x的一次函数关系式，再由a的取值范围，即可利用一次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元 根据题意，得， 解得 ∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元； （2）解：设购买A纪念品a件，则购买B纪念品件，总利润为W， 由题意得，， ∵购进种纪念品不少于20件， ∴， ∵， ∴W随a的增大而减少， ∴当，W最大， ∴W最大值为，， ∴当购进A纪念品20件，B纪念品80件时，获得的总利润最大，最大值为2800元． 18．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/ (2)水果店应购进甲水果，购进乙水果才能获得最大利润，最大利润是450元 【分析】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/，列方程 解答即可． （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元.，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/ （元） 答：甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/. （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元. ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴y随m的增大而减小. ∴当时，y最大，最大值为450元. 19．某服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．现计划购进两种服装共100件，设购买甲种服装x件，购进这100件服装的费用为y元． (1)写出y（元）与x（件）之间的函数关系式； (2)若购进甲种服装不少于70件，且购进这100件服装的费用不得超过7600元，试求出甲种服装购进多少件时该服装店才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)购进甲种服装件时，该服装店才能获得最大利润，最大利润是元． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总费用等于两种服装的费用之和可得函数关系式． （2）先求出自变量的取值范围，再建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，设购买甲种服装x件，则购买乙种服装件， ∴ 其中， （2）解：由题意得． ∴ 设总利润为元，则 ， ∵中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为（元） 即购进甲种服装件时，该服装店才能获得最大利润，最大利润是元． 20．“蓉宝”是成都2023年大运会吉祥物．大运会来临之际，“蓉宝”系列玩偶畅销全国．某礼品店在玩偶加工厂选中A，B两种玩偶，决定从该加工厂进货并销售，礼品店用1400元购进了A型玩偶15个和B型玩偶10个，已知购进1个A型玩偶和2个B型玩偶共需136元，销售每个A型玩偶可获利32元，每个B型玩偶可获利12元． (1)求两种玩偶的进货价分别为多少？ (2)礼品店第二次计划购进两种玩偶共50个，其中A型玩偶个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少元？ 【答案】(1)A型玩偶的进货价为72元，B型玩偶的进货价为32元 (2)A型玩偶30个，B型玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为1200元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用： （1）设A型玩偶的进货价为a元，B型玩偶的进货价为b元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设所获利润为w元，根据题意，列出w关于m的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设A型玩偶的进货价为a元，B型玩偶的进货价为b元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型玩偶的进货价为72元，B型玩偶的进货价为32元； （2）解：根据题意得：A型玩偶m个，B型玩偶个， 设所获利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为1200元， 即A型玩偶30个，B型玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为1200元． 【题型3 一次函数动点几何】 21．如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为． (1)求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出的面积为6时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或4 【分析】本题是一次函数综合题，考查了三角形的面积，直角三角形的性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）分两种情况，当点在上，，当点在上时，，分别表示出，，然后由三角形面积公式可得出答案； （2）由题意画出图象； （3）由（2）中的图象及一次函数图象上点的坐标特征可得出答案． 【详解】（1）解：∵，为中点， ∴ ∵动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止，设运动时间为秒， ∴当点在上，即时， ∴； 当点在上，即时， ∴， ∴综上所述，； （2）解：当时，；当时，； 当时，； 图象如图所示： （3）解：由图象可得，当或4时，，即的面积为6． 22．如图，四边形中，，．动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度从D，C同时出发，点P沿方向运动，到达C点停止运动，点Q沿折线方向运动，到达A点停止运动，连接，设点P、点Q的运动时间为t秒，四边形的面积为y． (1)请直接写出y关于时间t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出四边形的面积小于11时t的范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，y随t的增大而减小 (3)或 【分析】此题考查了坐标与图形、求函数解析式、从函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据动点P、Q运动的路线分段进行分析，写出解析式即可； （2）利用描点、连线画出二次函数的图象即可； （3）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当点Q在上时，连接， 由题意可得，， ∴ 即， 当点Q在上时，如图， 由题意可得，，， ∴ 即, 综上可知， （2）函数图象如图所示： 当时，y随t的增大而减小 （3）由图象可知，四边形的面积小于11时为或． 23．如图已知的面积是平方厘米，厘米，在边上有一动点，连接，设厘米，平方厘米． (1)写出与之间的关系式 (2)用表格表示当从变到时每次增加，的相应值 (3)当每增加时，如何变化说明你的理由 【答案】(1) (2)见解析 (3)当每增加时，增加 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，求函数值的变化情况： （1）过点作于点，则既是中边上的高，也是中边上的高，根据三角形面积公式求出厘米，进而根据三角形面积计算公式列出对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求函数关系式求解即可； （3）求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，则既是中边上的高，也是中边上的高， ∵， ∴， ∴厘米， ∵， ∴，即； （2）解：列表如下： 厘米 平方厘米 （3）解：当每增加时，增加理由如下： ， 当每增加时，增加． 24．如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒1的速度沿折线运动，到点D时停止运动．设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积时，自变量x的取值范围为_____________________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数图象与性质，利用分类讨论解决问题是解题的关键： （1）分两种情况讨论，由三角形面积公式可求解； （2）由图象可直接求解； （3）分两种情况讨论，列出不等式可求解 【详解】（1）解：当点E在上时，， 当点E在上时，， 综上所述，； 先画出线段的图象： 当时；当时；当时； 描点，连线，所作图形如图： ； （2）解：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）解：当点E在上时，即时，， 解得，； 当点E在上时，即时，， 解得： 综上，的面积时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或 25．如图①，四边形中，，． (1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到点D停止．设运动时间为a，的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，求t的值． 【答案】(1) (2) 或或 【分析】本题是四边形综合题，考查的是四边形动点问题与函数结合，熟悉掌握四边形动点问题的解决办法和函数图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）由函数图象可知，点从出发，从点到耗时16秒，即，再由，即可求解； （2）由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为6，故只能有点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形，再分按点在上方、点在点下方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）由函数图象可知，点M从A出发，从点C到D耗时16秒，即， 此时，即，解得：， ∴； （2）由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为， 当点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形， 设运动的时间为，则，，而， 当点在上方时，则， 的面积，解得：（满足条件）； 当点在点下方时，， 的面积，解得：（满足条件）； 当点在上时，点运动到时，，解得， 综上，或或． 26．如图， 在长方形中， ，点 是对角线 的中点．动点 从点出发，沿方向以的速度向点 匀速运动；同时动点从点出发，沿 方向以 的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 并延长交于点 ， 连接 并延长交 于点， 设运动时间为 ． 解答下列问题： (1) 的长为 ， 的长为 ； (2)当 为等腰直角三角形时，求的值； (3)设四边形 的面积为 求与之间的关系式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，全等三角形的判定和性质，求函数的解析式； （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形到现在列方程即可得到结论； （3）根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，证明，根据长方形的面积的面积的面积，即可得到结论． 【详解】（1）解： ，， 故答案为：，； （2）四边形是长方形， ， ， 点是对角线的中点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ； （3）四边形是长方形， ， ， ，， ， 由（2）知，， 又∵ ， 同理， 长方形的面积的面积的面积 ， 即与之间的关系式为． 27．如图，在矩形中，，，动点E从点B出发，沿着匀速运动到点D时停止运动，设点E的运动路程为x，的面积为y．    (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积为时，则自变量x的取值范围为______． 【答案】(1)；图见解析 (2)当时，y随x增大而不变，当时，y随x增大而减小 (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数图象与性质，利用分类讨论解决问题是解题的关键： （1）分两种情况讨论，由三角形面积公式可求解； （2）由图象可直接求解； （3）分两种情况讨论，列出不等式可求解 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， 当点E在上时，， 当点E在上时，， 综上所述，； 先画出线段的图象： 当时；当时； 描点，连线，所作图形如图：   ； （2）解∶ 当时，y随x增大而不变，当时，y随x增大而减小； （3）解：当点E在上时，即时，， 解得，； 当点E在上时，即时，， 解得： 综上，的面积时，自变量x的取值范围是， 故答案为： 28．已知正方形中，，．动点以每秒1个单位速度从点出发沿折线—方向运动，动点同时以每秒2个单位速度从点出发沿正方形的边——方向顺时针作折线运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为． (1)当运动时间为 秒时，点与点相遇； (2)当秒时，求的面积 ； (3)用S表示的面积，求S与t的函数关系式； (4)当 秒时，的面积是面积的． 【答案】(1)8 (2)9 (3) (4) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，求动点函数解析式，注意分类讨论，以免漏解． （1）根据两点运动的路程和等于正方形的周长，求解即可； （2）根据当秒时，则，，此时点Q与点A重合，根据三角形面积公式求解即可； （3）当时，即点Q在上，点P在上；当时，即点Q在上，点P在上，当时，即点Q、P都在上，根据三角形面积公式列出函数关系式即可； （4）当时，当时，利用三角形面积公式和两三角形面积关系，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得： 故答案为：8． （2）解：根据题意，当秒时， ， ， ∵ ∴当秒时点Q与点A重合， ∴的面积， 故答案为：9． （3）解：当时，即点Q在上，点P在上，如图， ； 当时，即点Q在上，点P在上，如图， ， 当时，即点Q、P都在上，如图， ； 综上，与的函数关系式为：． （4）解：当时，如图， ∵的面积是面积的 ∴ 解得：； 当时，如图， ∵的面积是面积的 ∴ 解得：（舍去）， 综上，当秒时，的面积是面积的． 29．如图，中，，，，点D为上一点，且，动点E从D点出发，E沿折线运动，当E点到达B点时停止运动，设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积大于4的x的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 (3) 【分析】本题考查用描点法作函数图象、勾股定理、一次函数的应用，（1）利用勾股定理求得，分类讨论：当时，点E在上运动，当时，点E在上运动，利用三角形面积公式求解即可； （2）利用描点法作图，再根据图象求解即可； （3）观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当时，点E在上运动， 则， ∴； 当时，点E在上运动， 则， ∴， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：如图，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：由图可得，当时，的面积大于4． 30．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为． (1) ______； (2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围； (3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】(1)5 (2)时，；时，； (3)时，；时， 【分析】本题主要考查了勾股定理，列函数关系式和代数式，解题关键是正确应用勾股定理建立函数关系式． （1）根据勾股定理求解即可； （2）分点P在上，点P在上两种情况讨论即可； （3）根据三角形等面积法求出点C到的距离为，再分点P在上，点P在上两种情况讨论即可； 【详解】（1）解：在中，，，， ； 故答案为：． （2）解：当点P在上， （秒）， 时，； 当点P在上， （秒）， 时，； （3）解：设点C到直线的距离为h， ， ， 当时， ， ； 当时， ，， ． 【题型4 一次函数方案问题】 31．周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在千克以内按原价收费，超过千克，前千克按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元； (1)分别求出关于的函数表达式； (2)当张洋的采摘量为多少千克时，选择甲方案和乙方案的费用相同． 【答案】(1)； (2)当采摘千克时，选择两种方案一样划算． 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据甲、乙收费方案即可得关于的函数表达式． （2）令，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即：， ， 即：， ∴关于的函数表达式分别为：，． （2）解：令，即， 解得：， ∴当采摘千克时，选择两种方案一样划算． 32．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蓅菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元．方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． (1)若需要这种规格的纸箱个，请分别写出两种方案中所需费用（元）与（个）之间的函数表达式； (2)在（1）的条件下，需要制作多少个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同． 【答案】(1)从纸箱厂购买纸箱费用：，蔬菜加工厂自己加工纸箱费用： (2)需要制作10000个纸箱时选择方案一和方案二的费用相同 【分析】本题主要考查利用一次函数性质解决生活中的实际问题．熟练掌握数量关系是解答本题的关键． （1）由已知条件可以得出两个方案的解析式，． （2）使得，，解方程得x=10000即可． 【详解】（1）解：从纸箱厂购买纸箱费用：， 蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：． （2）解：由题意，得， ， 解得， 答：需要制作10000个纸箱时选择方案一和方案二的费用相同． 33．为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材共300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案（只能选择其中一种）． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折； 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折； 设购买甲种器材件，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)请你计算当该校购买多少件甲种器材时，选择两种方案支付的费用一样． 【答案】(1)， (2)该校购买件甲种器材时，选择两种方案支付的费用一样 【分析】本题考查一次函数的实际应用； （1）根据题意分别求出两种方案的费用即可； （2）先求出两种方案费用相等的情况，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； （2）令，则， 解得：， ∴该校购买件甲种器材时，选择两种方案支付的费用一样． 34．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元，（元与（盒之间的函数关系式． (2)如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【答案】(1)， (2)校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球 【分析】本题考查了一次函数的应用．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据购买费用=单价×数量，建立关系表示的函数关系式即可． （2）将分别代入两个解析式中，计算求解，然后比较作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， （2）解：根据（1）中解析式，，， 当元时，， 解得：， 当元时，， 解得：， ， 学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 35．周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，理由见解析 【分析】本题考查了求函数关系式和函数求值． （1）利用按甲方案所需总费用购买门票的费用杨梅的原价采摘量，可求出关于的函数表达式；利用按乙方案当采摘量千克时，所需总费用杨梅的原价杨梅的原价超过10千克的部分，可求出关于的函数表达式； （2）代入，求出、的值，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意得：， 即； ， 即； （2）解：选择乙方案更划算，理由如下： 当时，， ． ， 选择乙方案更划算． 36．某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． (1)请直接写出m，n的值． (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，选择B方案最划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）m的值可以从图象上直接读取，n的值可以根据方案A和方案B的费用差和流量差相除求得； （2）设函数表达式为，把，代入，再求解即可； （3）B方案超过兆后超出后每兆收费元，当时，设函数解析式为：，把代入可得： ，当时，可得，再解方程，结合图象可得答案． 【详解】（1）解：由图象可得：， ． （2）解：设函数表达式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴y关于x的函数表达式． （3）解：∵B方案超过兆后超出后每兆收费元， ∴当时， 设函数解析式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 当时， ∴， 解得：， ∴当时，选择B方案最划算． 37．某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：      (1)该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； (2)点B的实际意义是什么？ (3)求y与x之间的关系式； (4)目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 【答案】(1) (2)当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； (3) (4)①，  ②乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等 【分析】本题考查一次函数的应用，理解横纵坐标的含义是解本题的关键． （1）计算当时，，即可得到前期投入的资金数量； （2）根据B的坐标含义可得B表示的实际意义； （3）设y与x之间的关系式为，再利用待定系数法求解解析式即可， （4）①先分别求解两种方案下的函数解析式； ②令，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元， 故答案为：； （2）解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； （3）解：设直线的解析式为，把和代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， （4）解：①方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元， ∴函数关系式为：， 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， ∴函数关系式为：， ②令，则， 解得：， ∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等． 38．暑期将至，某游泳馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次游泳费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳费用按八折优惠． 设某学生暑期游泳x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示． (1)由图象可得， ________； (2)求和的关系式； (3)请问该学生选择哪种方案更优惠？ 【答案】(1)30 (2)， (3)当时，两种方案所需的费用一样，当时，选择方案一更优惠，当时，选择方案二更优惠 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的解法，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出关于x的函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据直线过点（3，84），求出，可得方案一所需费用与之间的函数关系式为， 再求打折前的每次游泳费用为（元），根据8折求出每次的费用，可得方案二所需费用为y2=24x； （3）先让两函数值相等，当时，构建方程，求出，然后分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：直线与y轴交点的纵坐标为30， ∴． 故答案为：30； （2）解：由（1）得，直线过点， 代入得 解得：， ∴方案一所需费用与之间的函数关系式为， ∵打折前的每次游泳费用为（元）， ∴， ∴方案二所需费用为； （3）解：当时，即 解得： 所以当时，两种方案所需的费用一样，当时，选择方案一更优惠，当时，选择方案二更优惠． 39．某体育用品专卖店为了对某新品牌的羽毛球拍进行促销，推出两种优惠方案．方案一：买一支球拍赠送一打羽毛球；方案二，按购买金额打九折付款．已知羽毛球拍每支售价60元，羽毛球每打售价10元，校羽毛球队欲购买球拍20支，羽毛球x打（）供训练使用． (1)写出每种优惠方案实际付款金额y（元）与x（打）之间的函数关系式； (2)若只能按一种方案购买，比较购买100打的羽毛球，按哪种方案付款更合算； (3)若专卖店允许以任意选择一种优惠方案购买，也可以用两种方案混合购买，请就购买球拍20支和羽毛球50打设计一种最省钱的购买方法． 【答案】(1)方案一：； 方案二： (2)按照方案二付款更合算 (3)用方案一买20支球拍赠20打羽毛球，剩下的30打羽毛球用方案二购买 【分析】本题考查了列函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据题意列出方程． （1）根据方案一和方案二的优惠政策列出函数关系式即可； （2）根据购买100打的羽毛球，求出分别用方案一和方案二购买需要的费用，即可选出最合适的方案； （3）因为可以任意选择一种优惠方案，也可以同时用两种方案购买，所以分三种情况分别讨论，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 方案一：； 方案二：． （2）购买100打的羽毛球，则， 方案一：； 方案二：， ∵，    ∴按照方案二付款更合算． （3）当买20支球拍和50打羽毛球时，即， 方案一：（元）， 方案二：（元）， 两种方案买：（元）， ∵， ∴用方案一买20支球拍赠20打羽毛球，剩下的30打羽毛球用方案二购买． 40．某校将举办一年一度的运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒乒乓球标价25元．体育用品店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打九折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠方案实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式； (2)如果学校需要购买20盒乒乓球，选择哪种优惠方案更省钱？ 【答案】(1)， (2)选择方案甲更省钱 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据所给优惠方案分别计算对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求，求出当时，两个函数的函数值，比较即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意，得， ； （2）解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴选择方案甲更省钱． 【题型5 一次函数水费和电费】 41．某县为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题． (1)用水量不超过时每吨水收费多少元？ (2)当用水量超过且不超过时，求y与x之间的函数关系式； (3)已知某户居民上月水费为55元，求这户居民上月用水多少吨． 【答案】(1)2元 (2) (3)该户居民上月用水量是 【分析】本题主要考查了函数图像、求一次函数解析式以及一元一次方程的应用，理解题意，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）根据函数图像可得当时，水费是20元，即可求出每吨水的费用； （2）当时，设，利用待定系数法求解即可； （3）将代入求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：用水量不超过时每吨水收费为：（元）； （2）解：设函数关系式为． 由图象知，该直线经过点，则依题意得 解得  ， 答：y与x之间的函数关系式是； （3）解：， 当时，则， 解得． 答：该户居民上月用水量是． 42．为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准： 月用水量 水费 不超过5吨 每吨2.4元 超过5吨 超过的部分按每吨4元收费 (1)该市某户居民5月份用水吨，应交水费y元，写出y与x之间的关系式． (2)如果某户居民某月交了20元水费，你能算出该月这户居民用了多少吨水吗？ 【答案】(1) (2)7吨水 【分析】本题考查了利用关系式表示变量间的关系、求自变量的值，理解用水收费标准，正确求出关系式是解题关键． （1）根据按不超过5吨每吨元收费，超过的部分按每吨4元收费即可得； （2）先判断出该户居民这个月用水量超过了5吨，再求出（1）关系式中，当时，x的值即可得． 【详解】（1）解：由题意，得当时，， 即与之间的关系式为 （2）， 该户居民这个月用水量超过了5吨， 由（1），得， 当时，， 解得， 答：该月这户居民用了7吨水． 43．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨． (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． (3)若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【答案】(1)2.5 (2) (3)20吨 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式及一次函数的应用；根据自变量或函数值的取值使用相应的函数解析式是解决本题的关键． （1）根据图象列式求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意将代入求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， ∴用水不超过10吨，水费为2.5元/吨； （2）解：设当用水超过10吨时 ，该函数图象对应的一次函数的表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨． 由（2），得． 将代入，得， 解得， 故该户居民8月共用水20吨． 44．“国家实行计划用水，厉行节约用水”．为鼓励市民节约用水，某市自来水公司对单位和个人按用水量分段计水价收费，该市自来水公司针对单位用水规定用水计划：每月单位计划用水标准为3 000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费． (1)写出单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式； ①用水量小于或等于3 000吨时，___________； ②用水量大于3 000吨时，___________． (2)九月份甲单位用水2 800吨，水费是___________元；乙单位用水3 200吨，水费是___________元． (3)若十月份丙单位缴水费1 540元，则该单位该月用水多少吨？ 【答案】(1)　 (2)1 400　1 660 (3)3 050吨 【分析】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力，先根据题意列出函数关系式，再代入求值，解题的关键是分析题意根据实际意义准确的列出解析式． （1）①直接写出与之间的函数关系式；②吨，收费元，超过部分按元收费，据此求出与之间的函数关系式； （2）将和代入（）的解析式中即可求得； （3）元，用水已超过吨，将代入②的解析式中即可求得. 【详解】（1）解：①用水量小于或等于3 000吨时，； 当用水量大于3 000吨时，． （2）当时，； 当时，． （3）因为（元）， 十月份丙单位缴水费0元， 所以该月用水超过吨． 令，得． 答：丙单位十月份用水吨． 45．为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，某高档小区对直饮水采用价格调控手段以期待达到节水的目的，如图是此小区对居民直饮水某月用水量吨与水费元的关系的图象（水费按月结算）．    (1)填空： 价格表 每月用水量 单价 不超出6吨的部分 ________元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 ________元/吨 超出10吨的部分 ________元/吨 (2)若某户居民9月份用水量为9.5时，求该用户9月份水费； (3)若某户居民11月用水（吨）（），用含的代数式表示该户居民11月共应交水费（元）． 【答案】(1)2，4，8 (2)元 (3)元 【分析】（1）结合函数图象，用总水费除以水量可得各阶段的水费单价； （2）9月份用水量为9.5吨，用水量超出6吨不超出10吨的部分，则前面6吨缴12元，超过的3.5吨按4元每吨缴费； （3）根据表示出水费即可． 【详解】（1）解：元/吨， 元/吨， 元/吨， 用水量不超出吨时，每吨元；用水量超出吨不超出吨时，每吨元；用水量超出吨时，每吨元； 故答案为：2，4，8； （2）解：该用户9月份水费元； （3）解：11月用水吨，， ． 该户居民11月共应交水费元． 【点睛】本题考查从函数图象获取信息，列代数式，读懂题意，理解图象是解题的关键. 46．为促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户居民每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系． (1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，请填写下表： 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量（度） (2)求第二档每月电费（元）与用电量（度）之间的函数关系式； (3)在每月用电量超过230 度时，每多用1 度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，需缴纳电费153元，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据函数图象的拐点位置即可得到答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出第二档每度电的价格，再根据每月用电量超过230 度时，每多用1 度电要比第二档多付电费m元，结合小刚家的用电情况和费用列方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可填表如下： 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量（度） （2）解：设第二档每月电费（元）与用电量（度）之间的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴第二档每月电费（元）与用电量（度）之间的函数关系式为； （3）解：由题意得：， 解得． 47．电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月电量分段收费的办法，已知某户居民每月应缴电费（元）与用电量（度）的函数图象是一条折线（如图），根据图象解答下列问题：    (1)当该用户某月用电50度，则应缴费______元． (2)求与之间的函数关系式； 【答案】(1)32.5 (2) 【分析】（1）利用“单价总价数量”可得时的单价，进而得出用电50度的电费； （2）利用待定系数法解答即可． 【详解】（1）解：当时，每度电的价格为：（元）， 用电50度，则应缴费（元）， 故答案为：32.5； （2）解：由（1）可知，当时，； 当时，设电费（元）关于用电量（度）的函数关系式是， ， 解得， 即当时，电费（元）关于用电量（度）的函数关系式是， 由上可得，电费（元）关于用电量（度）的函数关系式是． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答． 48．某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度元计费． (1)设每月用电x度时，应交电费y元，当和时，分别写出y关于x的关系式； (2)小王家第一季度交纳电费如下表所示： 月份 一月份 二月份 三月份 交费金额 76元 63元 45元6角 问小王家第一季度共用电多少度？ 【答案】(1) (2)小王家第一季度共用电度 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）根据题意分别求出当和时y与x的函数关系式即可； （2）先求出第一季度三个月每个月的用电量都超过了100度，再分别求出当时，当时，当时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ； 综上所述，； （2）解：当， ∴第一季度三个月每个月的用电量都超过了100度， 在中，当时，，当时，，当时，， ， 答：小王家第一季度共用电度． 49．某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦·时，统计为整数） 单价（单位：元） 180及以内 181~400（含181、400） 401及以上 (1)张大爷10月份用电150千瓦·时，需交电费________元，张大爷11月份交了162元电费，那么他用了________千瓦·时的电． (2)若张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，设10月份用电量为x千瓦时，10月份用电量少于11月，张大爷两个月共需交电费y元，求出y与x的函数关系式． (3)张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，两个月共交电费元，10月份用电量少于11月，求10月份用电量． 【答案】(1)， (2) (3)10月份用电量为千瓦·时． 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列函数关系式求解． （1）根据表格中电费收取方法计算即可得到结果； （2）根据题意确定，再分情况列函数关系式即可； （3）结合（2）中的函数关系式，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：张大爷10月份用电150千瓦·时，需交电费元； ∵， 设张大爷11月份用了千瓦·时，则， ∴， 解得：， ∴他用了千瓦·时的电； （2）∵张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，设10月份用电量为x千瓦时，10月份用电量少于11月， ∴11月用电千瓦·时， ∴， 解得：， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， 当时，则， ∴； ∴； （3）结合（2）当时， ∴， 解得：； ∴， 当时， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 当时，不符合题意； ∴10月份用电量为千瓦·时． 50．某市电力公司为鼓励居民节约用电，采用分档计费的方法计算电费，各档次计费方法如下表∶ 档次 标准 第一档 每月用电不超过210度时，按0.6元/度计费 第二档 每月用电超过210度但不超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度的部分按0.7元/度计费 第三档 每月用电超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度但不超过400度的部分按0.7元/度计费，超出400度的部分按0.9元/度计费 (1)小明家5月用电200度，需交电费 元； (2)若设某月用电量为x()度，应交电费为y元，求y与x之间的关系式； (3)若小明家8月交电费268元，求小明家8月用了多少度电？ 【答案】(1)120 (2)() (3)410度 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，列函数关系式： （1）直接根据收费标准列式计算即可； （2）根据收费标准列出函数关系式即可； （3）求出度时需交的费用，判断用电度数，再列式计算即可． 【详解】（1）解：（元）； 故答案为：120； （2）由题意，得： ()； （3）当用电量为度时，应缴费：元， ∵， ∴小明家8月电费超过400度， （度）． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$