专题02 一元二次函数、方程和不等式（知识梳理+9考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（广东小高考专用）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 目录 考情回顾 1 考情解读 1 知识梳理 2 考点精讲 4 考点一：不等式的性质及其应用 4 考点二：一元二次不等式的解法 7 考点三：在实数集R上的恒成立 11 考点四：在给定区间上的恒成立 12 考点五：给定参数范围的恒成立 15 考点六：直接法求最值 16 考点七：配凑法求最值 21 考点八：常数代换法求最值 23 考点九：消元法求最值 25 实战训练 28 考情回顾 考点 考频 考查内容 不等式的性质及其应用 5年3考 由不等式的性质比较大小 一元二次不等式 5年5考 解一元二次不等式 基本不等式 5年4考 利用基本不等式求最值 考情解读 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2.基本不等式：（，） (1)了解基本不等式的证明过程。 (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式， 知识梳理 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法： (2)作商法 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)． (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 注：（1）若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)． （2）若ab>0，且a>b⇔<. （3）>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系 设y＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac. 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 4．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 5．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 6．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注：（1）≥2. （2）＋≥2(ab>0)． （3）≤≤≤ (a>0，b>0)． 考点精讲 考点一：不等式的性质及其应用 【典型例题】 解题策略 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质． (2)比较大小的4种常用方法：作差法、作商法、单调性法和特殊值验证法． (3)运用不等式的性质解决范围问题时，应正确推导和变形，注意整体思想的运用． 例1．（2024•广东学业考试）下列命题为真命题的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】对于，若，则，当时不成立，故错误； 对于，若，所以，则，故正确； 对于，若，则，取，，计算知不成立，故错误； 对于，若，则，取，，计算知不成立，故错误． 故选：． 例2．（2021•广东学业考试）设，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】因为，由不等式的基本性质可知：，故不正确；，所以不正确；由指数函数的图形与性质可知，所以不正确；由题意可知，所以，正确； 故选：． 例3．（2021•广东学业考试）如果，，则下列不等式中不正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】，得：，正确 中，，得：两边同乘得，正确． 中，若，，，时，错误； 中，中，两边同乘，不等号方向不变，正确； 故选：． 【即时演练】 1．（2023•广东学业考试）已知，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，当时，由，得到，故项不正确； 对于，成立时，不一定成立， 比如，时，，此时，故项不正确； 对于，当，，时，满足， 此时，，有，故项不正确； 对于，因为，可得，，且， 所以，可得，故项正确． 故选：． 2．（2023•广东学业考试）已知，则下列不等式中成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，若，根据指数函数的单调性可得，正确； 对于，，由于，则，但的正负不确定，错误； 对于，当，时，不成立， 对于，当，时不成立． 故选：． 3．（2021•广东学业考试）已知，，那么，，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解析】法一：、、、四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，可用特殊值法． 令，，则有， 即． 法二：，， ，， ， 即． 故选：． 4．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 5．下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】B 【分析】利用作差法可求得A错误，B正确，D错误，取特殊值可证明C错误，可得结论. 【详解】对于A，易知， 又，所以，，所以，即，A错误； 对于B，， 又，可得，所以，即，可得B正确； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，易知，又，所以，即， 可得，因此D错误. 故选：B 考点二：一元二次不等式的解法 【典型例题】 解题策略 (1)不含参数的一元二次不等式可以利用因式分解或对应方程的根求解，分式不等式转化为整式不等式进行． (2)含有参数的一元二次不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论． ①若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论． ②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式． ③其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 例1．（2024•广东学业考试）不等式的解集是　　 A．或B．或 C． D． 【解析】的图象是开口向上的抛物线，它与轴的两交点分别是，， 不等式的解为或． 故选：． 例2．（2024•广东学业考试）不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【解析】由可得， 解得． 故选：． 例3．（2021•广东学业考试）不等式的解集为　　 A． B． C．或 D． 【解析】由， 可得， 解得． 可得不等式的解集为． 故选：． 例4．（2020•广东学业考试）不等式的解集是　　 A．或B．或 C． D． 【解析】不等式可化为， 解得， 所以不等式的解集是． 故选：． 例5．（2022•广东学业考试）一元二次不等式的解集是，则的值是　　 A．10 B． C．14 D． 【解析】根据题意，一元二次不等式的解集是， 则方程的两根为和， 则有， 解可得，， 则， 故选：． 例6．（2024•广东学业考试）若不等式的解集是， （1）求实数的值； （2）求不等式的解集． 【解析】（1）依题意可得：的两个实数根为和2， 由韦达定理得：，解得：； （2）由（1）不等式， 即，解得：， 故不等式的解集是． 【即时演练】 1．二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象数形结合得出解集. 【详解】根据函数的图象可得的解集为. 故选：B. 2．若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意知，是方程的两个根，且， 则，解得， 所以. 故选：D. 3．已知关于x的不等式的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据一元二次不等式即可求解. 【详解】由题意可知:是不等式的解，所以，即，解得． 故答案为： 4．已知函数，其中 . （1）若，求实数的值； （2）若时，求不等式的解集； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）；（3）当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）直接代入计算即可得答案； （2）根据题意，解不等式即可得答案； （3）由题知，进而分和两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）因为，所以，解得. （2）若时，，即，解得， 不等式的解集为； （3）因为，所以， 所以当时，解集为 当时，解集为 综上，当时，解集为；当时，解集为. 考点三：在实数集R上的恒成立 【典型例题】 解题策略 一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件 是 例1.（2023•广东学业考试）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件可以是 　　． 【解析】若不等式在上恒成立， 则△，解得：， “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件可以是： （答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 例2．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围. 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 【即时演练】 1．已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】直接根据开口方向与判别式列不等式，求解即可. 【详解】由题意知，且，解得. 故答案为：. 2．已知对于任意，，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】易知当时符合题意，当时，根据一元二次不等式恒成立建立关于的不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，不等式对恒成立， 当时，不等式变形为，恒成立； 当时，对于方程， 有，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 3．已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若，恒成立，求：实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将代入解析式，解方程即可得到答案； （2）对进行分类讨论，若恒成立；若则可得抛物线开口向下，且与无交点； 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，恒成立， 当， 综上所述：时，恒成立. 考点四：在给定区间上的恒成立 【典型例题】 解题策略 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 例1．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】不等式对任意恒成立，则，成立， 而，当且仅当，即时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：B 例2．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分离参数得到在上恒成立，由基本不等式求出，得到，根据，求出答案. 【详解】不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故， 由于，， 故是不等式在上恒成立的必要不充分条件. 故选：B 【即时演练】 1．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为当时，不等式恒成立，则， 原题意等价于当时，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即等号成立， 可得，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 2．已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据条件将问题转化为“在上恒成立”，再根据求解出的范围. 【详解】因为对于任意，恒成立，所以对恒成立， 所以，， 又因为的对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以， 故选：B. 【点睛】方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论； （2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系. 考点五：给定参数范围的恒成立 【典例讲解】 解题策略 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． 例1．对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数的解析式变形为，并构造函数，由题意得出，解此不等式组可得出实数的取值范围. 【详解】对任意，函数的值恒大于零， 设，即在上恒成立， 因为在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段. 所以 ，解得或， 即的取值范围是. 故选：A 例2．已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得. 【详解】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C 【即时演练】 1．设. (1)解关于的不等式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）就的不同的取值范围分类讨论后可得不等式的解集； （2）利用参变分离结合二次函数的性质可求参数的取值范围； （3）构建关于的一次函数，根据其单调性可得关于的不等式，从而可求的范围. 【详解】（1）由，化简得，即， 当时，，解得. 当时，不等式解得， 当时，不等式解得或， 当时，不等式解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为. （2）要使在上恒成立， 即，， 因为当时，，所以有在上恒成立， 当时，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. （3）设 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增， 所以等价于，解得， 故实数的取值范围为. 2．设. (1)若对任意实数，都有，求的取值范围； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立判断得出判别式小于0，最后解一元二次不等式即可； （2）转换未知量，把当做未知量函数变为一次函数，结合给定区间使，列不等式组求解即可. 【详解】（1）对任意实数，都有，等价于， 的取值范围是； （2）设，存在，使， 等价于，或 ，或， 的取值范围是. 考点六：直接法求最值 【典例讲解】 解题策略 ①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型. 积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式≤，求最值时要求"一正、二定、三相等". ③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． ④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 例1.（2021•广东学业考试）当时，下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】时，利用均值不等式，当且仅当时等号成立． 故选：． 例2．（2024•广东学业考试）已知，则的最小值为 　　． 【解析】，则，当且仅当时，等号成立， 故答案为 4． 例3．（2024•广东学业考试）已知、，且，则的最小值是　　 A．10 B．12 C．13 D．15 【解析】因为、，且，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是12． 故选：． 例4．（2021•广东学业考试）设，为实数，且，则的最小值是　　 A．6 B． C． D．8 【解析】根据基本不等式的性质，有 ， 又由， 则（当且仅当时，取得等号）， 故选：． 【即时演练】 1．已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可． 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 2．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得的最大值，进而求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为2. 故选：D. 3．已知为实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用分离参数法求出的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可. 【详解】若则 当时，不等式的右边取得最大值1，故充分性成立； 若则时, 当且仅当时取等， 即恒成立，因此，由可以推出，故必要性成立. 综上所述，是的充要条件. 故选：C. 考点七：配凑法求最值 【典例讲解】 解题策略 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 例1．若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由可将表达式整合再利用基本不等式即可求得最小值是. 【详解】因为，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 例2．已知，求的最小值 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 例3.（2021•广东学业考试）当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】，， 当且仅当，即时取等号， 当时，不等式恒成立， 只需． 的取值范围为：，． 故选：． 【即时演练】 1．若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】利用基本不等式分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为15. 故选：D. 2．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）3. 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9. （2）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3. 考点八：常数代换法求最值 【典例讲解】 解题策略 常数代换法首先根据已知条件或其变形确定定值(常数)，并把该定值(常数)变形为1，然后把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式，最后利用基本不等式求解最值． 例1．（2024•广东学业考试）已知，，且，则的最小值是　　． 【解析】，，且， ． （当且仅当，，时，等号成立）． 故答案为：． 例2.（2020•广东学业考试）若，，且，则的最小值为 　　． 【解析】，，且， ，当且仅当且，即取等号． 因此的最小值为16． 故答案为：16． 例3．（2024•广东学业考试）已知，则的最小值为　　 A． B．9 C．1 D． 【解析】， ， 当且仅当，即，时，取得最小值． 故选：． 例4．（2023•广东学业考试）若正实数，，满足，则的最小值为　　 A．2 B． C．5 D． 【解析】根据题意，若正实数，，满足， 则， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为5； 故选：． 例5．（2022•广东学业考试）已知，且，则的最小值为　　 A． B． C． D．6 【解析】，，且， ， ， 当且仅当且，即，时取等号， 故选：． 【即时演练】 1．已知，且，，则的最小值是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】， 当且仅当时等号成立，又，解得. 故选：B. 2．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C 3．已知正数a，b满足，则最小值为（    ） A．25 B． C．26 D．19 【答案】A 【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正数a，b满足， 所以 ，当且仅当，联立， 即时等号成立， 故选：A. 4．正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 由于， 由于 为正数，所以，当且仅当 时等号成立， 故选：C 考点九：消元法求最值 【典例讲解】 解题策略 消元法是针对所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 例1.已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【解析】由，得， 所以， 当且仅当，即取等号. 故选：B. 例2.已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解. 【详解】方法一：因为，故，解得， 故,当且仅当 ，即，时等号成立. 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立. 故选：C. 【即时演练】 1.已知，，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由已知条件可得，求出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由可得，则，由可得， 所以，，当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 2.已知实数a，b满足，则的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值. 【详解】由得，则 ， 当且仅当时，此时，，或者，时等号成立， 所以的最大值为2． 故答案为：2. 实战训练 1．在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案. 【详解】解不等式得. 故选：B. 2．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用基本不等式直接求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 3．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，令，举反例即可；对于D，直接由不等式的传递性即可得证. 【详解】对于ABC，令，显然满足，同时，，，故ABC错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D. 4．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质判断AB，举反例判断CD． 【详解】因为， 所以，A正确； ，因此，B错； 时，，但，，CD错； 故选：A． 5．若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简已知不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得的取值范围. 【详解】依题意，不等式对任意实数x均成立， 即不等式恒成立， 当时，不等式可化为恒成立， 当时， ，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：B 6．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设花卉带的宽度为，由题设有且求范围，即可得答案. 【详解】设花卉带的宽度为，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B 7．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为，将看成主元，令，分，和三种情况讨论，从而可得出答案. 【详解】解：恒成立， 即，对任意得恒成立， 令，， 当时，，不符题意，故， 当时，函数在上递增， 则， 解得或（舍去）， 当时，函数在上递减， 则， 解得或（舍去）， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 8．已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 故. 故选：C 9．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 【答案】400 【分析】由的表达式得到每台设备的平均成本，由均值不等式等号成立条件得到答案. 【详解】每台设备的平均成本， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：400. 【点睛】方法点睛：均值不等式常用结论 1、如果，，则，当且仅当时取等号； 推论：； 2、如果，那么，当且仅当时取等号； 推论：； 3、 10．如果，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 目录 考情回顾 1 考情解读 1 知识梳理 2 考点精讲 3 考点一：不等式的性质及其应用 3 考点二：一元二次不等式的解法 5 考点三：在实数集R上的恒成立 6 考点四：在给定区间上的恒成立 6 考点五：给定参数范围的恒成立 7 考点六：直接法求最值 8 考点七：配凑法求最值 9 考点八：常数代换法求最值 10 考点九：消元法求最值 10 实战训练 11 考情回顾 考点 考频 考查内容 不等式的性质及其应用 5年3考 由不等式的性质比较大小 一元二次不等式 5年5考 解一元二次不等式 基本不等式 5年4考 利用基本不等式求最值 考情解读 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2.基本不等式：（，） (1)了解基本不等式的证明过程。 (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式， 知识梳理 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法： (2)作商法 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)． (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 注：（1）若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)． （2）若ab>0，且a>b⇔<. （3）>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系 设y＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac. 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 4．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 5．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 6．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注：（1）≥2. （2）＋≥2(ab>0)． （3）≤≤≤ (a>0，b>0)． 考点精讲 考点一：不等式的性质及其应用 【典型例题】 解题策略 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质． (2)比较大小的4种常用方法：作差法、作商法、单调性法和特殊值验证法． (3)运用不等式的性质解决范围问题时，应正确推导和变形，注意整体思想的运用． 例1．（2024•广东学业考试）下列命题为真命题的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2．（2021•广东学业考试）设，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 例3．（2021•广东学业考试）如果，，则下列不等式中不正确的是　　 A． B． C． D． 【即时演练】 1．（2023•广东学业考试）已知，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 2．（2023•广东学业考试）已知，则下列不等式中成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2021•广东学业考试）已知，，那么，，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 4．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 5．下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 考点二：一元二次不等式的解法 【典型例题】 解题策略 (1)不含参数的一元二次不等式可以利用因式分解或对应方程的根求解，分式不等式转化为整式不等式进行． (2)含有参数的一元二次不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论． ①若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论． ②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式． ③其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 例1．（2024•广东学业考试）不等式的解集是　　 A．或B．或 C． D． 例2．（2024•广东学业考试）不等式的解集为　　 A． B． C． D． 例3．（2021•广东学业考试）不等式的解集为　　 A． B． C．或 D． 例4．（2020•广东学业考试）不等式的解集是　　 A．或B．或 C． D． 例5．（2022•广东学业考试）一元二次不等式的解集是，则的值是　　 A．10 B． C．14 D． 例6．（2024•广东学业考试）若不等式的解集是， （1）求实数的值； （2）求不等式的解集． 【即时演练】 1．二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 2．若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知关于x的不等式的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为 4．已知函数，其中 . （1）若，求实数的值； （2）若时，求不等式的解集； （3）求不等式的解集. 考点三：在实数集R上的恒成立 【典型例题】 解题策略 一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件 是 例1.（2023•广东学业考试）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件可以是 　　． 例2．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为 . 2．已知对于任意，，则实数的取值范围为 . 3．已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若，恒成立，求：实数的取值范围. 考点四：在给定区间上的恒成立 【典型例题】 解题策略 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 例1．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时演练】 1．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 2．已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五：给定参数范围的恒成立 【典例讲解】 解题策略 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． 例1．对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．设. (1)解关于的不等式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 2．设. (1)若对任意实数，都有，求的取值范围； (2)若存在，使，求的取值范围. 考点六：直接法求最值 【典例讲解】 解题策略 ①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型. 积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式≤，求最值时要求"一正、二定、三相等". ③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． ④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 例1.（2021•广东学业考试）当时，下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 例2．（2024•广东学业考试）已知，则的最小值为 　　． 例3．（2024•广东学业考试）已知、，且，则的最小值是　　 A．10 B．12 C．13 D．15 例4．（2021•广东学业考试）设，为实数，且，则的最小值是　　 A．6 B． C． D．8 【即时演练】 1．已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 2．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知为实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点七：配凑法求最值 【典例讲解】 解题策略 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 例1．若，则的最小值是 . 例2．已知，求的最小值 例3.（2021•广东学业考试）当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【即时演练】 1．若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 考点八：常数代换法求最值 【典例讲解】 解题策略 常数代换法首先根据已知条件或其变形确定定值(常数)，并把该定值(常数)变形为1，然后把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式，最后利用基本不等式求解最值． 例1．（2024•广东学业考试）已知，，且，则的最小值是　　． 例2.（2020•广东学业考试）若，，且，则的最小值为 　　． 例3．（2024•广东学业考试）已知，则的最小值为　　 A． B．9 C．1 D． 例4．（2023•广东学业考试）若正实数，，满足，则的最小值为　　 A．2 B． C．5 D． 例5．（2022•广东学业考试）已知，且，则的最小值为　　 A． B． C． D．6 【即时演练】 1．已知，且，，则的最小值是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 2．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 3．已知正数a，b满足，则最小值为（    ） A．25 B． C．26 D．19 4．正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 考点九：消元法求最值 【典例讲解】 解题策略 消元法是针对所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 例1.已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 例2.已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【即时演练】 1.已知，，，则的最小值为__________. 2.已知实数a，b满足，则的最大值为_____________． 实战训练 1．在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 3．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 7．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 10．如果，那么的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$