第四章 图形的相似（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第四章 图形的相似（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形一定是相似图形的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 3．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G．则下列结论中一定正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 4．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝5：2，BC＝9，则BE的长为（　　） A．3 B． C．4 D．5 5．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中正确的个数是（　　） ①△ACM∽△ABD； ②△ACE∽△ABC； ③△AEM∽△CDM； ④△AME∽△ACD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．延时课上，老师布置任务如下：让王林站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林目高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王林（　　）m处才能观测到大树的顶端． A．1 B．2 C．3 D．4 7．在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，1）或（2，﹣1） C．（2，2） D．（2，0）或（﹣2，0） 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点D，使∠CBD＝∠BAC，延长BC至点E，使得DE＝DB．若，则等于（　　） A．k﹣1 B． C．k D． 9．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别交AD、AB及CB的延长线于点E、M、F，且AE：FB＝2：3，则AH：AC的值为（　　） A． B． C． D． 10．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，在▱ABCD中，点E为CD上一点，且DE＝CE，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，则S△FED：S△ABE＝（　　） A．1：6 B．2：5 C．1：3 D．3：7 12．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论： ①△AEF∽△CAB； ②CF＝2AF； ③FC＝DC； ④． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝ 　 　cm． 14．如图，D、E分别在△ABC边AB、AC上，若DE∥BC，AD＝2DB，DE＝4，则BC的长为 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝4，E为AC中点，D为AB上一点，连接DE，当∠AED＝60°时，AD的长为 　 　． 16．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF•NF＝AF•BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是 　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）如图，若直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． （1）如果AB＝5，BC＝8，EF＝7，求DE的长； （2）如果DE：EF＝3：4，AC＝21，求BC的长． 18．（10分）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AC，BC上，连接BD和DE，∠BDE＝60°，若CD＝3AD，BD＝2，求ED的长． 19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在边AB上求作一点D，使CD将△ABC分割成两个三角形，并且两个三角形都和原Rt△ABC相似．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△FCD与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出点P的位置并写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似△O1A1B1，使它与△OAB的相似比为2：1． 21．（11分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝，AB＝3，BC＝2 （1）△BCD与△BAC相似吗？请说明理由． （2）若CD＝，求AC的长． 22．（11分）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高AB为1.4m，标杆FC的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离BC为3.5m，标杆与电视塔的距离CD为6.5m，AB⊥BC，FC⊥BD，ED⊥BD，求电视塔的高DE． 23．（12分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 24． （11分）如图，在▱ABCD中，点E是CD中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F． （1）求证：AD＝CF； （2）连接AC，若AB＝AF＝6，BC＝4，求▱ABCD的面积． 25．（13分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P以2cm/s的速度从点C出发，沿CA向点A移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点B出发，沿边BC向点C移动，当有一点到达终点时，两点停止运动．设P，Q两点同时移动的时间为t秒． （1）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似； （2）当t为何值时，△CQP的面积为6cm2． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形一定是相似图形的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【解答】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，符合题意； D、两个菱形不一定相似，不符合题意． 故选：C． 2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 【解答】解：∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故A不符合题意； ∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故B不符合题意； ∵AB2＝AD•AC， ∴＝， 又∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故C不符合题意； 根据＝，不能判定△ADB∽△ABC， 故D符合题意； 故选：D． 3．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G．则下列结论中一定正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【解答】解：A．∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，故A错误，不符合题意； B．∵DE∥BC， ∴，故B错误，不符合题意； C．∵DE∥BC， ∴，故C正确，符合题意； D．∵DE∥BC， ∴△AGE∽△AFC， ∴，故D错误，不符合题意； 故选：C． 4．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝5：2，BC＝9，则BE的长为（　　） A．3 B． C．4 D．5 【解答】解：如图，过点D作DH∥AE交BC于点H． ∴＝＝， 设BE＝5x，则EH＝2x． ∵D是AC的中点． ∴AD＝CD． ∵DH∥AE． ∴． ∴CH＝EH＝2x． ∵BC＝9． ∴BC＝BE+EH+CH＝9，即5x+2x+2x＝9． 解得：x＝1， ∴BE＝5x＝5． 故选：D． 5．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中正确的个数是（　　） ①△ACM∽△ABD； ②△ACE∽△ABC； ③△AEM∽△CDM； ④△AME∽△ACD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵∠ACE＝∠B，∠BAC＝∠CAE， ∴△ACE∽△ABC，故②符合题意； ∴∠AEC＝∠ACB， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAM， ∴△ACM∽△ABD，△AEM∽△ACD；故①符合题意，④不符合题意； △AEM与△CDM只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故选：B． 6．延时课上，老师布置任务如下：让王林站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林目高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王林（　　）m处才能观测到大树的顶端． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由题意得：∠APB＝∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴△ABP∽△CDP， ∴＝， ∴＝， 解得：BP＝2， ∴将平面镜P放置在离王林2m处才能观测到大树的顶端， 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，1）或（2，﹣1） C．（2，2） D．（2，0）或（﹣2，0） 【解答】解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△CDO，点A的坐标为（﹣4，2）， 则点A的对应点C的坐标为（﹣4×，2×）或（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1）， 故选：B． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点D，使∠CBD＝∠BAC，延长BC至点E，使得DE＝DB．若，则等于（　　） A．k﹣1 B． C．k D． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠BCD＝∠ABC， ∵∠CBD＝∠BAC， ∴∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∴DB＝BC， ∵DE＝DB， ∴DE＝DB＝BC，∠CBD＝∠E， ∴∠A＝∠E， ∵∠ADB+∠BDC＝180°，∠ECD+∠BCD＝180°， ∴∠ADB＝∠ECD， ∴△ADB∽△ECD， ∴＝＝， ∴＝＝＝﹣1＝k﹣1， 故选：A． 9．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别交AD、AB及CB的延长线于点E、M、F，且AE：FB＝2：3，则AH：AC的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接BD，如图， ∵四边形ABCD为菱形（已知）， ∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC（菱形的性质）， ∵EF⊥AC（已知）， ∴EF∥BD， 又∵DE∥BF， ∴四边形BDEF为平行四边形（有两组对边相等的四边形为平行四边形）， ∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）， 由AE：FB＝2：3，设AE＝2x，FB＝DE＝3x， ∴AD＝BC＝5x， ∴CF＝FB+BC＝3x+5x＝8x， ∴， ∵AE∥CF， ∴△AEH∽△CFH， ∴， ∴． 故选：D． 10．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， ∵DF∥BC， ∴△EFD∽△EBC， ∴， ∵DF＝0.4，BC＝5，DE＝5，CD＝x， ∴， 故选：D． 11．如图，在▱ABCD中，点E为CD上一点，且DE＝CE，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，则S△FED：S△ABE＝（　　） A．1：6 B．2：5 C．1：3 D．3：7 【解答】解：设▱ABCD的面积为a， 在▱ABCD中，点E为CD上一点，AD∥BC， ∴S△ABE＝a， ∴S△ADE+S△BCE＝a﹣a＝a， ∵DE＝CE， ∴＝， ∴S△BCE＝×a＝a， ∵AD∥BC， ∴△FDE∽△BCE， ∴＝＝， ∴S△FDE＝×a＝a， ∴S△FED：S△ABE＝a：a＝1：6， 故选：A． 12．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论： ①△AEF∽△CAB； ②CF＝2AF； ③FC＝DC； ④． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①过D作DM∥BE交AC于N，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ②∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵， ∴， ∴CF＝2AF，故②正确； ③∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴， ∴BM＝CM， ∴CN＝NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DM垂直平分CF， ∴DF＝DC， 而FC≠DC，故③错误； 设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a， 由△BAE∽△ADC，有，即， ∴．故④正确； 综上所述，正确结论有3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝ 　8　cm． 【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴ad＝bc， ∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm， ∴d＝8（cm）． 故答案为：8． 14．如图，D、E分别在△ABC边AB、AC上，若DE∥BC，AD＝2DB，DE＝4，则BC的长为 　6　． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， ∵AD＝2DB，DE＝4， ∴＝， BC＝6． 故答案为：6． 15．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝4，E为AC中点，D为AB上一点，连接DE，当∠AED＝60°时，AD的长为 　3　． 【解答】如图，过A作AF⊥BC于F，则∠AFC＝90°， ∵∠B＝60°，AB＝4，∠AFC＝90°， ∴∠BAF＝30°， ∴， ∴， ∵∠C＝45°，∠AFC＝90°， ∴， 在Rt△AFC中， ， ∵∠B＝60°，∠AED＝60°， ∴∠AED＝∠B， 又∵∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵E为AC中点， ∵＝， ∵AB＝4， ∴， ∴AD＝3． 故答案为：3． 16．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF•NF＝AF•BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是 　①②③⑤　． 【解答】解：∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°， 如图，作PG⊥AD于G，则四边形ABPG是矩形， ∴PG＝AB＝AD， ∵∠GPN+∠GNP＝90°＝∠GNP+∠DAM， ∴∠GPN＝∠DAM， 又∵PG＝AD，∠PGN＝90°＝∠ADM， ∴△PGN≌△ADM（ASA）， ∴AM＝PN，①正确，故符合要求； 如图，作HF⊥DF交AD于H，连接CF， ∴∠DHF＝45°＝∠ADB， ∴DF＝HF， ∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，BF＝BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF， ∵∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°， ∴∠BAF＝∠FPC， ∴∠BCF＝∠FPC， ∴PF＝CF＝AF， ∴PN﹣PF＝AM﹣AF，即FN＝FM， ∵∠HFN+∠NFD＝90°＝∠DFM+∠NFD， ∴∠HFN＝∠DFM， ∵HF＝DF，∠HFN＝∠DFM，FN＝FM， ∴△HFN≌△DFM（SAS）， ∴HN＝DM， 由勾股定理得，， ∵DH＝HN+DN＝DM+DN， ∴，②正确，故符合要求； ∵P是BC中点，AB＝3， ∴， 如图，连接AP， 由勾股定理得，，， 解得，， 设CE＝x，则，BE＝3+x， 由勾股定理得，， ∵， ∴，整理得，x2﹣2x﹣24＝0， 解得，x＝6或x＝﹣4（舍去）， ∴，BE＝9， ∵， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； 由题意知，∠BPF＞90°， ∴△BPF、△NFA不相似，BF•NF≠AF•BP，④错误，故不符合要求； ∵PM∥BD， ∴∠CPM＝∠CBD＝45°，∠CMP＝∠CDB＝45°， 设PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，则DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，， ∵AF＝PF，∠AFN＝90°＝∠PFM，FN＝FM， ∴△AFN≌△PFM（SAS）， ∴， ∵∠ADM＝90°＝∠ECM，∠AMD＝∠EDC， ∴△AMD∽△EDC， ∴，即， 解得，， 同理，△ANF∽△EPF， ∴，即， 同理，△DMF∽△BAF， ∴，即， ∴， 将代入得，，整理得，， 解得，， ∴，⑤正确，故符合要求； 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．如图，若直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． （1）如果AB＝5，BC＝8，EF＝7，求DE的长； （2）如果DE：EF＝3：4，AC＝21，求BC的长． 【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF， ∴AB：BC＝DE：EF， ∵AB＝5，BC＝8，EF＝7， ∴5：8＝DE：7， ∴； （2）∵AD∥BE∥CF， ∴AB：BC＝DE：EF， ∵DE：EF＝3：4， ∴AB：AC＝3：7， ∵AC＝21， ∴AB＝9， ∴BC＝AC﹣AB＝12． 18．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AC，BC上，连接BD和DE，∠BDE＝60°，若CD＝3AD，BD＝2，求ED的长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠A＝60°＝∠C， 而∠BDE＝60°， ∴∠ABD+∠ADB＝∠ADB+∠CDE＝120°， ∴∠ABD＝∠CDE， ∴△ABD∽△CDE， ∴AB：CD＝BD：DE， ∵CD＝3AD，BD＝2， ∴4：3＝2：DE， ∴DE＝1.5． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在边AB上求作一点D，使CD将△ABC分割成两个三角形，并且两个三角形都和原Rt△ABC相似．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【解答】解：如图所示，△ACD、△CBD都与Rt△ABC相似． 20．如图，在平面直角坐标系中，△FCD与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出点P的位置并写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似△O1A1B1，使它与△OAB的相似比为2：1． 【解答】解：（1）如图所示，点P的位置，由图可知：P（﹣5，﹣1）； （2）如图，△O1A1B1即为所求． 21．如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝，AB＝3，BC＝2 （1）△BCD与△BAC相似吗？请说明理由． （2）若CD＝，求AC的长． 【解答】解：（1）△BCD∽△BAC．理由如下： ∵BD＝，AB＝3，BC＝2， ∴＝＝，＝， ∴＝， 而∠DBC＝∠CBA， ∴△BCD∽△BAC； （2）∵△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴AC＝． 22．如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高AB为1.4m，标杆FC的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离BC为3.5m，标杆与电视塔的距离CD为6.5m，AB⊥BC，FC⊥BD，ED⊥BD，求电视塔的高DE． 【解答】解：过点A作AH⊥ED，交FC于点G，交ED于H，如图， 由作图知四边形ABCG，四边形ABDH均为矩形， 已知此测量人员的头顶距地面的高AB为1.4m，标杆FC的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离BC为3.5m，标杆与电视塔的距离CD为6.5m， ∴AB＝CG＝DH＝1.4m，BC＝AG＝3.5m，AH＝BD＝BC+CD＝3.5+6.5＝10（m）， ∴FG＝CF﹣CG＝1.4m， ∵FC⊥BD，ED⊥BD， ∴FC∥DE， ∴△AGF∽△AHE， ∴， ∵FG＝1.4m， ∴EH＝4m， ∴DE＝EH+DH＝5.4m， 答：电视塔的高DE的长为5.4m． 23．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB； （2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB， ∴＝， 设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x， ∵AE＝4，AC＝9， ∴＝， 解得：x＝（负值舍去）， ∴BD的长是． 24．如图，在▱ABCD中，点E是CD中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F．（1）求证：AD＝CF； （2）连接AC，若AB＝AF＝6，BC＝4，求▱ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF， ∵点E是CD中点， ∴ED＝EC， 在△AED和△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（ASA）， ∴AD＝CF． （2）解：∵AD＝BC，AD＝CF， ∴BC＝CF， ∵AB＝AF＝6， ∴AC⊥BF， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝4， ∴AC＝＝＝2， ∴S▱ABCD＝BC•AC＝4×2＝8， ∴▱ABCD的面积为8． 25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P以2cm/s的速度从点C出发，沿CA向点A移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点B出发，沿边BC向点C移动，当有一点到达终点时，两点停止运动．设P，Q两点同时移动的时间为t秒． （1）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似； （2）当t为何值时，△CQP的面积为6cm2． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，BC＝8cm，AC＝10cm， ∴AB＝＝6cm， 由题意得：CP＝2t cm，BQ＝t cm， 则CQ＝（8﹣t）cm， ∵∠C＝∠C， ∴△CPQ与△ABC相似时， ∴＝或＝， ∴＝或＝， 解得：t＝或t＝； ∴当t＝或t＝时，△CPQ与△ABC相似； （2）过点P作PD⊥BC于点D，则∠PDC＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠PDC＝∠B， ∴PD∥AB， ∴△PDC∽△ABC， ∴＝， ∴＝， ∴PD＝t cm， ∴S△CQP＝CQ×PD＝（8﹣t）×t＝6， 化简得：t2﹣8t+10＝0， 解得：t＝4﹣或t＝4+， ∵点P从点C到点A用时＝5s，点Q从点C到点B用时＝8s， ∴0≤t≤4， ∵t＝4+＞5， ∴t＝4+不合题意，舍去， ∴t＝（4﹣）， 即当t＝（4﹣）时，△CQP的面积为6cm2． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$