东北三省四市2025届高三上学期期末联考数学模拟卷B（集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、圆锥曲线）（原卷版）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 东北三省四市2025届高三上学期期末联考模拟卷B （考试范围：集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、圆锥曲线） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．定义：集合。若集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．若复数（）为纯虚数，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 3．某人要买一栋楼层为层的小高层楼房。随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为。但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第层楼时，环境不满意程度为。则此人为了有一个最佳满意度，应选（ ）。 A、第层楼 B、第层楼 C、第层楼 D、第层楼 4．已知圆：，（），若圆上存在两点、，使得是等边三角形，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）。 A、函数的周期为3 B、 C、 D、 6．在中，，、，点、是所在平面内一点，，且满足，若（），则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．公元年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术。祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。已知将双曲线：与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，则旋转体的体积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．若、、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．在中，角、、所对的边分别为、、，，下列说法正确的是（ ）。 A、若，则 B、外接圆的半径为 C、取得最小值时， D、时，取得最大值为 10．设抛物线：（）的焦点为，经过点的直线：（）与轴交于点，与抛物线交于、两点，为的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）。 A、的最小值为 B、 C、是锐角 D、面积的最小值为 11．如图所示，矩形中，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）。 A、存在某个位置，使得 B、面积的最大值为 C、当为锐角时，存在某个位置，使得 D、三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知、满足：，，则在上的投影向量为 。 13．若将函数（）的图像向右平移个单位长度后，得到的新图像与原图像关于轴对称，则的最小值为 。 14．已知双曲线：（）的左焦点为，直线与双曲线的右支交于点，若点、是线段的两个三等分点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，。 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 16．（本小题满分分）设数列的前项和为，已知，且（）。 （1）求数列的通项公式； （2）设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 17．（本小题满分分）将函数（，）的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到的图像。 （1）设向量、向量，当时，求的值域； （2）在①；②；③；三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答。 在中，角、、所对的边分别为、、，， ， 。求的面积。 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。 18．（本小题满分分）已知椭圆：（）的四个顶点构成的四边形的周长为，且椭圆过点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若、是椭圆上的两点，且满足（为坐标原点），动点满足，求的面积的最大值。 19．（本小题满分分）已知函数（）。 （1）若，求函数的极值； （2）若，，，求实数的值； （3）利用（2）中求得的，若，数列满足，且，证明：。 数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页） 数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 东北三省四市2025届高三上学期期末联考模拟卷B （考试范围：集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、圆锥曲线） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．定义：集合。若集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．若复数（）为纯虚数，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 3．某人要买一栋楼层为层的小高层楼房。随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为。但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第层楼时，环境不满意程度为。则此人为了有一个最佳满意度，应选（ ）。 A、第层楼 B、第层楼 C、第层楼 D、第层楼 4．已知圆：，（），若圆上存在两点、，使得是等边三角形，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）。 A、函数的周期为3 B、 C、 D、 6．在中，，、，点、是所在平面内一点，，且满足 ，若（），则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．公元年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术。祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。已知将双曲线：与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，则旋转体的体积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．若、、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．在中，角、、所对的边分别为、、，，下列说法正确的是（ ）。 A、若，则 B、外接圆的半径为 C、取得最小值时， D、时，取得最大值为 10．设抛物线：（）的焦点为，经过点的直线：（）与轴交于点，与抛物线交于、两点，为的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）。 A、的最小值为 B、 C、是锐角 D、面积的最小值为 11．如图所示，矩形中，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）。 A、存在某个位置，使得 B、面积的最大值为 C、当为锐角时，存在某个位置，使得 D、三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知、满足：，，则在上的投影向量为 。 13．若将函数（）的图像向右平移个单位长度后，得到的新图像与原图像关于轴对称，则的最小值为 。 14．已知双曲线：（）的左焦点为，直线与双曲线的右支交于点，若点、是线段的两个三等分点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，。 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 16．（本小题满分分）设数列的前项和为，已知，且（）。 （1）求数列的通项公式； （2）设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 17．（本小题满分分）将函数（，）的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到的图像。 （1）设向量、向量，当时，求的值域； （2）在①；②；③；三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答。 在中，角、、所对的边分别为、、，， ， 。求的面积。 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。 18．（本小题满分分）已知椭圆：（）的四个顶点构成的四边形的周长为，且椭圆过点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若、是椭圆上的两点，且满足（为坐标原点），动点满足，求的面积的最大值。 19．（本小题满分分）已知函数（）。 （1）若，求函数的极值； （2）若，，，求实数的值； （3）利用（2）中求得的，若，数列满足，且，证明： 。 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 东北三省四市2025届 高三上学期期末联考模拟卷B答题卡 学校： 班级： 姓名： 座位号： 注 意 事 项 考号： 1.考生答题前,先将条形码贴在条形码区,并将本人班级、姓名、考号填写在相应位置。 2.答题时,必须使用 0.5毫米的黑色墨水签字笔书写;选择题填涂时,必须用2B铅笔按图示规范填涂。 3.严格按照题号在答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效。 4.保持答题卡清洁完整,严禁折叠,严禁在答题卡上做任何标记,严禁使用涂改液、修正纸和修正带。 5.若考生未按上述要求填写答题,影响评分结果,后果自负。 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考  违纪  开考15分钟以后，缺考考生由监考老师粘贴条形码，并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 第一部分 客观题(请用2B铅笔填涂) 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题 12、 13、 14、 三、解答题 15、（13分） 16、（15分） 17、（15分） 18、（17分） 19、（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 东北三省四市2025届高三上学期期末联考模拟卷B （考试范围：集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、圆锥曲线） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．定义：集合。若集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】根据定义可知，表示不属于集合，但属于集合的元素，∴，故选D。 2．若复数（）为纯虚数，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】解法一：由题意可知为纯虚数， ∴且，∴，故选A。 解法二：设（），则，即、，∴，故选A。 3．某人要买一栋楼层为层的小高层楼房。随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为。但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第层楼时，环境不满意程度为。则此人为了有一个最佳满意度，应选（ ）。 A、第层楼 B、第层楼 C、第层楼 D、第层楼 【答案】B 【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，由题意知，∵， 当且仅当，即时取等号， 但考虑到，∴当时，当时， 即此人应选楼，不满意度最低，故选B。 4．已知圆：，（），若圆上存在两点、，使得是等边三角形，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】由题知，圆和正组成的图形关于直线对称，若存在点、满足题意等价于： 存在点使得，过点作圆的切线，切点为，连接，， 又，∴，，， ，解得，故选 C。 5．已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）。 A、函数的周期为3 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵为奇函数，∴，将代换为可得， 取得，取得，又，∴， ∵为偶函数，∴，将代换为可得， 又∵，∴，将代换为可得， ∴，∴为周期函数，周期为，A选项错， 在中，取得，又，∴，B选项错， ，C选项对， ，D选项错， 故选C。 6．在中，，、，点、是所在平面内一点，，且满足 ，若（），则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】以为原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 则、、，∴、，∴，∴， 又，∴点在圆上，设， 则由得， ∴（当时取等号）， ∴的最小值是，故选B。 7．公元年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术。祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。已知将双曲线：与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，则旋转体的体积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】水平直线（）与双曲线的交点为、， 则用垂直于轴的平面截旋转体的截面为圆面， 截面圆的半径为，截面面积为， 水平直线（）与双曲线的渐近线的交点为， ∴是用垂直于轴的平面截两条渐近线绕轴旋转得到的旋转体的截面面积， 、绕轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为， 用垂直于轴的平面去截旋转体，所得圆环的面积为， ∵底面半径为，高为的圆柱的截面面积为，体积为， ∴根据祖暅原理得旋转体的体积为，故选D。 8．若、、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】设，定义域为，则， 设，定义域为，则， 当时，，∴在内单调递减， ∴在内单调递减，又， 而，∴， ∴在内单调递增，∴，∴， 即，∴， 设，定义域为，则， 当时，，∴在内单调递增， ∴，∴，即，∴， 综上所述，，故选B。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．在中，角、、所对的边分别为、、，，下列说法正确的是（ ）。 A、若，则 B、外接圆的半径为 C、取得最小值时， D、时，取得最大值为 【答案】BD 【解析】在中，，由题意及正弦定理得或， A选项，∵，∴，∴，错， B选项，∵，∴，设外接圆的半径为， 由正弦定理得，对， C选项，∵，∴，由正弦定理得， 由余弦定理得，∴， 即，即， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 此时，∴当、时，取得最小值为，错， D选项，由C选项可知，，当时，取得最大值，对， 故选BD。 10．设抛物线：（）的焦点为，经过点的直线：（）与轴交于点，与抛物线交于、两点，为的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）。 A、的最小值为 B、 C、是锐角 D、面积的最小值为 【答案】BD 【解析】∵直线：经过定点，∴，即，∴抛物线的标准方程为， 联立并整理得，∵，∴恒成立 设、，则、， ∴、， 又，、，∴， A选项，，错， B选项，，对， C选项，，且、不共线，∴是钝角，错， D选项，， 当且仅当，即时等号成立，∴面积的最小值为，对， 故选BD。 11．如图所示，矩形中，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）。 A、存在某个位置，使得 B、面积的最大值为 C、当为锐角时，存在某个位置，使得 D、三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】A选项，取的中点，连接、，∵是的中点，∴， ∵为中点，，∴，∴四边形为平行四边形，∴， 又与不垂直，∴不存在某个位置，使得，错， B选项，， 当且仅当时，即时，等号成立，对， C选项，过点作平面于点，作于点，连接、， 则是的平面角，即， 是直线与平面所成角，即， ∴、，∴为定值， ∴当为锐角时，不存在某个位置，使得，错， D选项，当三棱锥体积最大时，⊥平面， 取的中点，连接、、，则， 由勾股定理得， 又， ∴点即为三棱锥的外接球的球心，半径为， 表面积为，对， 故选BD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知、满足：，，则在上的投影向量为 。 【答案】 【解析】设与的夹角为，在上的投影向量为， 则。 13．若将函数（）的图像向右平移个单位长度后，得到的新图像与原图像关于轴对称，则的最小值为 。 【答案】 【解析】将（）的图像向右平移个单位长度后， 得到的图像与原图像关于轴对称， ∴， ∴（），解得（）， ∵，∴当时，取得最小值为。 14．已知双曲线：（）的左焦点为，直线与双曲线的右支交于点，若点、是线段的两个三等分点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为 。 【答案】 【解析】设点在第一象限，如图所示，做，垂足为， 则既是的中点，又是的中点， 设双曲线的右焦点为，连接， ∵为的中位线，∴，∴， 设，则，，， ∵，∴，即， 即，解得（舍去）或（可取）， ∴，∴，∴，又，∴。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，。 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 【解析】（1）证明：以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则、、、、， 1分 ∴、、， ∴、，即，， 3分 ∵，、平面，∴平面； 4分 （2）由（1）可知为平面的一个法向量， 5分 设平面的法向量为，、， 则，即，令，则、，∴， 7分 设二面角的平面角为，经观察为锐角， ∴，即二面角的余弦值为； 9分 （3），平面的法向量为，设点到平面的距离为， ∴，即点到平面的距离为。 13分 16．（本小题满分分）设数列的前项和为，已知，且（）。 （1）求数列的通项公式； （2）设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）当时，，又，∴， 1分 当时，、， ∴， 即，∴， 3分 又，∴当时，， 4分 ∴，设，则、，∴， 构造等比数列，公比为，则当时，，∴， ∴，∴，又当时，， ∴是首项为、公比为的等比数列，∴，∴， ∴； 8分 （2）由（1）可知， 9分 对于任意的，不等式恒成立，即恒成立， 10分 设，则当时，， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴，∴，即实数的取值范围为； 15分 17．（本小题满分分）将函数（，）的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到的图像。 （1）设向量、向量，当时，求的值域； （2）在①；②；③；三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答。 在中，角、、所对的边分别为、、，， ， 。求的面积。 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。 【解析】（1）（，）的图像向左平移个单位得， 1分 再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到， 2分 即， 又∵，，∴，，∴， 4分 又∵、， ∴， 6分 设，∵，∴，∴， ∴，∴，∴原函数可化为， 8分 又∵在上单调递增，则，∴的值域为； 10分 （2）在中，， ∵且，∴， 11分 选①②：、，∵，∴， 12分 ∴， 13分 则由正弦定理得， 14分 ∴。 15分 选①③：、，∵，∴， 12分 ∴， 13分 则由正弦定理得， 14分 ∴。 15分 选②③：、，由余弦定理得：， ∴，则（舍去）或（可取）， 14分 ∴。 15分 18．（本小题满分分）已知椭圆：（）的四个顶点构成的四边形的周长为，且椭圆过点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若、是椭圆上的两点，且满足（为坐标原点），动点满足，求的面积的最大值。 【解析】（1）由题意可知，又，解得， 3分 ∴椭圆的标准方程为； 4分 （2）当直线的斜率存在时，设：， 5分 联立并整理得：， 6分 ，即， 7分 设、，∴、， 8分 ∴， 9分 ∵，∴，∴， ∴，即，此时恒成立， 11分 ∵，∴点在以为直径的圆上， ，当且仅当时等号成立， 13分 ∵ ， 将代入上式得， 14分 令，则， ∴， 当且仅当，即时等号成立，∴， 15分 当直线的斜率不存在时，设其方程为，则，∴， 此时，解得， ∴，∴， 16分 又，∴的面积的最大值为。 17分 19．（本小题满分分）已知函数（）。 （1）若，求函数的极值； （2）若，，，求实数的值； （3）利用（2）中求得的，若，数列满足，且，证明： 。 【解析】（1）当时，，定义域为，， 1分 令，解得，当时，，∴在内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， 3分 ∴在处取得极大值为，无极小值， 4分 （2）∵，∴，∴，， 即在时恒成立， ∴，即在时恒成立， 6分 设，定义域为，， 7分 ，∴，即为的极大值也是最大值， ∴，解得， 8分 检验，当时，，定义域为，， 当时，，∴在内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， ∴在处取得极大值也是最大值，∴，符合要求； 9分 （3）证明：由（2）得，∴，定义域为， 则， 10分 令，解得，当时，，∴在内单调递减， 当时，，∴在内单调递增， ∴在处取得极小值也是最小值，∴， 12分 ∵，∴、、…、， 13分 令，定义域为， 则， ∴在内单调递减，∴， 15分 ∵，又，∴， ∴，即， ∴， 即，∴，∴， 又，∴，即。 17分 4 学科网（北京）股份有限公司 $$